新人教版八年级数学下册第二十三章一次函数教材分析与教学建议

新人教版八年级数学第二十三章一次函数教材分析与教学建议
一、教材分析：
(一)地位和作用：
一次函数是“数与代数”领域“函数”主题中三类具体的函数之一。一次函数是函数中比较简单的类型，在现实世界中有着广泛的应用;一次函数的学习既可以为后续学习二次函数和反比例函数提供方法基础，又能为进一步认识一次方程和一次不等式提供函数视角。本章内容以建立函数模型、解决实际问题为主线，展开对一次函数性质的探究。通过对一次函数的学习，学生将体会两个变量之间变化与对应的关系，获得研究一类具体函数的思路与方法，提升抽象能力，发展几何直观、模型观念和应用意识。
(二)课标要求：
1.内容要求：
(1)结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。
(2)能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探究并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。
(3)体会一次函数与二元一次方程的关系。
(4)能用一次函数解决简单实际问题。
2.学业要求：
能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式;会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式;会画出一次函数的图象;会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;会根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)，探索并理解k值的变化对函数图象的影响。认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律。会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系;能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。
(三)学习目标：
1.经历一次函数概念的形成过程，了解一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式，提升抽象能力。
2.经历一次函数(包括正比例函数)图象和性质的探究过程，能画一次函数的图象，能根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解当k>0和k<0时图象的变化情况，能根据函数的图象探究函数的性质，体会数形结合的思想，发展几何直观。
3.会运用待定系数法确定一次函数的表达式。
4.经历从函数的角度认识方程(组)和不等式的过程，体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程(组)的关系。
5.经历构建一次函数模型解决实际问题的过程，能用一次函数解决简单实际问题，发展模型观念和应用意识。
二、内容安排：
教科书按照“一次函数的概念——一次函数的图象和性质——一次函数与方程(组)、不等式的关系——用一次函数解决实际问题”的顺序展开，这也是后续研究某类新函数的一般路径。本章安排的两个数学活动“水龙头的滴水量”、“纸杯的高度”都是生活中的问题，活动中对问题的解决，需要学生自主设计探究步骤、收集数据、选择函数模型，这对学生提出了更高的要求，通过对这些问题的探究，学生可以进一步发展模型观念和应用意识。本章的核心内容是建立一次函数模型解决实际问题，解决问题的前提是由实际问题抽象出函数关系，关键是利用函数的图象和性质分析解决问题。因此，本章的重点是列一次函数解析式、理解一次函数的图象和性质。在本章的实际应用问题中，变量之间的关系较为隐蔽，对学生的建模解题能力的要求较高，因此本章的难点是建立一次函数模型解决实际问题，突破难点的关键是分析清楚问题中变量之间的依赖关系，将实际问题转化为一次函数问题，对于复杂的情况要学会分类讨论。
(一)具体内容及教学课时安排：
23.1 一次函数的概念 约1课时
23.2 一次函数的图象和性质 约3课时
信息技术应用 探究函数的图象和性质
23.3 一次函数与方程(组)、不等式 约1课时
23.4 实际问题与一次函数 约3课时
数学活动 约1课时
小结 约1课时
(二)本章内容结构图：
三、2013版教材与2024版新教材内容对比分析。
2024版教材将原教材中第十九章《一次函数》拆分成第二十二章《函数》和第二十三章《一次函数》，一次函数独立成章，按研究一类具体函数的一般路径安排内容，整体的知识结构清晰、完整，后续二次函数、反比例函数的内容安排与此类似。为了便于学生更好地理解正比例函数与一次函数之间特殊与一般的关系，教科书把正比例函数作为一次函数的特例进行处理。一次函数作为初中阶段具体研究的第一类函数，其研究的内容、思路和方法，将为后续其他类型函数的研究提供经验。
(一)章头图体现函数来源于生活，并服务于生活的实际应用
让学生通过行程问题、存款问题等与他们生活接近的例子，感受一个量随另一个量均匀变化的现象存在的普遍性，并体会学习刻画这种现象的函数——一次函数的必要性，让学生了解本章所学的主要内容，对将要学习的内容做到心中有数，可以起到先行组织者的作用。
(二)新版结构调整使章节结构更完整。
对章节目录进行了微调，原教材三个小节地位不对等，正比例函数过于突出，调整后“一次函数”整章结构更完整，脉络更清楚，体现“函数的概念图象与性质——与方程(不等式)的关系——实际问题与函数”的研究框架。
(三)新版一次函数和正比例函数概念的引入体现“一般到特殊”。
2024版“23.1一次函数的概念”直接由一般的一次函数引入，将正比例函数看作一次函数的特例，这样的安排有利于对正比例函数和一次函数关系的认识，更加注重知识的系统性。
(四)新版函数性质的探讨体现“从特殊到一般，从简单到复杂”的研究过程。
2024版“23.2一次函数的图象和性质”通过正比例函数的图象——性质——一次函数图象与正比例函数图象关系——一次函数的性质——待定系数法，使函数的性质研究可以从特殊到一般递进，有利于学生体会数形结合的思想来研究函数的性质。
2013版正比例函数和一次函数的图象与性质的探究是分在两节里分别探究，使得正比例函数比较突出，2024版的处理更能突出重点，同时将旧版例2的系数变小，使作图更顺畅，更改了例4求解析式的点坐标，探究思路依然保持一致。
(五)新版例题调整为由图象求解析式。
更改了例5的设问背景(玉米种子调整到23.4的例题)和方式，删除重复的列表过程，直接由图象得出函数的解析式，更直观的理解分段函数的表示，补充由图象求函数解析式的方法，并且强化函数中知x求y(或知y求x)的直接应用。
(六)新版“信息技术的应用”更能体现函数的动态变化。
2024版“信息技术的应用”调整到“一次函数图形和性质”后面，不仅探究函数作图，通过图象得出性质，还通过借助信息技术加强动态理解一次函数的性质，观察共性，强化和迁移所学知识。
(七)新版直接用函数观点认识方程(组)和不等式，加强知识体系的构建。
一次函数与方程不等式的关系的探究，2013版“方程(组)、不等式——用函数的眼光思考——方程(组)、不等式”的思路有点绕，2024版直接从函数的角度切入，提出问题，建立函数与方程(组)、不等式的关系，降低学生理解的难度。
(八)新版将“一次函数的实际应用”独立成节，加强函数与实际问题的联系。
将原“19.3课题学习选择方案”与前面的部分例题整合为“23.4实际问题与一次函数”，紧扣课表要求“能用一次函数解决实际问题”。体现函数的实际应用不仅仅局限于方案选择，同时将“问题1上网收费”替换为“探究1游泳馆办理年卡”的背景，体现与时俱进。
(九)新版结合新课标调整了“数学活动”。
数学活动中删除活动“人口增长率曲线”，保留活动“水龙头的滴水量”，增加活动“纸杯的高度”，新版的活动更贴近学生的生活实际。
[活动2纸杯的高度分析]
该活动在新课标(2022版)P178的例92有分析:活动要求学生能够根据图示，自定义合适的常量和变量，并利用函数描述杯子的总高度随杯子数量的变化规律。考查学生对函数概念的理解。正确作答该试题要求学生能够从数学的角度观察示意图，将问题情境抽象为数学情境，并能够运用函数的知识表示杯子总高度随杯子数量的变化规律。考查的核心素养为“会用数学的眼光观察现实世界”和“会用数学的思维思考现实世界”，核心素养的主要表现为抽象能力和运算能力。在教学中应注意培养学生“会用数学的眼光观察现实世界”的能力，使学生意识到数学是一个能够解决现实问题的重要工具，培养学生对数学学科的兴趣，促进学生在日常生活中发挥数学的重要作用。
【参考答案】设杯子底部到杯沿底边高H，杯沿高a(常量)，杯子数量n(自变量)，则总高度h=H十na
四、教学建议：
(一)注重整体教学，关注对函数的研究路径与研究方法的指导。
在本章教学中，教师应突出具体函数研究的一般路径:函数的概念函数的图象和性质——函数与方程(组)、不等式——函数与实际问题。
1.在函数概念的形成过程中，一般先将现实问题中的数量关系抽象为数学解析式，再通过对一些具体式子的观察，归纳出它们的共同特征，得到它们的一般形式，并据此定义函数，这也是初中阶段定义函数的般方法。
2.在探究一类函数的图象和性质时，一般先研究较为简单的特殊形式的函数，再由特殊形式逐步过渡到一般形式，这种由简到繁的研究方法更利于学生理解和把握，这种研究方法在二次函数的研究过程中体现得尤为明显，在探究一个具体函数的图象和性质时，一般先画出函数的图象，然后观察图象的特征并猜想函数的性质，通过对解析式的分析、验证、猜想，最后得出函数的性质。为便于研究，往往通过改变系数的符号或绝对值等形成一组对比函数，然后观察这些改变对图象特征及函数性质的影响，进而形成结论，并建立函数解析式与图象的联系。
3.在探究函数与方程的关系时，分别从函数值和函数图象的角度解释方程的解。在探究函数与不等式的关系时，其过程和探究函数与方程的过程类似。在探究函数与方程组的关系时，如果构成方程组的两个方程可以看作两个函数，就分别从“数”和“形”的角度解释方程组的解。
4.在利用函数解决实际问题的过程中，一般先通过对实际问题的分析，将实际问题抽象为函数模型(列解析式)，并关注它的自变量的取值范围，然后借助解析式和图象综合分析问题，得到函数问题的解，再结合问题情境得到实际问题的解答。
初中阶段学习的具体函数有三类:一次函数、二次函数和反比例函数。一次函数相对比较简单，因此作为第一类具体函数进行学习，由于具体函数的研究思路和方法具有一致性，所以一次函数的研究思路和方法，以及最终呈现的知识结构，将对后续两类具体函数的学习起到示范作用，教师在这里要给学生的函数学习奠定坚实基础。(二)从特殊到一般地研究函数的图象和性质，要让学生体会思想方法，发展学生的几何直观
对于一次函数的图象和性质的研究，教科书采用从特殊到一般的方法，先探究正比例函数的图象和性质，再探究一般的一次函数的图象和性质，在研究正比例函数的图象和性质时，通过画具体函数的图象，利用函数的图象探究函数的性质，在研究一般的一次函数的图象和性质时，先通过具体函数的画图比较，认识正比例函数y=kx的图象和一次函数y=bx+b的图象之间的平移关系，由此确定一次函数图象的形状，以及通过两点画一次函数图象的方法，再通过画具体一次函数的图象，利用图象的特征认识一次函数的性质，纵观一次函数的图象和性质的学习过程，教科书展示了解决问题的一种基本策略，即“从特殊到一般，从简单到复杂”。教师在教学时要引导学生体会并且学会这种研究函数的基本方法。
(三)注重函数的图象和性质的探究过程，使学生体会数形结合的研究方法。
一次函数的图象和性质是本章的重点内容，教学中要让学生经历一次函数的图象和性质的探究过程。一般地，对复杂函数的研究都是从简单的特殊形式开始，然后逐步过渡到一般形式。在这个过程中，要引导学生关注图象和性质的共性与差异，并思考产生这些现象的决定因素，具体到一次函数的探究，需先画出函数的图象，再结合图象讨论一次函数的性质，对于讨论一次函数图象和性质的哪些方面，应引导学生适时总结。例如，对于函数图象特征的观察，一般围绕图象的形状、位置、升降(平移)、过特殊点等维度进行，一次函数的性质应重点关注其增减性等。
在一次函数的图象和性质的探究过程中，运用了数形结合的研究方法，要让学生体会这种研究方法。例如，函数图象从左向右上升(或下降)(上移或下移)对应着函数随自变量增大而增大(或减小)。从函数角度认识方程(组)、不等式时，也充分运用了数形结合的研究方法。例如，一次函数图象与x轴有公共点，表明当自变量取公共点的横坐标时，函数值为0，也就表明公共点的横坐标是相应的一元一次方程的解，教学中要帮助学生完成好从对图象的描述到对函数变化情况的描述的转换，发挥好几何直观的作用。
(四)利用函数解决实际问题，发展学生的模型观念和应用意识。
“23.4实际问题与一次函数”是以一次函数为主要知识点的应用问题，其中“选择最佳方案”是现实中经常面临的问题。对于这类问题，数学知识大有用武之地，这一节讨论的两个问题，与客观实际的接近程度很高，并且适合综合运用函数的解析式、图象等知识进行分析。因此，这些问题具有一定的实践性、综合性及探究性等，是培养和提高学生学习能力的较好素材，本节的教学应特别关注引导学生独立思考，分析实际问题中所包含的变量及其关系，并用解析式表示，即建立函数模型。在独立思考的基础上，可以进行合作交流式的学习活动，深化对问题的认识，本节探究活动的教学形式应与一般例题教学有所区别，更强调学生的主动性，使他们通过问题的探究进步感受建立数学模型解决问题的思想方法，切实提升应用意识。