2.3 第2课时 一元一次不等式与一次函数的应用-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式与不等式组
2.3 一元一次不等式与一次函数
第2课时 一元一次不等式与一次函数
【素养目标】
1. 能够运用一元一次不等式与一次函数解决实际问题。(重点)
2. 有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用， 提高解决实际问题的能力， 能够形成合理的决策或判断。(难点)
【情境导入】
思考：现实生活中，同种商品总是有各种优惠活动，我们该如何选择，才能使利润最大化呢？
【合作探究】
探究点、一元一次不等式与一次函数的实际应用
某学校为打造“书香校园”，准备用2000元购买一批图书。甲书店的付款方式为：花20元办一张会员卡，所购图书总价可打八折。乙书店的付款方式为：花200元办一张会员卡，所购图书总价可打七折。
你认为学校选哪个书店购书更合算？
【典例精析】
例1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为 10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少呢？
【归纳总结】
方案选择问题解题思路：
(1) 根据题意分别写出方案 A、B 的函数解析式 、 ；
(2) 将方案 A、B 进行比较：
① ；② ；③ ，从而分别得到自变量的取值范围；
(3) 根据实际情况选择方案。
【练一练】
1. 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。
(1) 甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%。那么商场的收费 (元)与所买电脑台数 之间的关系式是：
(2) 乙商场的优惠条件是：每台优惠20%。那么乙商场的收费 (元)与所买电脑台数之间的关系式是：
(3) 什么情况下到甲商场购买更优惠？
(4) 什么情况下到乙商场购买更优惠？
(5) 什么情况下两家商场的收费相同？
【归纳总结】
解决实际问题步骤：
(1) 理清题目中的数量关系，把这些数量关系分解为几个函数关系；
(2) 列出这些函数关系式；
(3) 根据题意，将列出的函数关系式转化为不等式；
(4) 解不等式；
(5) 选择符合题意的不等式的解集。
【练一练】
2.某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折。这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠。请你帮助他们选择购票方案。
当堂反馈
2.如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程与时间之间的一次函数，图中s和t分别表示运动的路程和时间。若s甲＞s乙，则t的取值范围是(　　)
A.t<8 B.t>8 C.t≤8 D.t<64
2.如图，l1表示某产品一天的销售收入y1 (单位：万元)与销售量x (单位：件)的关系，l2表示该产品一天的销售成本y2 (单位：万元)与销售量x (单位：件)的关系。写出销售收入y1与销售量x之间的函数关系式：_____________；
写出销售成本y2与销售量x之间的函数关系式：_____________.
当一天的销售量超过_______件时，生产该产品才能获利(利润＝收入－成本).
3. 某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
(A) 计时制：0.05 元/分；
(B) 包月制：50 元/月 (限一人上网)．
此外，每一种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分．
(1) 请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付费用 y (元) 与上网时间 x (小时) 之间的函数关系式；
(2) 若某用户估计一个月内上网的时间为 20 小时，你认为采用哪种方式较为合算？
参考答案
探究点、一元一次不等式与一次函数的实际应用
新知探究 解：设购买的总价为元，选择在甲书店购书时，所需的费用为 ，选择在乙书店购书时，所需的费用为 ，
根据题意可知 。
当在甲、乙书店购书时所需的费用一样时，
即 , 得 ,
解得 ;
当在甲、乙书店购书时所需的费用不一样时，
① 由 ，得 , 解得 ; 此时选择乙书店比较合算
② 由，得 , 解得 ; 此时选择甲书店比较合算。
因为，所以学校准备用2000元购书时， 选乙书店更合算。
例1 解：设该单位参加这次旅游的人数是人，选择甲旅行社时，所需的费用为 元，选择乙旅行社时，所需的费用为 元。根据题意得
即 。 ，即 。
由 ，得 ，解得 ; 由 ，
得 ，解得 ; 由 ，得 ，解得 。
因为参加旅游的人数为 10~25 人，所以， 当 时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当 时，选择甲旅行社费用较少；当 时，选择乙旅行社费用较少。
【练一练】1. (1) (2)
(3) 令 ，得。所以，当购买电脑台数超过5时，到甲商场购买更优惠。
(4) 令 ，得 。所以，当购买电脑台数小于5时，到乙商场购买更优惠。
(5) 令 ，得 。所以，当购买电脑台数等于5时，两商场收费相同。
2.解：设该公司参观者中有女士 人，票价为 1，选择购买女士五折票时所需费用为 元，选择购买团体票时所需费用为 元，则
由 ，得 ，解得 .
由 ，得 ，解得 .
由 ，得 ，解得 .
答：当女士不足16人时，购买团体票合算；当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士多于16人时， 购买女士五折票合算。
当堂反馈
1.B
2.　y1=x　　y2= x+2　　4　
3.解：(1)依题意得，计时制：y=60×(0.05+0.02)x，
即y=4.2x.
包月制：y=60×0.02x+50，
即y=1.2x+50.
(2)当x=20时，
计时制：y= 4.2×20= 84(元).
包月制：y=1.2×20+50=74(元).
所以，若某用户估计一个月上网20小时，采用包月制较为合算.