问题解决策略：反思-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 问题解决策略：反思-导学案（含答案）--2025-2026学年北师大版数学八年级下册 |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 472.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-05 00:00:00 | ||
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文档简介
第一章 三角形的证明
问题解决策略：反思
【素养目标】
1. 经历借助“特殊化”策略解决问题的过程，了解“特殊化”策略的意义、运用情境和一般步骤，体会“特殊化”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力。(重点)
2. 积累利用“特殊化”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力。(难点)
【复习导入】
问题：等腰三角形有哪些基本性质？全等三角形判定定理有哪些？
【合作探究】
问题 证明：等腰三角形两腰上的中线相等。
已知：如图，在中，，和分别是边 ， 上的中线。求证： 。
1.理解问题：
已知条件是什么？目标是什么？
将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系？
2.拟订计划
(1) 证明两条线段相等有哪些常用的方法？
(2) 以为边的三角形有哪些？以为边的三角形呢？ 其中哪些三角形有可能全等？
(3) 找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？
(4) 整理你的思路，并与同伴进行交流。
3.实施计划
按照下述思路写出证明过程， 并说明每一步的理由。
(1) 通过 ，证明 。
(2) 通过 ，证明 。
4.回顾反思
(1) 比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法？说说你的理由。
(2) 根据题目的条件，你还能得到哪些结论？与同伴进行交流。
(3) 适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？
已知：如图，在中，，和分别是边，上的高。求证：。
(4) 本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等。反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明自己结论的正确性吗？
拓展：如果把原题中的 、 分别是边和上的中线换成 分别是和的角平分线，和还相等吗？
例1 证明命题 “全等三角形对应边上的中线相等”
已知：如图， 和 分别是边 上的中线。
求证： .
例2 将这10个数字填写到图中10个圆圈内， 使得相邻两数差的绝对值的和最大。
当堂反馈
1. 如图，是等边三角形， ，点 在的延长线上，且
.求证：是等腰三角形。
2. 如图，在中， ，是边的中点， ，垂足分别为 . 求证： .
变式1: 在上图中，若点 分别是 , 边的中点。 与 依然相等吗？
变式2：在上图中，如果 ， 分别是 ， 的平分线， 与 还有相等的数量关系吗？
参考答案
【复习导入】
问题：等腰三角形两腰相等、两底角相等、底边上的高， 中线， 角平分线三线合一； 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
【合作探究】
1. 理解问题
2. 拟订计划
(1) 证明两条线段所在的三角形全等、 利用等腰三角形的性质(等角对等边)、 利用线段的垂直平分线性质等。
(2) 以为边的三角形： 。
以 为边的三角形： 。
与有可能全等。
与有可能全等。
(3) 与 有可能全等。
已知相等的边或角：
(已知)， (公共角), (由及中线定义可得)
不需要再证明其他边或角相等，可根据 “SAS” (边角边) 判定三角形全等。
(4)思路：先根据中线定义和 得出 ，再利用“SAS”证明 ，最后由全等三角形对应边相等得出 。
3.实施计划
(1) 解： 是 边上的中线， ;
是 边上的中线， ;
又 。又 (公共角),
(SAS). .
(2) 解： 是 边上的中线， ;
是 边上的中线， ；
又 , 。
又 (公共角), (SAS)。 .
回顾反思
(1) 答案不唯一， 比如更喜欢第一种方法。 理由：第一种方法直接利用等腰三角形的边相等以及公共角， 结合中线定义得到全等条件， 步骤相对更简洁直接， 从三角形的“上半部分”直接证明全等，思路更清晰。
(2) 还能得到 , 等结论 (由 ，
全等三角形对应角相等)；
也能得到 (由 , 全等三角形对应角相等)。
(3) 已知：如图，在 中， ， 和分别是边 ， 上的高。求证： 。
证明如下： 是等腰三角形， .
,
(AAS). .
(4) 已知：如图在中， 、 分别是边 和 上的中线， ， 求证：是等腰三角形。
证明： 连接 延长至 ，使 ，连接 .
是边 上的中线，
,
(SAS).
.
是边 上的中线，
.
.
.
,
(SAS).
.
延长 至点 ，使 ,
.
(SAS).
, .
.
(SAS).
. 是等腰三角形。
拓展：相等。 理由： 设 相交与点 . .
分别是 和 的角平分线，
. .
.
, .
例1 证明： , .
是 和 上的中线，.
. 在 中，
.
例2 解： 如图所示 (答案不唯一).
当堂反馈
1. 解： 是等边三角形， ,
根据等边三角形的性质， ， .
,
.
. 是等腰三角形。
2. 证明： , .
又 , 是等腰三角形， .
是 边的中点， . (AAS), .
变式1: 证明： 分别为 的中点，
又 .
是边的中点，而为等腰三角形
为 的角平分线。
, .
变式2：证明： 为 的中点。
平分 .
而 分别是 的平分线。
.
在和中，
(ASA), .
问题解决策略：反思
【素养目标】
1. 经历借助“特殊化”策略解决问题的过程，了解“特殊化”策略的意义、运用情境和一般步骤，体会“特殊化”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力。(重点)
2. 积累利用“特殊化”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力。(难点)
【复习导入】
问题：等腰三角形有哪些基本性质？全等三角形判定定理有哪些？
【合作探究】
问题 证明：等腰三角形两腰上的中线相等。
已知：如图，在中，，和分别是边 ， 上的中线。求证： 。
1.理解问题：
已知条件是什么？目标是什么？
将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系？
2.拟订计划
(1) 证明两条线段相等有哪些常用的方法？
(2) 以为边的三角形有哪些？以为边的三角形呢？ 其中哪些三角形有可能全等？
(3) 找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？
(4) 整理你的思路，并与同伴进行交流。
3.实施计划
按照下述思路写出证明过程， 并说明每一步的理由。
(1) 通过 ，证明 。
(2) 通过 ，证明 。
4.回顾反思
(1) 比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法？说说你的理由。
(2) 根据题目的条件，你还能得到哪些结论？与同伴进行交流。
(3) 适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？
已知：如图，在中，，和分别是边，上的高。求证：。
(4) 本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等。反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明自己结论的正确性吗？
拓展：如果把原题中的 、 分别是边和上的中线换成 分别是和的角平分线，和还相等吗？
例1 证明命题 “全等三角形对应边上的中线相等”
已知：如图， 和 分别是边 上的中线。
求证： .
例2 将这10个数字填写到图中10个圆圈内， 使得相邻两数差的绝对值的和最大。
当堂反馈
1. 如图，是等边三角形， ，点 在的延长线上，且
.求证：是等腰三角形。
2. 如图，在中， ，是边的中点， ，垂足分别为 . 求证： .
变式1: 在上图中，若点 分别是 , 边的中点。 与 依然相等吗？
变式2：在上图中，如果 ， 分别是 ， 的平分线， 与 还有相等的数量关系吗？
参考答案
【复习导入】
问题：等腰三角形两腰相等、两底角相等、底边上的高， 中线， 角平分线三线合一； 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
【合作探究】
1. 理解问题
2. 拟订计划
(1) 证明两条线段所在的三角形全等、 利用等腰三角形的性质(等角对等边)、 利用线段的垂直平分线性质等。
(2) 以为边的三角形： 。
以 为边的三角形： 。
与有可能全等。
与有可能全等。
(3) 与 有可能全等。
已知相等的边或角：
(已知)， (公共角), (由及中线定义可得)
不需要再证明其他边或角相等，可根据 “SAS” (边角边) 判定三角形全等。
(4)思路：先根据中线定义和 得出 ，再利用“SAS”证明 ，最后由全等三角形对应边相等得出 。
3.实施计划
(1) 解： 是 边上的中线， ;
是 边上的中线， ;
又 。又 (公共角),
(SAS). .
(2) 解： 是 边上的中线， ;
是 边上的中线， ；
又 , 。
又 (公共角), (SAS)。 .
回顾反思
(1) 答案不唯一， 比如更喜欢第一种方法。 理由：第一种方法直接利用等腰三角形的边相等以及公共角， 结合中线定义得到全等条件， 步骤相对更简洁直接， 从三角形的“上半部分”直接证明全等，思路更清晰。
(2) 还能得到 , 等结论 (由 ，
全等三角形对应角相等)；
也能得到 (由 , 全等三角形对应角相等)。
(3) 已知：如图，在 中， ， 和分别是边 ， 上的高。求证： 。
证明如下： 是等腰三角形， .
,
(AAS). .
(4) 已知：如图在中， 、 分别是边 和 上的中线， ， 求证：是等腰三角形。
证明： 连接 延长至 ，使 ，连接 .
是边 上的中线，
,
(SAS).
.
是边 上的中线，
.
.
.
,
(SAS).
.
延长 至点 ，使 ,
.
(SAS).
, .
.
(SAS).
. 是等腰三角形。
拓展：相等。 理由： 设 相交与点 . .
分别是 和 的角平分线，
. .
.
, .
例1 证明： , .
是 和 上的中线，.
. 在 中，
.
例2 解： 如图所示 (答案不唯一).
当堂反馈
1. 解： 是等边三角形， ,
根据等边三角形的性质， ， .
,
.
. 是等腰三角形。
2. 证明： , .
又 , 是等腰三角形， .
是 边的中点， . (AAS), .
变式1: 证明： 分别为 的中点，
又 .
是边的中点，而为等腰三角形
为 的角平分线。
, .
变式2：证明： 为 的中点。
平分 .
而 分别是 的平分线。
.
在和中，
(ASA), .
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