6.3 三角形的中位线-导学案--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

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第六章 平行四边形
6.3 三角形的中位线
【素养目标】
1.掌握中位线的定义以及中位线定理．
2.在推理证明的过程中，感悟中位线定理与平行四边形的判定之间的联系，形成转化、化归的数学思想．
重点：掌握中位线的定义以及中位线定理．
难点：综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．
【情境导入】
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的大小和形状都相同，怎么设计合理的解决方案呢？
【合作探究】
探究点：三角形的中位线及其性质
思考1 你能将任意的一个三角形分成四个全等的三角形吗
思考2 连接每两边的中点，看看得到了什么样的图形
猜想：四个全等的三角形
[知识要点]
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
两层含义：
① 如果 D、E 分别为 AB、AC 的中点，
那么 DE 为△ABC 的 ；
② 如果 DE 为△ABC 的中位线，
那么 D、E 分别为 AB、AC 的 .
问题1：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
问题2：三角形的中位线与中线一样吗？
问题3：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
小明的做法：如图，将△ADE 绕点 E 按顺时针方向旋转180° 到△CFE 的位置，这样就得到了一个与 △ABC 面积相等的□ DBCF.
猜一猜：从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？
能证明你的猜想吗
问题4：如何证明你的猜想？
[知识要点]
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示：
∵ DE 是 △ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，
问题5：根据三角形的三条中位线能得到什么结论？
思考：如图，如何做辅助线，将 △ABC 分成 4 块面积相等的部分？
[练一练]
1. 如图，△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点．
(1) 若 DE = 5，则 BC = ．
(2) 若 ∠B = 65°，则∠ADE = °．
(3) 若 DE + BC = 12，则 BC = ．
[典例精析]
例1 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，
∠ADB = 90°，AC = 6，OE =1. 求AD 和 BD 的长度.
例2 已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为各边的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
当堂反馈
1.如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得A，B分别是CD，CE的中点.若DE＝16 m，则线段AB的长度是(　　)
A.16 m
B.10 m
C.8 m
D.6 m
2.在等边三角形ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为(　　)
A.30° B.60°　　
C.120° D.150°
3.如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，E是BC边的中点，AB＝4，则OE的长为(　　)
A.1 B.2　　
C.3 D.5
第3题图　　
4.如图，在△MBN中，BM＝8，BN＝6，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，则四边形ABCD的周长是(　　)
A.16 B.18 C.14 D.32
第4题图
5.顺次连接任意四边形各边的中点得到的四边形是　　.
6.如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点，连接PM，MN，PN.
(1)若AB＝6，求PM的长度；
(2)若∠PMN＝20°，则∠MPN的度数为　　.
参考答案
【合作探究】
探究点：三角形的中位线及其性质
[知识要点]
① 中位线② 中点
问题1：有三条.如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF.
问题2：
相同点：都是与中点有关的线段.
不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
猜一猜：DE 和边 BC 的关系: 位置关系：平行
数量关系：DE 是 BC 的一半
能证明你的猜想吗
问题4：证明：如图，延长 DE 至 F，使 EF = DE，连接 CF.
在 △ADE 和 △CFE 中，
∵ AE = CE，∠1 =∠2，DE = FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴ ∠A =∠ECF，AD = CF.
∴ CF∥AB.
∵ AD = BD，∴ BD = CF.
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∴ DF∥BC(平行四边形的定义)，
DF = BC (平行四边形的对边相等).
∴ DE∥BC，DE = BC.
问题5：△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED
S△ADE = S△DBF = S△EFC = S△FED = S△ABC
思考：方法一：中位线法 方法二：中线法
[练一练]1. (1) 10 (2) 65 (3) 8
[典例精析]例1 解：∵ □ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
∴ AO = OC，DO = OB (平行四边形的对角线互相平分).
∵ E 为 AB 的中点，
∴ OE 是 △ADB 的中位线(三角形的中位线的定义).
∴ AD = 2OE = 2 (三角形中位线定理).
∵ AC = 6，AO = OC，
∴ AO = AC = ×6 = 3.
在 Rt△ ADO 中，由勾股定理可得
DO = = = .
∴ BD = 2DO = 2 .
例2 证明：连接 AC.
∵E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴EF∥AC，EF = AC，HG∥AC，HG = AC
∴ EF∥HG，EF = HG.
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
当堂反馈
1.　C　 2.C　 3.　B　　　 4.　C
5.　平行四边形　
6.(1)解：(1)∵AB＝DC，AB＝6，
∴DC＝6.
∵点P是AC的中点，点M是AD的中点，
∴PM＝DC＝×6＝3.
(2)　140°