5.3 第1课时 分式方程的概念及列分式方程-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 5.3 第1课时 分式方程的概念及列分式方程-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 189.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-05 00:00:00 | ||
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文档简介
第五章 分 式与分式方程
5.3 分式方程
第 1 课时 分式方程的概念及列分式方程
【素养目标】
1.对比学习分式方程的定义，能够判断一个方程是否为分式方程．
2.会分析实际问题中的等量关系，建立分式方程．
重点：熟练掌握分式方程定义并会判断．
难点：能在实际问题中建立分式方程．
【情境导入】
京张高速铁路正线全长 174 km ，高速列车的平均行驶速度是快速列车的 3 倍，高速列车从北京市到张家口市的行驶时间比快速列车少 2 h。
(1) 你能找出这一情境中的所有等量关系吗
(2) 如果设快速列车的平均行驶速度是 x km/h ，那么x满足怎样的方程
(3) 如果设高速列车从北京市到张家口市的行驶时间是y h，那么y满足怎样的方程
【合作探究】
探究点：分式方程的概念及列分式方程
(1) 你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
(2) 如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
(3) 如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
[尝试·思考]
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知七年级同学捐款总额为 4800 元，八年级同学捐款总额为 5000 元，八年级捐款人数比七年级多 20 人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。如果设七年级捐款人数为 x 人，
那么 x 满足怎样的方程
[观察·交流]
由上面的问题，你得到了哪些方程 观察这些方程，它们有什么共同特点 与同伴进行交流。
[知识要点]
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
分式方程的特征
（1）是等式；
（2）方程中含有分式；
（3）分母中含有未知数.
[典例精析]
例1 下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
注意： π 是确定的常数，不是未知数.
[典例精析]
例2 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少
思考：结合问题 1 和 2，我们发现列分式方程和列一元一次方程有什么共同特点？
[归纳总结]
列分式方程的步骤：
（1）审清题意，适当设出未知数；
（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
[练一练]
1. 某校举行运动会，需要从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多 3 元，且用 200 元购买笔记本的数量与用 350 元 购买笔袋的数量相同，设每个笔记本的价格为 x 元，则可列方程 .
2. 某市为处理污水，需要铺设一条长为 5000 m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设 20 m，结果提前 15 天完成任务．设原计划每天铺设管道 x m，则可得方程 .
当堂反馈
1.下列方程中，是分式方程的是( )
A.－－3x＝6 B.－1＝0
C.－3x＝5 D.2x2＋3x＝2
2.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A.＝＝
C.＝＝
3.某市需要铺设一条长660 m的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加10％，结果提前6天完成.求实际每天铺设管道的长度与实际施工的天数.小宇同学根据题意列出方程－＝6，则方程中未知数x所表示的量是( )
A.实际每天铺设管道的长度
B.实际施工的天数
C.原计划每天铺设管道的长度
D.原计划施工的天数
4.已知货车行驶25 km与小车行驶35 km所用时间相同，小车每小时比货车多行驶20 km，则两车的速度各为多少？设货车的速度为x km/h，依题意可列方程为 .
5.小明家原来有12亩地种粮食，9亩地种西瓜，为了增加经济收入，计划将部分种植粮食的耕地改种西瓜，使得粮食的种植面积与西瓜的种植面积之比为2∶5.设有x亩种植粮食的耕地改为种植西瓜，那么x应满足怎样的分式方程？
参考答案
【合作探究】
探究点：分式方程的概念及列分式方程
(1) ① 高速列车所用的时间 + 2 h = 快速列车所用的时间，
② 高速列车的平均行驶速度 = 快速列车的平均速度×3，
③ 高速列车所用的时间 =
④ 快速列车所用的时间 =
(2) (3)
[尝试·思考]
[观察·交流]分母中都含有未知数.
[典例精析]
例1 解：（2）（3）是分式方程，（1）（4）（5）是整式方程，（6）不是方程.
[典例精析]
例2 解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
思考：步骤一样
[练一练]
1.
2.
当堂反馈
1. B
2. A
3.C
4. ＝
5.解：＝.
5.3 分式方程
第 1 课时 分式方程的概念及列分式方程
【素养目标】
1.对比学习分式方程的定义，能够判断一个方程是否为分式方程．
2.会分析实际问题中的等量关系，建立分式方程．
重点：熟练掌握分式方程定义并会判断．
难点：能在实际问题中建立分式方程．
【情境导入】
京张高速铁路正线全长 174 km ，高速列车的平均行驶速度是快速列车的 3 倍，高速列车从北京市到张家口市的行驶时间比快速列车少 2 h。
(1) 你能找出这一情境中的所有等量关系吗
(2) 如果设快速列车的平均行驶速度是 x km/h ，那么x满足怎样的方程
(3) 如果设高速列车从北京市到张家口市的行驶时间是y h，那么y满足怎样的方程
【合作探究】
探究点：分式方程的概念及列分式方程
(1) 你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
(2) 如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
(3) 如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
[尝试·思考]
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知七年级同学捐款总额为 4800 元，八年级同学捐款总额为 5000 元，八年级捐款人数比七年级多 20 人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。如果设七年级捐款人数为 x 人，
那么 x 满足怎样的方程
[观察·交流]
由上面的问题，你得到了哪些方程 观察这些方程，它们有什么共同特点 与同伴进行交流。
[知识要点]
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
分式方程的特征
（1）是等式；
（2）方程中含有分式；
（3）分母中含有未知数.
[典例精析]
例1 下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
注意： π 是确定的常数，不是未知数.
[典例精析]
例2 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少
思考：结合问题 1 和 2，我们发现列分式方程和列一元一次方程有什么共同特点？
[归纳总结]
列分式方程的步骤：
（1）审清题意，适当设出未知数；
（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
[练一练]
1. 某校举行运动会，需要从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多 3 元，且用 200 元购买笔记本的数量与用 350 元 购买笔袋的数量相同，设每个笔记本的价格为 x 元，则可列方程 .
2. 某市为处理污水，需要铺设一条长为 5000 m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设 20 m，结果提前 15 天完成任务．设原计划每天铺设管道 x m，则可得方程 .
当堂反馈
1.下列方程中，是分式方程的是( )
A.－－3x＝6 B.－1＝0
C.－3x＝5 D.2x2＋3x＝2
2.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A.＝＝
C.＝＝
3.某市需要铺设一条长660 m的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加10％，结果提前6天完成.求实际每天铺设管道的长度与实际施工的天数.小宇同学根据题意列出方程－＝6，则方程中未知数x所表示的量是( )
A.实际每天铺设管道的长度
B.实际施工的天数
C.原计划每天铺设管道的长度
D.原计划施工的天数
4.已知货车行驶25 km与小车行驶35 km所用时间相同，小车每小时比货车多行驶20 km，则两车的速度各为多少？设货车的速度为x km/h，依题意可列方程为 .
5.小明家原来有12亩地种粮食，9亩地种西瓜，为了增加经济收入，计划将部分种植粮食的耕地改种西瓜，使得粮食的种植面积与西瓜的种植面积之比为2∶5.设有x亩种植粮食的耕地改为种植西瓜，那么x应满足怎样的分式方程？
参考答案
【合作探究】
探究点：分式方程的概念及列分式方程
(1) ① 高速列车所用的时间 + 2 h = 快速列车所用的时间，
② 高速列车的平均行驶速度 = 快速列车的平均速度×3，
③ 高速列车所用的时间 =
④ 快速列车所用的时间 =
(2) (3)
[尝试·思考]
[观察·交流]分母中都含有未知数.
[典例精析]
例1 解：（2）（3）是分式方程，（1）（4）（5）是整式方程，（6）不是方程.
[典例精析]
例2 解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
思考：步骤一样
[练一练]
1.
2.
当堂反馈
1. B
2. A
3.C
4. ＝
5.解：＝.
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