4.1 因式分解-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第四章 因式分解
4.1 因式分解
【素养目标】
1.理解并掌握因式分解的概念．
2.理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题．
重点：理解因式分解的概念．
难点：理解多项式的因式分解与整式乘法的联系和区别．
【复习导入】
概念梳理：
1.单项式：若一个代数式是_______________，这样的代数式叫作________，单独一个数或一个字母也是单项式.
2.多项式：几个单项式的____，叫作多项式.
3.整式：单项式和多项式统称______.
【合作探究】
探究点一：因式分解的概念
活动1：993－99能被100整除吗？
小明是这样做的：993－99=99×992－99×1=99（992－1）=99×9800=99×98×100，所以993－99能被100整除．
小亮是这样做的：993－99=970299－99=970200=9702×100，所以993－99能被100整除．
问题1：小明和小亮的解法有什么区别？
问题2：993－99=99×98×100和993－99=9702×100等号两边的式子有什么相同？
思考：993－99还能被哪些正整数整除？与同伴进行交流．
[观察·思考]
活动2：观察下面拼图过程，根据面积之间的关系写出相应的代数式．等号两边的代数式有什么不同？
（1）
　 　=　 　．
（2）
　 　=　 　．
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系
问题2：右边一栏表示的正是多项式的 “ 因式分解 ” ，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗
[知识要点]
因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫作这个多项式的因式.
[练一练]
1.下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a－b) = ax－bx
B. x2－1 + y2 = (x－1)(x + 1) + y2
C. y2－1 = (y + 1)(y－1)
D. ax + by + c = x(a + b) + c
E. 2a3b = a2 2ab
F. (x + 3)(x－3) = x2－9
提示：判定一个等式是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；(3)右边的因式全是整式.
探究点二：因式分解与整式乘法的关系
[操作·交流]
1.计算下列各式：
（1）3x（x－1）=　 　； （2）m（a＋b－1）=　 　；
（3）（m＋4）（m－4）=　 　；（4）（y－3）2 =　 　．
2.根据上面的算式进行因式分解：
（1）3x2－3x=　 　；（2）ma＋mb－m=　 　；
（3）m2－16=　 　；（4）y2－6y＋9=　 　．
思考1：由 a(a + 1)(a－1) 得到 a3－a 的变形是什么运算
由 a3－a 得到 a(a + 1)(a－1) 的变形与它有什么不同
思考2：因式分解与整式乘法有什么联系与区别
[典例精析]
例1 判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1) x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)
(2) 2x(x－3y)＝2x2－6xy
(3) (5a－1)2＝25a2－10a＋1
(4) x2＋4x＋4＝(x＋2)2
(5) (a－3)(a＋3)＝a2－9
(6) m2－4＝(m＋2)(m－2)
(7) 2πR＋2πr＝2π(R＋r)
例2 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；② x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④ x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[方法总结]
因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
例3 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为a(x－2)(x + 3)，求 a，b 的值.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可.
[练一练]
2.下列多项式中，分解因式的结果为 －(x + y)(x－y) 的是 ( )　　
A．x2－y2 B．－x2 + y2
C．x2 + y2 D．－x2－y2
当堂反馈
1.下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3－x）（3＋x）=9－x2　　B．（y＋1）（y－3）=－（3－y）（y＋1）
C．4yz－2y2z＋z=2y（2z－yz）＋z　　D．－8x2＋8x－2=－2（2x－1）2
2.下列变形：①（x－1）（x＋2）=x2＋x－2；②a2－a=a（a－1）；
③4b2c3=4c b2c2；④4x2＋12x＋9=（2x＋3）2.其中，是因式分解的为　　．
3.一个多项式因式分解的结果为（x＋2）（x－5），则这个多项式为　 　．
4. 如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，求3A－B的值.
参考答案
【复习导入】
1.数与字母的乘积 单项式 2. 和 3. 整式
【合作探究】
探究点一：因式分解的概念
问题1：小明的解法是先提取公因数“99”，得到99×（992－1），再通过后续计算，最终体现出结果中含有因数100，从而判断能被100整除．其核心思路是通过代数式变形．小亮的解法是直接算出结果．其核心是通过具体数值计算．
问题2：左边式子是差的形式，右边是积的形式．
[观察·思考]
活动2：（1）　am＋bm＋cm　=　m（a＋b＋c）　．
（2）　x2＋x＋x＋1　=　（x＋1）2　．
[练一练]
1.A. × B. × C.√ D. × E. × F. ×
探究点二：因式分解与整式乘法的关系
[操作·交流]
1.（1）　3x2－3x　；（2）　ma＋mb－m　；
（3）　m2－16　；　（4）　y2－6y＋9　．
2.（1）　3x（x－1）　；　　（2）　m（a＋b－1）　；
（3）　（m＋4）（m－4）　；　　（4）　（y－3）2　．
思考1：由 a(a + 1)(a－1) 得到 a3－a 的变形是整式乘法，
由 a3－a 得到 a(a + 1)(a－1) 的变形与上面的变形互为逆过程.
思考2：联系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
[典例精析]
例1 (1) 因式分解(2) 整式乘法(3) 整式乘法
(4)因式分解(5)整式乘法(6) 因式分解(7) 因式分解
例2 B
例3 解：∵ x2 + ax + b = a(x－2)(x + 3) = ax2 + ax－6a，
∴ a = 1，b = －6a = －6.
[练一练]2.B
当堂反馈
1.D 2.　②④ 　3.　x2－3x－10　
4. 解：∵x2＋Ax＋B ＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15，
∴A＝2，B＝－15.
∴3A－B＝3×2＋15＝21.