5.2 第1课时 分式的乘除法-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第五章 分 式与分式方程
5.2 分式的运算
第 1 课时 分式的乘除
【素养目标】
1.理解并掌握分式的乘法、除法法则．
2.运用乘、除法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．
3.经历探索分式的乘、除运算法则的过程，渗透类比转化的思想，会用数学的思维思考现实世界．让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练．
重点：掌握分式的乘、除运算法则．
难点：掌握分子、分母为多项式的分式的乘除运算．
【复习导入】
1. 分式的基本性质是什么
2.上述性质如何用等式表示
【合作探究】
探究点1：分式的乘法与除法
问题1: 一个水平放置的长方体容器的容积为250, 底面面积为50，当容器内的水深占容积高的 时， 水面的高度为多少？
变式1: 一个水平放置的长方体容器的容积为，底面为 ，当容器内的水深占容积高的 时，水面的高度为多少？
问题2：大拖拉机 3 天耕地 ，小拖拉机 4 天耕地 ，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
变式2：大拖拉机 天耕地 公顷，小拖拉机 天耕地 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
[合作探究]
观察分数的乘除法则，你能说出分式的乘除法则吗？
[知识要点]
乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
上述法则用式子表示为：
[典例精析]
例1 计算：
(1) ; (2)3xy2 .
例2 计算：
[归纳总结]
计算分式乘除的一般步骤：
(1) 因式分解：将分式的分子、分母中的多项式因式分解；
(2) 化除为乘：将除法转化为乘法并计算；
(3) 约分：将结果的分子、分母中相同的因式进行约分；
(4) 整理结果：将分式的分子、分母中剩下的因式分别相乘，并整理出最后结果．
注意：若分式的乘除运算中出现了整式，可以把整式看作“分母为1”的式子进行计算．
[练一练]
1.计算：
(1) ; (2) .
2.计算：
注意事项：
1.分式的除法运算可以转化为乘法运算；
2.分子或分母是多项式时，可以把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
注意：按照法则进行分式乘除运算，结果一定要化成最简分式.
[练一练]
3. 先化简，再求值 ，其中 .
总结：根据分式乘除法则将式子先进行计算化简，再代入求值.同时注意字母的取值要使分式有意义！
探究点2：分式的乘方
问题1: 中的 可以是数，也可以是整式，那 可不可以是一个分式呢？
问题2:
[尝试·交流]
[典例精析]
例3 计算 .
[对应训练]
1.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
[尝试·交流]
购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好，假如我们把西瓜都看成球形，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是 d ，已知球的体积公式为 (其中 R 为球的半径)，那么
(1) 西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少
(2) 西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少
(3) 你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算
[典例精析]
例4 老王家种植两块正方形土地，边长分别为 a 米和 b 米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为 2a 米，宽为 b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
[练一练]
4.一条船往返于水路相距 100 km 的 A，B 两地之间，已知水流的速度是每小时 2 km，船在静水中的速度是每小时 x km (x＞2)，那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.
当堂反馈
1.计算a3 ()2的结果是(　　)
A.a B.a5 C.a6 D.a9
2.化简 ÷ 的结果是(　　)
A.m B. C.m－1 D.
3.计算 的结果是(　　)
A.a＋b B.－a＋b
C.a－b D.－a－b
4.已知 ÷M＝，则M＝　 　.
5.当m＝3，n＝1时，4m2n÷(－)2 的值为　 　.
6.计算：
(1)3ab2÷；
(2) ；
(3)(－)2 ()2÷(－2ab)2.
参考答案
【复习导入】
1. 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.
2. (m ≠ 0).
【合作探究】
探究点1：分式的乘法与除法
问题1: 变式1:
问题2: 变式2:
[合作探究]
[典例精析]
例1 解：
例2 解：
分子、分母是多项式时，先分解因式
[练一练]1.解：(1)
2.解：(1)原式
(2)原式
[练一练]3.解： 原式 .当时，原式 .
探究点2：分式的乘方
问题2:
[尝试·交流] 当 为正整数时， .
[典例精析]例3 解： 原式
[对应训练]1.C
[尝试·交流]解：(1)西瓜瓤的体积是 ，
整个西瓜的体积是 .
(2)
(3) 当 d＝1 cm，R＝10 cm 时， ；
当 d＝1 cm，R＝15 cm 时， .
所以当皮厚度都是 1 cm时，买大西瓜合算(答案不唯一).
[典例精析]例4 解：设花生的总产量是 1，则
[练一练]4.
当堂反馈
1.A　 2.　A　 3.　A　
4. 5.　3　
6.(1)原式＝.
(2)原式＝.
(3)原式＝.