1.5 第2课时 三角形的三条内角平分线-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明
1.5 角平分线
第2课时 三角形三条内角的平分线
【素养目标】
1. 在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质。(重点)
2. 能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题。(难点)
【情境导入】
在一个三角形居住区内修有一个学校到 、 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 的位置， 在何处？
问题：角平分线的性质和判定是什么？
【合作探究】
探究点、三角形的角平分线
例1 如图，在中，已知 ， ，是的角平分线， ，垂足为 .
(1) 如果，求的长；
(2) 求证： .
例2 如图，已知， ，垂足分别为， 相交于点 . 若 ，求证：是的平分线。
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线， 你发现了什么？
结论： _________________________________.
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段， 你发现了什么？
结论： _________________________________.
你能证明以上两个结论吗？
例3 已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点 .
求证：的平分线经过点 .
【归纳总结】
结论： 三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这一点到三条边的距离相等。
例4 如图，在直角中， ， ，平分 ， 平分 ；， 交于点，过点作 ，若 ，
(1) 点到 三边的距离和为_________.
(2) 若的周长为32，求的面积。
例5 如图，在中，点是 内一点，且点到三边的距离相等。若，则的度数为 ( )
A. 110° B.
C. D.
当堂反馈
1.如图，BO与CO分别是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线。若∠BAC＝52°，则∠BAO＝( 　)
A.25° B.26° C.30° D.32°
第1题图　　 第2题图
2.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是(　 　)
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
3.如图，△ABC的三条角平分线交于点O，且三边AB，BC，CA的比为4∶6∶7，S△ABO＝8，则S△CAO＝___________.
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25.点P是△ABC三个内角平分线的交点，PD⊥BC于点D，求线段PD的长。
参考答案
复习导入
问题： 性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
探究点、三角形的角平分线
例1 (1) 解：是的角平分线， ，
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。
, ( 等边对等角 ).
.
(等角对等边)。在等腰 中， .
.
(2)证明：由(1)的求解过程易知， ( ).
. , .
例2 证明： .
在 和 中，
(AAS). .
又 , 是的平分线。
活动1
结论：三角形的三条角平分线相交于一点。
活动2
结论：过交点作三角形三边的垂线段相等。
例3 证明： 如图，过点分别作 , ，垂足为 . 是的角平分线，
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理 . .
点在的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即的平分线经过点 .
例4 (1) 12.
(2) 解： 如图，过点作于点 于点 ，连接 .
例5 A.
当堂反馈
1. B. 2. C. 3. 14 .
4.解：如图，过点P作PE⊥AB于E，作PF⊥AC于F.
∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，且PD⊥BC，∴PE＝PF＝PD.
设PD＝ x，则S△ABC＝ BC PD＋ AB PE＋ AC PF＝AB BC，
即 ×24x＋×7x＋×25x＝×7×24，解得x＝3，
∴ PD=3.