4.2 第2课时 提公因式为多项式的因式分解-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第四章 因式分解
4.2 提公因式法
第2课时　提公因式为多项式的因式分解
【素养目标】
1.进一步理解因式分解的意义和公因式的意义．
2.熟练运用提公因式法分解因式．
重点、难点：熟练运用提公因式法分解因式．
【复习导入】
提公因式法因式分解的一般步骤：
1. 多项式的第一项系数为负数时， ；
2. 公因式的系数是多项式各项__________________； 3. 字母取多项式各项中都含有的____________； 4. 相同字母的指数取各项中最小的一个，即_________.
【合作探究】
探究点1：整体提公因式法
①m（n－1）＋3（n－1）；②3（x－y）＋6（x－y）2；
③c（a－b）4＋c2（a－b）3.
问题1：不去括号，多项式①中有哪几项？它们有没有公共因式？
问题2：不去括号，多项式②中有哪几项？它们有没有公共因式？
问题3：不去括号，多项式③中有哪几项？它们有没有公共因式？
归纳总结：整体提公因式法是提公因式法因式分解中一种较为灵活的方法，它将多项式中的某一部分看成一个整体来提取公因式．先确定整体公因式，明确公因式的系数、字母以及多项式部分，提取公因式后，要检查剩下的因式是否还能继续分解．
[典例精析]
例1 把下列各式分解因式：
(1) a(x－3) + 2b(x－3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2.
[练一练]
1. 将下列式子因式分解.
1. x(a + b) + y(a + b)
2. 3a(x－y)－(x－y)
3. 6(p + q)2－12(q + p)
2. 先化简，再求值：(x＋2y)(x－2y)－(2y－x)2，
其中 x＝2，y＝－1.
探究点2：变形后提公因式法
下面的多项式有公因式吗？与同伴交流思考．
(1) 5(a－b)－m(b－a)；
(2) 3(m＋n)＋2a(－m－n)；
(3) m(x－y)2－n(y－x)2；　　
(4) c2(b－a)3＋(c－1)(a－b)3.
思考：a－b 和 b－a，m＋n 和 －m－n，
(x－y)2 和 (y－x)2，(b－a)3 和 (a－b)3有什么关系？
问题：仿照5(a－b)－m(b－a)＝5(a－b)＋m(a－b)＝(5＋m)(a－b)，将其他3个多项式因式分解．
[归纳总结]
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：
(1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等.
如：a－b 和 －b + a，则 a－b = －b + a.
(2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数.
如：a－b 和 b－a，则 a－b = －(b－a).
由此可知规律：
(1) a－b 与 －a + b 互为相反数.
(a－b)n = (b－a)n (n 是偶数)
(a－b)n = －(b－a)n (n 是奇数)
a + b 与 －a－b 互为相反数.
(－a－b)n = (a + b)n (n 是偶数)
(－a－b)n = －(a + b)n (n 是奇数)
(2) a + b 与 b + a 相等，a－b 与 －b + a 相等.
(a±b)n = (±b + a)n (n 是整数)
[针对训练]
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：
(1) (a－b) =___(b－a)； (2) (a－b)2 =___(b－a)2；
(3) (a－b)3 =___(b－a)3； (4) (a－b)4 =___(b－a)4；
(5) (a + b) =___(b + a)； (6) (a + b)2 =___(b + a)2；
(7) (a + b)3 =__(－b－a)3； (8) (a + b)4 = __(－a－b)4.
[典例精析]
例2 把下列各式因式分解：
(1) a(x－y)＋b(y－x)；
(2) 6(m－n)3－12(n－m)2.
例3 下面用提公因式法分解因式的结果是否正确？
说明理由．若不正确，请写出正确的结果．
(1) 3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)；
(2) 4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；
(3) x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]．
[思考·交流]
利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验 与同伴进行交流。
1.在提取公因式时，各项公因式相同时，直接提取；各项公因式互为相反数时，需先变符号，再提取。
2.括号前面是“+”号，括号里的各项都不变号。
3.括号前面是“－”号，括号里的各项都变号。
[尝试·思考]
如图 ，有三张不同型号的长方形卡片。
(1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗
(2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗
(3) 依据 (1) (2) 拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解 你是怎样想的
[练一练]
3. 如图，边长为 a，b 的长方形的周长为 10，面积为 6，则 a2b＋ab2 的值为　　．
当堂反馈
1.将3x(a－b)＋9y(a－b)因式分解，应提的公因式是(　　)
A.3x－9y B.3x＋9y
C.a－b D.3(a－b)
2.若(p－q)2－(q－p)3＝(q－p)2E，则E是(　　)
A.1－q－p B.q－p
C.1＋p－q D.1＋q－p
3.把b2(x－2)＋b(2－x)因式分解的结果为(　　)
A.b(x－2)(b＋1)　　
B.(x－2)(b2＋b)
C.b(x－2)(b－1)　　
D.(x－2)(b2－b)
4.因式分解：
(1)3a(b－c)－3(b－c)；
(2)(2x－1)(3x－7)－(3x－7)(x＋2).
5.已知x＋y＝5，xy＝6，求x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2的值.
参考答案
【复习导入】
1.先提取“－”号，注意多项式的各项变号
2.系数的最大公约数
3.相同的字母
4.最低次幂
【合作探究】
探究点1：整体提公因式法
问题1：m（n－1），3（n－1）．它们有公共因式（n－1）．
问题2：3（x－y），6（x－y）2.它们有公共因式3（x－y）．
问题3：c（a－b）4，c2（a－b）3.它们有公共因式c（a－b）3.
[典例精析]例1 解：(1) a(x－3) + 2b(x－3)= (x－3)(a + 2b).
(2) y(x + 1) + y2(x + 1)2 = y(x + 1)(1 + xy + y).
[练一练]答：1.(a + b)(x + y)
2.(x－y)(3a－1)
3. 6( p + q)( p + q－2)
2. 解：原式＝(x＋2y)(x－2y)－(x－2y)2
＝(x－2y)(x＋2y－x＋2y)
＝4y(x－2y)
＝4xy－8y2.
当 x＝2，y＝－1 时，
原式＝4×2×(－1)－8×(－1)2＝－8－8＝－16.
探究点2：变形后提公因式法
思考：a－b＝－(b－a)，m＋n＝－(m＋n)，(x－y)2＝(y－x)2，
(b－a)3＝－(a－b)3.
问题：解：3(m＋n)＋2a(－m－n)＝3(m＋n)－2a(m＋n) ＝(3－2a)(m＋n)．
m(x－y)2－n(y－x)2＝m(x－y)2－n(x－y)2＝(m－n)(x－y)2.
c2(b－a)3＋(c－1)(a－b)3＝c2(b－a)3－(c－1)(b－a)3＝(c2－c＋1)(b－a)3.
[针对训练](1) － (2) + ；(3) －； (4) + ；(5) + ； (6) + ；
(7) －； (8) + .
[典例精析]
例2 解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)＝(x－y)(a－b)
(2)6(m－n)3－12(n－m)2＝6(m－n)3－12(m－n)2＝6(m－n)2[(m－n)－2]
＝6(m－n)2(m－n－2)
例3 解：(1)不正确，理由：公因式没有提完全；
正确的是：3x2y－9xy2＝3xy(x－3y)．
(2)不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项“1”；
正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．
(3) 不正确，理由：(a－b)3与(b－a)3不一样，应先统一，且因式是多项式时要最简；正确的是：
x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝x(a－b)3·(a＋b)＋(a－b)3y
＝(a－b)3[x(a＋b)＋y]＝(a－b)3(ax＋bx＋y)．
[尝试·思考]
(1) 将 ② 旋转 90°，然后把两个长方形长度为 n 的边拼在一起即可得到一个新的长方形。
根据拼组前后面积相等：a×n + b×n = (a + b)×n.
(2) 把 (1) 得到的长方形和 ③ 两个长方形长度为 a+b 的边拼在一起得到一个新的长方形。
根据拼组前后面积相等：
a×n + b×n + (a + b)×m= (a + b)×n + (a + b)×m = (a + b)×(m + n) .
[练一练]
3. 30
当堂反馈
1.　D　
2.C　
3.　C　
4.(1)原式＝3(b－c)(a－1).
(2)原式＝(3x－7)(x－3).
5.解：原式＝－2xy(x＋y).
∵x＋y＝5，xy＝6，
∴原式＝－2×6×5＝－60.