1.5 第1课时 角平分线的性质与判定-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明
1.5 角平分线
第1课时 角平分线的性质与判定
【素养目标】
1. 复分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理。(重点)
2. 能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题。 (难点)
3. 通过探索角平分线的判定定理的过程， 提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。
【复习导入】
如图，某地有两所大学和两条交叉的公路。 图中点 表示大学， 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计。 (尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹)
【合作探究】
探究点一、角平分线的性质
思考：在的角平分线上任意取一点 ，分别折出过点 且与 的两边垂直的直线，垂足分别为 ，将再次对折，线段与能重合吗？
改变点的位置，线段和还相等吗？对此你能得出什么结论？动手证一证。
【证一证】
已知：如图，是的平分线，点 在 上， ，垂足分别为 。求证： 。
【知识要点】
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离。
定理的作用： 证明线段相等。
应用格式：
是的平分线，
.
【典例精析】
例1如图，为的平分线， 于点 , ，
试说明： 。
【练一练】
如图， 是的平分线，点在上， ，垂足分别是 , ，则 ________cm.
探究点二、角平分线的判定
定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
这个定理的逆命题是什么它是真命题吗？ 你能证明吗？
【证一证】
已知：如图，点为内一点， ，垂足分别为 ，且 . 求证：点在的平分线上。
【知识要点】
定理：在一个角的内部， 到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
应用所具备的条件：
(1) 位置关系：点在角的内部；
(2) 数量关系：该点到角两边的距离相等。
定理的作用：判断点是否在角平分线上。
应用格式：
,
点 在 的平分线上。
例2 如图，在中，，点在上， ，垂足分别为 ，且 ，求的长。
例3 如图，已知和的平分线相交于点 . 求证：点在的平分线上。
【回顾导入】
课堂导入的问题应该如何解决
角平分线的性质和角平分线的判定对比：
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
已知条件 OP平分 于 于 于 于
结论 平分
当堂反馈
1.如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PD⊥OA于点D.若PD＝6，则点P到OB的距离为___________.
2.如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM＝PN.若∠BOC＝30°，则∠AOB的度数是_______.
第1题图 第2题图 第3题图
3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC＝2AD，点D到BC的距离为5，则AC＝______.
4.如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB.
参考答案
探究点一、角平分线的性质
思考：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
【证一证】证明： , 垂足分别为 ,
. 是的平分线，
, (AAS).
(全等三角形的对应边相等).
例1 解： , .
为的平分线，且 ,
. 在Rt 和Rt 中，
. .
【练一练】4 cm.
探究点二、角平分线的判定
【证一证】证明： ，垂足分别为 ,
.
, .
(全等三角形的对应角相等).平分 .
例2 解：，垂足分别为 , 且, 平分
(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又 . 在Rt 中，,
(在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
例3 证明：过点 作 于 于 , 于 .
点 在的平分线上， ,
.
又 点在的平分线上， ,
.
点在的平分线上。
【回顾导入】
解：如图所示。
当堂反馈
1.　6　.
2.　60°.
3.　15.
4.证明：∵ P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA=PB,∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL).
∴OA=OB.
∵OP平分∠AOB，
∴OP垂直平分AB.