鲁教版（五四）数学六（下）第八章 整式的乘除 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2019七下·新乐期中）已知am=2，an=3，则a3m+2n的值是（ ）
A．6 B．24 C．36 D．72
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】∵am=2，an=3，∴a3m+2n=（am）3×（an）2
=23×32
=72．
故答案为：D．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．
2．（2025七上·平山期末）的值是（ ）
A．3 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C．
【分析】首先根据积的乘方的逆运用求得指数相同的两个数相乘的积，进而根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数求得（-1）的2016次幂和（-1）的2017次幂，然后再进行加减运算即可。
3．（2025七下·莲都期末） 若展开后不含的项，则m的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式 不含 项，
解得
故答案为： D.
【分析】先把多项式展开后合并，然后令 项系数等于0，再解方程即可.
4．（2025七上·锦江期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、积的乘方，给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
B、同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
C、同底数幂乘除法，底数不变指数相减；
D、单项式乘多项式，用单项式和多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
5．（2025七下·安吉期中）如图可以通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，这个大正方形边长为α+b+c，用（a+b+c）2可求得其面积。同时，大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和； 已知a+b+c=8，a2+b2+c2=26，则ab +bc+ac的值是（ ）
A．34 B．23 C．20 D．19
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵和，
又∵，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】根据大正方形的面积的两种计算方法得到关于ａ，ｂ，ｃ的等式，最后将已知等式的值代入计算即可．
6．（2016七上·县月考）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：平方差是指(a+b)(a-b)= ，所含的两个单项式中一个符号相同，另一个符号相反.
故答案为：D
【分析】平方差公式(a+b)(a-b)=a2 b2 中，a的符号相同，b的符号相反.
7．（2025七下·瑞安期中）化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：C .
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则求解即可.
8．（2025七下·蒲江月考）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用一个因式等于积除以另一个因式，列式计算，可求出结果.
9．（2025七下·温州期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（ ）
A．10 B． C．11 D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图2中，右下角阴影部分为正方形，边长为(a－b)，面积为9，
，
（负值舍去），
，
图3中，大正方形的边长为(a+b)，
面积为：，
（负值舍去），
∴，.
∴，，
，
故答案为：B．
【分析】由图2可得，结合，得出，可得，.再用含a，b的式子表示并计算和，相见即可得到答案．
10．（2025七上·正定期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（ ）
A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4
C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；单项式乘单项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为和如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
C、上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴当时，，
∴C选项不符合题意，
D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】设一个三位数为，一个两位数为。根据题意可得以下关系式：
，，，。由和可得。当时，，此时，，。根据题意可判断选项A、B、D。进一步分析，运算结果可表示为：。将代入，即可验证选项C的正确性。
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．（2025七下·杭州期中）已知a+b＝3，a2+b2＝6，则ab＝ ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b＝3，a2+b2＝6，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝32﹣6＝3，
∴ab＝．
故答案为：．
【分析】由完全平方公式恒等变形得2ab=(a+b)2-(a2+b2)，然后整体代入计算后再系数化为1即可求出ab的值.
12．（2025七上·舟山期中） 若 则 .
【答案】9
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；
则yx＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9 .
【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可．
13．（2025七上·成都期末）已知，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】首先利用 得到的值，然后逆用同底数幂的除法运算法则变形原式，再代值求解即可．
14．（2025七下·宝安期末）如图，4个长为a，宽为b的小长方形围成了一个大正方形，若а+b=16，ab=48，则a-b= .
【答案】8
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：8．
【分析】先根据图片得到，进而根据“，”即可求出，从而开平方即可。
15．（2024七下·鄞州期末）已知实数满足，则代数式的值是 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【分析】将，代入式子得到，根据偶次幂的非负性求出x，z的值，进而得出y的值，即可求得．
三、解答题：本大题共10小题，共90分。
16．（2024七下·普宁月考）计算：．
【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】有理数的混合运算，先计算乘方，再乘除，最后再加减即可．
17．运用完全平方公式计算：
（1）2012.
（2）99.82.
【答案】（1）解：原式=(200+1)2=2002+2×200×1+12=40401
（2）解：原式=(100-0.2)2=1002-2×100×0.2+0.22=9960.04.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）将201看成200-1，进而利用完全平方和公式即可求解；
（2）将99.8看成100-0.2，进而利用完全平方差公式即可求解.
18．（1）已知( 求 xy和 的值.
（2）若 求 ab和(a+b)2 的值.
【答案】（1）解：∵
∴
∴xy=4，x2+y2=17，
答： xy=4，x2+y2=17.
（2）解：∵
又(a-b)2=a2-2ab+b2，
∴15-2ab=3，
∴ab=6，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=15+2×6=27.
答：ab=6，(a+b)2=27.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据“”，两式相加减即可得 xy和 的值 .
（2）根据“(a-b)2=a2-2ab+b2”及计算 ab的值，再根据“(a+b)2=a2+2ab+b2”计算(a+b)2 的值.
19．（2025七上·义乌月考）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年，一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？（结果用科学记数法表示）
【答案】解：
．
【知识点】科学记数法表示数的乘法
【解析】【分析】 本题需要计算比邻星与地球之间的距离，已知光速和时间，需通过公式s=vt进行计算，注意将时间单位转换为秒，并正确处理科学记数法的运算.
20．（2025七上·武安期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，
（1）根据表中规律，写出的展开式；
（2）多项式的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（3）请你猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）；
（4）利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）．
【答案】（1）解：观察表中信息可写出：
；
（2）解：当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为，
当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为
当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为，
……
∴多项式的展开式是一个n次项式，第三项的系数为.
（3）解：当时，多项式的各项系数之和为：，
当时，多项式的各项系数之和为：，
当时，多项式（的各项系数之和为：，
……
多项式展开式的各项系数之和为；
（4）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据题干的计算方法直接求解即可；
（2）根据题干中前几项中数据与序号的关系可得规律，再求解即可；
（3）根据题干中前几项中数据与序号的关系可得规律，多项式展开式的各项系数之和为，从而得解；
（4）将原式变形为，再利用题干中的规律求解即可.
（1）解：观察表中信息可写出：
；
（2）解：当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为，
当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为
当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为，
……
∴多项式的展开式是一个n次项式，第三项的系数为；
（3）解：当时，多项式的各项系数之和为：，
当时，多项式的各项系数之和为：，
当时，多项式（的各项系数之和为：，
……
多项式展开式的各项系数之和为；
（4）解：
．
21．（2024六下·蓬莱期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
（1）正方形A，B的面积之和为_______
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长有形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形______个．
（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．
【答案】（1）13；
（2）7；
（3）解：①，②，
①+②，，
整理得，，
∴，
∴，
∴2ab=12，
∴ab=6，
，
，
，
，
，
图3的阴影部分面积
=4+24
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）设正方形，的边长分别为，，
根据题意可得①，②，
①+②，，
整理得，.
故答案为：13.
（2）
，
∵7ab中的7表示以a，b为边的长方形有7个，
需要以，为边的长方形7个.
故答案为：7.
【分析】
（1）设正方形，的边长分别为，，根据图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，列出方程式，两式相加即可求出；
（2）先化简大长方形的面积，进而得出答案；
（3）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去5个小正方形的面积，再整体代入即可．
22．（2025七下·安吉期中）两个边长分别为a和b的正方形如图1放置，其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2.
（1）用含a，b的代数式分别表示，
（2）若，，求
（3）当时，求出图3中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：由图可知：，。
（2）解：∵
把，，代入计算得：．
（3）解：∵
∵，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1） 根据正方形的面积关系，S1是图1中两个正方形未重叠部分的面积，而S2是图2中两个小正方形重叠部分的面积，需通过面积差或重叠部分计算得出；
（2） 将已知的a+b和ab代入S1+S2的表达式，利用代数变形简化计算；
（3） 根据S1+S2的值，结合图3的阴影面积与S1+S2的关系，推导出S3的表达式。
23．（2025七下·浙江期中）如图是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积（结果不化简）：
方法1：____________________；方法2：____________________．
（2）观察图2，请写出，三个式子之间的等量关系．
（3）若，结合（2）中的等量关系，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：由（2）得：，∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：方法一：根据题意可得：图②中的阴影部分正方形的边长等于，
阴影部分面积等于；
方法二：图②中的阴影部分的面积等于：大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即阴影部分面积等于：．
故答案为：；
（2）
解：由上一问得：；
【分析】
（1）方法一∶求出阴影部分的边长，再根据正方形的面积公式进行计算；方法二∶用大正方形的面积减去小正方形的面积∶
（2）根据（1）得出的阴影部分的面积进行解答
（3）由（2）的规律得到，代入求值即可．
（1）解：方法一：根据题意可得：图②中的阴影部分正方形的边长等于，
阴影部分面积等于；
方法二：图②中的阴影部分的面积等于：大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即阴影部分面积等于：．
故答案为：；
（2）解：由上一问得：；
（3）解：由（2）得：，
∴．
24．（2025七下·深圳期中）【实践探究】如图①，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（），把图①中形的纸片按图②分成I、II、III、IV四个部分，并剪拼成如图③的一个大长方形；
（1）请写出从图①到图③验证的乘法公式为： ▲ ，并说明理由．
（2）【应用探究】利用（1）中验证的公式简便计算：；
（3）【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式．如图④，在一个棱长为的正方体中去掉一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割分成如图⑤的三部分，利用立体图形的体积，可得恒等式为： ▲ ．（结果不需要化简）
【答案】（1）
（2）原式
.
（3）．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：图①中阴影部分的面积为a2-b2，图③的面积=（a-b）（a+b），
∵它们的面积相等，
∴，
故答案为；.
（3）将立体图形分割成三部分，分别为：，
其和为.
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积，即可得到答案；
（2）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可；
（3）先求出三个部分的体积，再利用不同的表达式表示同一个图形的体积即可得到答案.
25．（2025七下·成都期末）阅读：若x满足（80-x）（x-60）=30，求（80-x）2+（x-60）2的值.
解：设80-x=a，x-60=b，
则（80-x）（x-60）=ab=30，a+b=（80-x）+（x-60）=20，
∴（80-x）2+（x-60）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=202-2×30=340.
请仿照上述例子解决下列问题：
（1）若x满足（20-x）（x-30）=-10，求（20-x）2+（x-30）2的值；
（2）若x满足（2025-x）2+（2024-x）2=2025，求（2025-x）（2024-x）的值；
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=25，CG=40，长方形EFGD的面积是600，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）.
【答案】（1）解：(20-x)2+(x-30)2=[(20-x)+(x-30)]2-2(20-x)(x-30)
=102-2×(-10)
=120；
（2）解：
（3）解：，，
∵长方形EFGD的面积是600
，
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)阅读材料，仿照材料中的方法将(20-x)2+(x-30)2=[(20-x)+(x-30)]2-2(20-x)(x-30)，进入代入求解即可；
（2）仿照材料中的作法，将 （2025-x）（2024-x） 转化为，进而代入求解；
（3）结合图形，利用正方形和矩形的性质，表示出DE=FG=x-25，EF=DG=x=40，结合长方形EFGD的面积得到方程，然后利用材料中的方法进行变形求解即可.
1 / 1鲁教版（五四）数学六（下）第八章 整式的乘除 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2019七下·新乐期中）已知am=2，an=3，则a3m+2n的值是（ ）
A．6 B．24 C．36 D．72
2．（2025七上·平山期末）的值是（ ）
A．3 B． C． D．1
3．（2025七下·莲都期末） 若展开后不含的项，则m的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
4．（2025七上·锦江期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·安吉期中）如图可以通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，这个大正方形边长为α+b+c，用（a+b+c）2可求得其面积。同时，大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和； 已知a+b+c=8，a2+b2+c2=26，则ab +bc+ac的值是（ ）
A．34 B．23 C．20 D．19
6．（2016七上·县月考）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·瑞安期中）化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·蒲江月考）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025七下·温州期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（ ）
A．10 B． C．11 D．
10．（2025七上·正定期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（ ）
A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4
C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．（2025七下·杭州期中）已知a+b＝3，a2+b2＝6，则ab＝ ．
12．（2025七上·舟山期中） 若 则 .
13．（2025七上·成都期末）已知，，则的值为 ．
14．（2025七下·宝安期末）如图，4个长为a，宽为b的小长方形围成了一个大正方形，若а+b=16，ab=48，则a-b= .
15．（2024七下·鄞州期末）已知实数满足，则代数式的值是 ．
三、解答题：本大题共10小题，共90分。
16．（2024七下·普宁月考）计算：．
17．运用完全平方公式计算：
（1）2012.
（2）99.82.
18．（1）已知( 求 xy和 的值.
（2）若 求 ab和(a+b)2 的值.
19．（2025七上·义乌月考）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年，一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？（结果用科学记数法表示）
20．（2025七上·武安期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，
（1）根据表中规律，写出的展开式；
（2）多项式的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（3）请你猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）；
（4）利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）．
21．（2024六下·蓬莱期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
（1）正方形A，B的面积之和为_______
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长有形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形______个．
（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．
22．（2025七下·安吉期中）两个边长分别为a和b的正方形如图1放置，其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2.
（1）用含a，b的代数式分别表示，
（2）若，，求
（3）当时，求出图3中阴影部分的面积.
23．（2025七下·浙江期中）如图是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积（结果不化简）：
方法1：____________________；方法2：____________________．
（2）观察图2，请写出，三个式子之间的等量关系．
（3）若，结合（2）中的等量关系，求的值．
24．（2025七下·深圳期中）【实践探究】如图①，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（），把图①中形的纸片按图②分成I、II、III、IV四个部分，并剪拼成如图③的一个大长方形；
（1）请写出从图①到图③验证的乘法公式为： ▲ ，并说明理由．
（2）【应用探究】利用（1）中验证的公式简便计算：；
（3）【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式．如图④，在一个棱长为的正方体中去掉一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割分成如图⑤的三部分，利用立体图形的体积，可得恒等式为： ▲ ．（结果不需要化简）
25．（2025七下·成都期末）阅读：若x满足（80-x）（x-60）=30，求（80-x）2+（x-60）2的值.
解：设80-x=a，x-60=b，
则（80-x）（x-60）=ab=30，a+b=（80-x）+（x-60）=20，
∴（80-x）2+（x-60）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=202-2×30=340.
请仿照上述例子解决下列问题：
（1）若x满足（20-x）（x-30）=-10，求（20-x）2+（x-30）2的值；
（2）若x满足（2025-x）2+（2024-x）2=2025，求（2025-x）（2024-x）的值；
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=25，CG=40，长方形EFGD的面积是600，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】∵am=2，an=3，∴a3m+2n=（am）3×（an）2
=23×32
=72．
故答案为：D．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．
2．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C．
【分析】首先根据积的乘方的逆运用求得指数相同的两个数相乘的积，进而根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数求得（-1）的2016次幂和（-1）的2017次幂，然后再进行加减运算即可。
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式 不含 项，
解得
故答案为： D.
【分析】先把多项式展开后合并，然后令 项系数等于0，再解方程即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、积的乘方，给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
B、同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
C、同底数幂乘除法，底数不变指数相减；
D、单项式乘多项式，用单项式和多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵和，
又∵，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】根据大正方形的面积的两种计算方法得到关于ａ，ｂ，ｃ的等式，最后将已知等式的值代入计算即可．
6．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：平方差是指(a+b)(a-b)= ，所含的两个单项式中一个符号相同，另一个符号相反.
故答案为：D
【分析】平方差公式(a+b)(a-b)=a2 b2 中，a的符号相同，b的符号相反.
7．【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：C .
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则求解即可.
8．【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用一个因式等于积除以另一个因式，列式计算，可求出结果.
9．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图2中，右下角阴影部分为正方形，边长为(a－b)，面积为9，
，
（负值舍去），
，
图3中，大正方形的边长为(a+b)，
面积为：，
（负值舍去），
∴，.
∴，，
，
故答案为：B．
【分析】由图2可得，结合，得出，可得，.再用含a，b的式子表示并计算和，相见即可得到答案．
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；单项式乘单项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为和如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
C、上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴当时，，
∴C选项不符合题意，
D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】设一个三位数为，一个两位数为。根据题意可得以下关系式：
，，，。由和可得。当时，，此时，，。根据题意可判断选项A、B、D。进一步分析，运算结果可表示为：。将代入，即可验证选项C的正确性。
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b＝3，a2+b2＝6，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝32﹣6＝3，
∴ab＝．
故答案为：．
【分析】由完全平方公式恒等变形得2ab=(a+b)2-(a2+b2)，然后整体代入计算后再系数化为1即可求出ab的值.
12．【答案】9
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；
则yx＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9 .
【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可．
13．【答案】
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】首先利用 得到的值，然后逆用同底数幂的除法运算法则变形原式，再代值求解即可．
14．【答案】8
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：8．
【分析】先根据图片得到，进而根据“，”即可求出，从而开平方即可。
15．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【分析】将，代入式子得到，根据偶次幂的非负性求出x，z的值，进而得出y的值，即可求得．
16．【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】有理数的混合运算，先计算乘方，再乘除，最后再加减即可．
17．【答案】（1）解：原式=(200+1)2=2002+2×200×1+12=40401
（2）解：原式=(100-0.2)2=1002-2×100×0.2+0.22=9960.04.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）将201看成200-1，进而利用完全平方和公式即可求解；
（2）将99.8看成100-0.2，进而利用完全平方差公式即可求解.
18．【答案】（1）解：∵
∴
∴xy=4，x2+y2=17，
答： xy=4，x2+y2=17.
（2）解：∵
又(a-b)2=a2-2ab+b2，
∴15-2ab=3，
∴ab=6，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=15+2×6=27.
答：ab=6，(a+b)2=27.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据“”，两式相加减即可得 xy和 的值 .
（2）根据“(a-b)2=a2-2ab+b2”及计算 ab的值，再根据“(a+b)2=a2+2ab+b2”计算(a+b)2 的值.
19．【答案】解：
．
【知识点】科学记数法表示数的乘法
【解析】【分析】 本题需要计算比邻星与地球之间的距离，已知光速和时间，需通过公式s=vt进行计算，注意将时间单位转换为秒，并正确处理科学记数法的运算.
20．【答案】（1）解：观察表中信息可写出：
；
（2）解：当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为，
当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为
当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为，
……
∴多项式的展开式是一个n次项式，第三项的系数为.
（3）解：当时，多项式的各项系数之和为：，
当时，多项式的各项系数之和为：，
当时，多项式（的各项系数之和为：，
……
多项式展开式的各项系数之和为；
（4）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据题干的计算方法直接求解即可；
（2）根据题干中前几项中数据与序号的关系可得规律，再求解即可；
（3）根据题干中前几项中数据与序号的关系可得规律，多项式展开式的各项系数之和为，从而得解；
（4）将原式变形为，再利用题干中的规律求解即可.
（1）解：观察表中信息可写出：
；
（2）解：当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为，
当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为
当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为，
……
∴多项式的展开式是一个n次项式，第三项的系数为；
（3）解：当时，多项式的各项系数之和为：，
当时，多项式的各项系数之和为：，
当时，多项式（的各项系数之和为：，
……
多项式展开式的各项系数之和为；
（4）解：
．
21．【答案】（1）13；
（2）7；
（3）解：①，②，
①+②，，
整理得，，
∴，
∴，
∴2ab=12，
∴ab=6，
，
，
，
，
，
图3的阴影部分面积
=4+24
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）设正方形，的边长分别为，，
根据题意可得①，②，
①+②，，
整理得，.
故答案为：13.
（2）
，
∵7ab中的7表示以a，b为边的长方形有7个，
需要以，为边的长方形7个.
故答案为：7.
【分析】
（1）设正方形，的边长分别为，，根据图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，列出方程式，两式相加即可求出；
（2）先化简大长方形的面积，进而得出答案；
（3）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去5个小正方形的面积，再整体代入即可．
22．【答案】（1）解：由图可知：，。
（2）解：∵
把，，代入计算得：．
（3）解：∵
∵，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1） 根据正方形的面积关系，S1是图1中两个正方形未重叠部分的面积，而S2是图2中两个小正方形重叠部分的面积，需通过面积差或重叠部分计算得出；
（2） 将已知的a+b和ab代入S1+S2的表达式，利用代数变形简化计算；
（3） 根据S1+S2的值，结合图3的阴影面积与S1+S2的关系，推导出S3的表达式。
23．【答案】（1）
（2）
（3）解：由（2）得：，∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：方法一：根据题意可得：图②中的阴影部分正方形的边长等于，
阴影部分面积等于；
方法二：图②中的阴影部分的面积等于：大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即阴影部分面积等于：．
故答案为：；
（2）
解：由上一问得：；
【分析】
（1）方法一∶求出阴影部分的边长，再根据正方形的面积公式进行计算；方法二∶用大正方形的面积减去小正方形的面积∶
（2）根据（1）得出的阴影部分的面积进行解答
（3）由（2）的规律得到，代入求值即可．
（1）解：方法一：根据题意可得：图②中的阴影部分正方形的边长等于，
阴影部分面积等于；
方法二：图②中的阴影部分的面积等于：大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即阴影部分面积等于：．
故答案为：；
（2）解：由上一问得：；
（3）解：由（2）得：，
∴．
24．【答案】（1）
（2）原式
.
（3）．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：图①中阴影部分的面积为a2-b2，图③的面积=（a-b）（a+b），
∵它们的面积相等，
∴，
故答案为；.
（3）将立体图形分割成三部分，分别为：，
其和为.
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积，即可得到答案；
（2）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可；
（3）先求出三个部分的体积，再利用不同的表达式表示同一个图形的体积即可得到答案.
25．【答案】（1）解：(20-x)2+(x-30)2=[(20-x)+(x-30)]2-2(20-x)(x-30)
=102-2×(-10)
=120；
（2）解：
（3）解：，，
∵长方形EFGD的面积是600
，
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)阅读材料，仿照材料中的方法将(20-x)2+(x-30)2=[(20-x)+(x-30)]2-2(20-x)(x-30)，进入代入求解即可；
（2）仿照材料中的作法，将 （2025-x）（2024-x） 转化为，进而代入求解；
（3）结合图形，利用正方形和矩形的性质，表示出DE=FG=x-25，EF=DG=x=40，结合长方形EFGD的面积得到方程，然后利用材料中的方法进行变形求解即可.
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