5.3 第3课时 分式方程的应用-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第五章 分 式与分式方程
5.3 分式方程
第3课时　分式方程的应用
【素养目标】
1. 会分析题意找出等量关系，会列出分式方程解决工程、行程问题.
2. 能结合实际问题的情境对分式方程的解进行检验.
3. 在探究分式方程的应用的过程中，体会建立分式方程模型的作用.
重点：在不同的实际问题中审清题意设未知数，列分式方程，解决实际问题．
难点：弄清实际问题中的等量关系．
【复习导入】
应用整式方程解实际问题的步骤：
那么如何运用分式方程解决实际问题呢？
【合作探究】
探究点：列方程解决实际问题
问题 某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多 500 元，所有房屋出租的租金第一年为 9.6 万元，第二年为 10.2 万元.
(1) 你能找出这一情境中的等量关系吗
(2) 根据这一情境你能提出哪些问题
(3) 你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗
[归纳总结]
分式方程解决实际问题的基本过程：
[练一练]
1. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是 15 元，今年 7 月的水费是 30 元.已知今年7月的用水量比去年 12 月的用水量多 5 m3，求该市今年居民用水的价格.
[典例精析]
例1 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工 10 个这种工艺品，师傅加工 300 个这种工艺品所用的时间是徒弟加工 120 个这种工艺品所用时间的 2 倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。
例2 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
例3 一轮船往返于 A、B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达. 已知 A、B 两地相距 80 km，水流速度是 2 km/h，求轮船在静水中的速度.
[练一练]
2. 农机厂到距工厂 15 km 的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了 40 分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度.
当堂反馈
1.一组学生去春游，预计共需用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少摊3元，设原来这组学生人数为x，则可列方程为(　　)
A.120x＝(x＋2)x B.＝x＋2　　C.－＝3 D.＝3＋
2.某生态示范园计划种植一批普通苹果，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，后决定改种“三优苹果”.“三优苹果”平均每亩的产量是普通苹果的1.5倍，总产量比普通苹果增加9万千克，种植亩数比普通苹果减少20亩，则普通苹果平均每亩的产量为(　　)
A.0.3万千克 B.0.35万千克 C.0.4万千克 D.0.45万千克
3.一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60 km所需时间与逆水航行48 km所需时间相同，已知水流速度是2 km/h，则轮船在静水中航行的速度为　 　.
4.某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，实际施工时，每月的工效比原计划提高了20％，结果提前5个月完成这一工程，原计划完成这一工程的时间是　 　个月.
5.八年级学生去距学校14 km的某地游玩，一部分同学骑自行车先走，过了40 min，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度.
书写通关
解：设自行车速度为x km/h.
根据题意得　 　.
解得x＝　 　.
经检验，　 　是原方程的根，且符合题意.
则3x＝　 　.
答：自行车的速度是　 　，汽车的速度是　　.
易错通关：注意时间单位的统一和验根
6.某工程队修建一条长1200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50％，结果提前4天完成任务.求这个工程队原计划每天修建道路多少米.
参考答案
【合作探究】
探究点：列方程解决实际问题
问题 (1) 第一年出租的房屋间数 = 第二年出租的房屋间数
第二年每间房屋的租金 = 第一年每间房屋的租金 + 500
出租房屋间数 = 所有出租房屋租金 ÷每间房屋租金
(2) 可以提出的问题如下:
① 该单位出租了多少间房屋
② 第一年每间房屋的租金是多少元
③ 第二年每间房屋的租金是多少元
(3) 解：设第一年每间房屋的租金为 x 元，则第二年每间房屋的租金为 (x + 500) 元，根据题意，得
解得 x = 8000.
答：第一年每间房屋的租金为 8000，第二年每间房屋的租金为 8500.
[归纳总结]
[练一练]1. 解：设该市去年居民用水的价格为 x 元/m3，
则今年的水价为元/m3，根据题意，得
解得经检验， 是原方程的根.
答：该市今年居民用水的价格为 2 元/m3.
[典例精析]
例1 解: 设徒弟每天加工这种工艺品个，则师傅每天加工这种工艺品 (x + 10) 个，
根据题意，得
解这个方程，得 x = 40.
经检验，x = 40 是所列方程的根.40 + 10 = 50.
所以，师傅每天加工这种工艺品 50 个，徒弟每天加工这种工艺品 40 个.
例2 解：设乙单独完成这项工程需要 x 月，则乙队的工作效率是 ，记总工程量为 1，
根据工程的实际进度，得
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，6x≠0，故 x = 1 是原方程的解.
由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月才可以完成任务的 ，可知乙队的施工速度快.
例3 解：设船在静水中的速度为 x km/h，根据题意得
方程两边同乘 (x - 2)(x + 2) 得 80x + 160－80x + 160 = x2 －4.
解得 x = ±18.
检验：x =－18 不合题意，舍去，故 x = 18.
答：船在静水中的速度为 18 km/h.
[练一练]2. 解：设自行车的速度为 x km/h，依题意得
解得 x＝15.
经检验，x＝15 是原方程的根. 由 x＝15 得 3x＝45.
答：自行车的速度是 15 km/h，汽车的速度是 45 km/h.
当堂反馈
1.　C 2.　A 3.　18 km/h　 4.　30　
5.　－＝　　14　　x＝14　　42　　14 km/h　42 km/h　
6.解：设原计划每天修建道路x m，
根据题意，得＝＋4，解得x＝100.
经检验，x＝100是原方程的根，且符合题意.
答：原计划每天修建道路100 m.