4.3 第1课时 平方差公式-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第四章 因式分解
4.3 公式法
第1课时　运用平方差公式因式分解
【素养目标】
1.了解能运用平方差公式因式分解的式子特点．
2.会用平方差公式分解因式．
3.初步会结合提公因式法与公式法分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．
4.培养学生的观察、联想能力，会用数学的眼光观察现实世界，进一步渗透整体思想．
重点：应用平方差公式分解因式．
难点：灵活运用公式法和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
【复习导入】
1. 什么叫把多项式分解因式
2. 已学过哪一种分解因式的方法
【合作探究】
探究点：用平方差公式进行因式分解
问题1：计算下列各式：
(1) (x＋5)(x－5)； (2) (3x＋y)(3x－y).
思考：这个计算的依据是什么？
问题2：根据上面两道题，试着分解因式.
(1) x2－25； (2) 9x2－y2.
思考：观察这个变化过程有什么规律？
问题3：我们把这些式子推广到一般式 a2－b2，你能将它分解因式吗？
由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
将公式等号两边互换位置，就得到：
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
运用这个公式，可以把形如平方差的多项式分解因式.
[练一练]
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式
(1) x2 + y2 (2) x2－y2 (3) －x2 －y2
(4) －x2 + y2 (5) x2－25y2 (6) 9m2－1
总结：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，
即能写成 ( )2－( )2 的形式.
[典例精析]
例1 把下列各式因式分解：
(1) 25－16x2； (2) 9a2－b2.
例2 分解因式：
(1) 2x3－8x； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.
[归纳总结]
公式中的 a，b 无论表示数 ，单项式 ，还是多项式 ，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式 ，就能用平方差公式因式分解.
例3 把下列各式因式分解：
(1) a3b－ab. (2) (a＋b)2－4a2.
[归纳总结]
1.分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.
2.分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
[练一练]
2. 把下列各式分解因式：
(1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b.
3. 已知 x2－y2＝－2，x＋y＝1，求 x－y，x，y 的值.
[操作·思考]
如图，在一块边长为 a cm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm 的正方形，求剩余部分的面积。当 a = 3.6，b = 0.8 时，剩余部分的面积是多少
当堂反馈
1.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是(　　)
A.x2＋x B.x2＋8x＋16
C.x2＋4 D.x2－1
2.因式分解x2－4的结果是(　　)
A.x(x－4) B.x(x－2)2
C.(x＋2)(x－2) D.x(x＋2)2
3.因式分解：a2－4b2＝　 　.
4.因式分解与简便计算.
(1)(2x＋3)2－x2；
(2)a3－9a；
(3)3.14×5.52－3.14×4.52.
参考答案
【复习导入】
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作多项式的分解因式.
2. 提公因式法
【合作探究】
探究点：用平方差公式进行因式分解
问题1：解：(1) (x＋5)(x－5) ＝x2－52 ＝x2－25；
(2) (3x＋y)(3x－y)＝ (3x)2－y2 ＝ 9x2－y2.
思考：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
问题2：解：(1) x2－25＝(x＋5)(x－5)；
(2) 9x2－y2＝(3x＋y)(3x－y).
思考： 把平方差公式等号两边互换就可以得到因式分解的结果.
[练一练]
1.(1) × (2)√ (3) × (4) √ (5)√ (6) √
[典例精析]
例1 解：(1) 原式＝52－(4x)2 ＝ (5＋4x)(5－4x)
(2) 原式＝(3a)2－ (b)2 ＝ (3a＋b)2 (3a－b)2
例2 解：(1) 原式＝2x(x2－ 4)＝2x( x + 2 )( x－2)
(2) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2
＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
例3 解：(1) 原式＝ab(a2－1)＝ab(a + 1)(a－1).
(2) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b).
[练一练]
2. 解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4)＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2)
＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
(2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b)＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
＝ (a＋2b)(a－2b－1).
3. 解：∵ x2－y2 ＝ (x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
∴ x－y ＝ －2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
[操作·思考]
大正方形面积：a2 . 小正方形面积：4b2 .
S剩余部分 = a2－4b2.
当 a = 3.6，b = 0.8 时：
S剩余部分 = 3.62－4×0.82 =10.4 cm2.
当堂反馈
1.　D　
2.　C　
3.(a＋2b)(a－2b)　.
4.(1)解：原式＝3(x＋3)(x＋1).
(2)解：原式＝a(a＋3)(a－3).
(3)解：原式＝31.4.