2025-2026学年人教版九年级数学下册 28.1 锐角三角函数（第1课时）教学设计

28.1　锐角三角函数（第1课时）
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教学目标
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　　1．经历锐角的正弦的探究过程，感知当直角三角形的锐角角度一定时，它的对边与斜边的比是一个固定值这一事实，理解锐角的正弦的定义．
　　2．能灵活应用锐角的正弦进行计算，感受数形结合的思想方法．
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教学重点
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　　探究锐角的正弦，理解锐角的正弦的定义，并能灵活应用锐角的正弦进行计算．
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教学难点
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　　研究内容提出过程（研究锐角的正弦定义前，先研究直角三角形中锐角的对边与斜边的比为定值）的必要性．
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教学过程
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知识回顾
　　如图，在Rt△ABC中，两个锐角之间有什么关系？三边之间有什么关系？
　　【师生活动】学生独立思考，得出答案：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°（两锐角互余）；a2＋b2＝c2（勾股定理）．
　　教师提问：对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？
　　学生交流思考，教师讲解新课．
　　【设计意图】回顾学过的直角三角形的边角关系，自然地引出本节课的学习内容，激发学生的学习兴趣．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？
　　【师生活动】教师提问：你能用数学语言来表述这个实际问题吗？
　　学生组织语言进行小组交流，教师巡视，并适时引导．把上述实际问题抽象成数学问题为：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB．
　　教师追问：如何解决这个问题？
　　学生独立思考，完成作答．
　　【答案】根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即＝＝，可得AB＝2BC＝70（m）．也就是说，需要准备70 m长的水管．
　　【思考】在上面的问题中，如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
　　【师生活动】学生独立思考、画图，完成作答．
　　根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即＝＝，可得AB′＝2B′C′＝100（m）．也就是说，如果出水口的高度为50 m，那么需要准备100 m长的水管．
　　【思考】对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边的比是多少？
　　【师生活动】教师引导学生根据上面求AB（所需水管的长度）的过程，进行归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．
　　【设计意图】在学生用“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”解决问题的基础上，引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式——研究锐角和它的对边与斜边之比之间的关系，为获得“角度固定，比值也固定”作铺垫．
　　【问题】如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比．由此你能得出什么结论？
　　【师生活动】教师提出问题，学生分组讨论，得出答案．
　　【答案】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
　　∵∠A＝45°，
　　∴Rt△ABC是等腰直角三角形．
　　由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，
　　∴AB＝BC．
　　∴＝＝＝．
　　结论：在一个直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．
　　【设计意图】强化学生对“对边与斜边的比”的关注，为获得“角度固定，比值也固定”作进一步铺垫．
　　【问题】由上述两个结论可知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．由此你能猜想出什么一般的结论呢？
　　【师生活动】教师引导学生思考、交流，并用准确的语言归纳猜想．
　　【猜想】在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
　　【设计意图】让学生体验合理的猜想是数学学习中研究问题的方法之一，同时为学生提供自主探究的空间，增强语言表达能力．
　　【探究】如图，任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，那么与有什么关系？你能解释一下吗？
　　【师生活动】学生先独立思考，得出与的关系，再小组讨论，完成证明．
　　【答案】＝．理由如下：
　　∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，
　　∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
　　∴＝．
　　即＝．
　　【新知】这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
　　在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝＝．
　　例如，当∠A＝30°时，我们有sin A＝sin 30°＝；当∠A＝45°时，我们有sin A＝sin 45°＝．
　　∠A的正弦sin A随着∠A的变化而变化．正弦是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，只与角的大小有关，与三角形的大小无关．
【提醒】（1）正弦是在直角三角形中相对于锐角定义的，反映了直角三角形边与角的关系，不能在非直角三角形中套用；
（2）sin A是一个整体符号，不能写成乘积的形式，即sin·A的写法是错误的；
　　（3）若角是用一个大写字母或一个小写希腊字母表示的，则正弦的写法中可省略“∠”，如sin α；若角是用三个大写字母或数字表示的，则不能省略“∠”，如sin∠ABC．
　　【设计意图】培养学生的推理论证意识，让学生在一系列的问题解决中，经历从特殊到一般建立数学概念的过程，感受定义的方式：先研究合理性，再下定义．
二、典例精讲
　　【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sin A和sin B的值．
　　【师生活动】教师提示：求sin A就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sin B就是要确定∠B的对边与斜边的比．学生根据提示作答，请两名学生代表板演，教师规范步骤．
　　【答案】解：如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理得
　　AB＝＝＝5．
　　∴sin A＝＝，sin B＝＝．
　　如图（2），在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝12．
　　∴sin A＝＝，sin B＝＝．
　　【归纳】在直角三角形中，求锐角的正弦值时，如果没有给出锐角的对边长或斜边长，那么应先根据勾股定理求出所需的边长，再根据锐角的正弦的定义求解．
　　【设计意图】通过例1，考察学生是否会根据直角三角形的边长求出锐角的正弦值．
　　【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝．
　　（1）若AB＝10，求AC和BC；
　　（2）若AC＝8，求AB及AB边上的高CD．
　　【师生活动】学生独立完成，教师指导、讲解．
　　【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，sin A＝＝，AB＝10，
　　∴BC＝6．
　　∴由勾股定理得AC＝＝＝8．
　　（2）∵在Rt△ABC中，sin A＝＝，AC＝8，
　　∴设BC＝3x(x＞0)，则AB＝5x．
　　由勾股定理得AC＝＝＝4x＝8，
　　解得x＝2，
　　∴BC＝3x＝6，AB＝5x＝10．
　　∵在Rt△ACD中，sin A＝＝，AC＝8，
　　∴CD＝4.8．
　　【归纳】用正弦值求直角三角形边长的两种方法：
　　（1）在直角三角形中，若已知锐角的正弦值及该角的对边长或斜边长，则先直接根据正弦定义求斜边长或对边长，再根据勾股定理求第三边长；
　　（2）在直角三角形中，若已知锐角的正弦值及该角的邻边长，则可根据正弦的定义确定对边长与斜边长的比值，结合勾股定理列方程求解．
　　【设计意图】通过例2，考察学生是否会根据锐角的正弦值求出直角三角形的边长，加深学生对锐角的正弦定义的理解．
课堂小结
板书设计
　　一、锐角的正弦的定义
　　二、锐角的正弦的应用
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课后任务
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　　完成教材第64页练习第1～2题．
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教学反思
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