黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期开学考数学试卷（含答案）

2025~2026 学年度高二年级第二学期开学考试 数 学
考生注意:
1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版必修第二册第九章, 第十章, 选择性必修第一册第二章, 第三章, 选择性必修第三册。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 样本数据70,95,100,88,90,92,90,85,86,94的第 75 百分位数与极差的差为
A. 67 B. 66 C. 65 D. 64
2. 已知 三地的位置及其间修筑的道路如图所示,则从 地到 地不同路线的条数是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 设随机变量 ,若 ,则
A. 1 B. 0
C. D. -1
4. 已知直线 与直线 平行,则实数 的值为
A. -4 B. 1 C. -1 D. -4 或 1
5. 已知 的二项式系数之和为 32,则展开式中 的系数为
A. -80 B. -40 C. 40 D. 80
6. 某超市举行抽奖活动,规则如下: 从装有编号1,2,3,4 四个小球的抽奖箱中,每次取出 1 个小球, 记下编号后放回, 连续取 2 次, 取出的 2 个小球号码之和等于 7 中一等奖, 等于 6 中二等奖, 等于 5 中三等奖, 则顾客参与抽奖 1 次中奖的概率是
A. B. C. D.
7. 某社区组织文化活动, 现有书法艺术展示、传统戏曲表演、民间手工艺制作、古典诗词朗诵、现代音乐赏析这 5 个文化活动项目. 社区安排 6 名志愿者负责这 5 个项目的活动组织, 若每个项目的活动都至少有 1 名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中 1 个项目的活动组织,则不同的分配方法种数为
A. 1 500 B. 1 800 C. 2100 D. 2400
8. 已知直线 与 相交于点 ，则点 到直线 的距离的最大值为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某汽车配件工厂在生产过程中, 随机抽取 100 件同款零件测得其综合指标值, 并按 [40,50), 分成六组,得到如下频率分布直方图. 规定: 综合指标值小于 60 的为二等品,综合指标值不小于 60 的为一等品,则下列说法正确的是
A.
B. 估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为 71 (同一组数据用该组区间的中点值作代表)
C. 估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为 78
D. 从该厂随机抽取 20000 件该款零件, 则一等品约有 15000 件
10. 已知随机事件 满足 ,且事件 与 相互独立,则下列说法正确的是
A. 若 与 相互独立,则
B. 若 ,则 与 相互独立
C. 若 与 互斥,且 与 也相互独立,则
D. 若 与 相互独立，且 与 及 也相互独立，则
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 且斜率为 的直线 与双曲线 的左支交于 两点, 为 的右支上一点 (异于右顶点), 的内切圆圆心为 , 则下列结论正确的是
A. 的取值范围为
B. 若 ,则
C. 以 为直径的圆与圆 相切
D. 若 ,则点 的坐标为 或
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知随机变量 ,若 ，则 _____.
13. 已知随机事件 ， 互相独立，且满足 ， ，则 _____.
14. 现有 30 张彩票,其中有 3 张中奖彩票,从中任取 张,若这 张彩票中至少有 1 张中奖的概率大于 ,则 的最小正整数值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了 200 名购买过该款坚果礼盒的顾客,得到如下列联表.
性别 满意 不满意 合计
男性 40 40 80
女性 80 40 120
合计 120 80 200
(1)根据小概率值 的独立性检验,分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联;
(2)从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取 2 人，求这 2 人至少有 1 名女性的概率.
附: .
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16. (本小题满分 15 分)
已知圆 ，直线 过原点 .
(1)若直线 与圆 相切,求直线 的方程；
(2)若直线 与圆 交于 两点，当 的面积最大时，求直线 的方程.
17. (本小题满分 15 分)
某公司投资某款电动玩具的宣传费 (单位:十万元)和销量 (单位:百万件) 如表所示:
宜传费 (十万元) 3 4 5 6
销量 (百万件) 2.5 3 4 4.5
(1)已知可用线性回归模型拟合 与 的关系,求 关于 的经验回归方程;
(2)若甲、乙两人购买这款电动玩具的概率分别为 ，且甲、乙是否购买这款电动玩具互不影响. 若每个电动玩具的售价均定为 80 元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过 120 元,求 的取值范围.
参考公式: 经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
18. (本小题满分17 分)
甲、乙两个袋子中,各放有大小和形状相同的小球若干. 每个袋子中标号为 0 的小球有 1 个, 标号为 1 的有 3 个,标号为 2 的有 个. 从一个袋子中任取两个球,取到的标号都是 2 的概率是 .
(1)求 的值；
(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是 1，求另一个标号也是 1 的概率；
(3)从两个袋子中各取一个小球，用 表示这两个小球的标号之和，求 的分布列和期望.
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,点 在 上,抛物线 的焦点为 .
(1)求 和 的方程；
(2)若点 在 上，且 ，求 的面积；
(3)过点 的直线 与 交于 ， 两点，与 相交于 ， 两点，试判断 是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不是，请说明理由.
2025~2026 学年度高二年级第二学期开学考试 · 数学 参考答案、提示及评分细则
1.D 将样本数据按从小到大排列为70,85,86,88,90,90,92,94,95,100,共 10 个数据,且 ,故样本数据的第 75 百分位数为第 8 个数,即 94,极差为 ,所以样本数据的第 75 百分位数与极差的差为 . 故选 D.
2.C 由图知,从 地到 地的道路有 2 条,从 地到 地的道路有 3 条,由分步乘法计数原理可知,从 地经过 地到 地不同的路线共有 条; 从 地不经过 地到 地的路线有 1 条,根据分类加法计数原理可得,从 地到 地不同的路线共 条. 故选 C.
3.C 由正态分布关于均值对称,知 ,解得 . 故选 C.
4. A 因为直线 与直线 平行,所以 ,解得 或 . 当 时,直线 ,直线 ,满足题意; 当 时,直线 ,直线 0,两直线重合,舍去. 综上所述, . 故选 A.
5. 由题知, ,解得 ,所以 的展开式的通项为 ,令 ,得 ,所以 的系数为 . 故选 B.
6. D 因为每次取球都有 4 种可能，且取 2 次，根据分步乘法计数原理，总的基本事件数 种，小球号码之和等于 7 的情况有 ,共 2 种情况; 号码之和等于 6 的情况有 ,共 3 种情况; 号码之和等于 5 的情况有 ,共 4 种情况,所以中奖的情况数 种,所以中奖的概率为 . 故选 D.
7. B 先将 6 名志愿者分成 5 组，从 6 人中选 2 人一组，其余 4 人各一组，共有 种分法，再将这 5 组全排列,对应 5 个项目,有 种排法,所以不同的分配方法种数为 种. 故选 B.
8. C 由题知直线 过定点 ，直线 过定点 ，且 ,所以点 的轨迹是以 为直径的圆. 又 的中点坐标为 ,半径 ,所以圆的方程为 . 因为圆心 到直线 的距离为 ，所以点 到直线 距离的最大值为 . 故选 C.
9. ABD 由 ,得 正确; 平均数为 ，所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为 正确；因为 ，所以中位数在第 4 组,设中位数为 ,则 ,解得 ,所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为 错误; 由频率分布直方图可知 100 件零件中二等品有 件,一等品有 件,故从该厂随机抽取 20000 件该款零件, 则一等品约有 件, 正确. 故选 ABD.
10. 因为事件 与 相互独立，所以事件 与 相互独立，所以 ， 因为 , 正确； , 又 ,所以 ,又 ,所以 ,即 与 相互独立, 正确; 因为 与 互斥,所以 ,又因为 与 相互独立,所以 , C 错误;因为 与 相互独立,所以 ,又因为 与 相互独立,所以 ,故 D 正确. 故选 ABD.
11. AC 由题知, 的渐近线的斜率为 . 因为直线 与 的左支交于 两点,所以 的取值范围为 , A 正确; 由双曲线定义得 , 设 ,则 ,在 中由余弦定理,知 ,所以 错误; 设 的中点为 ,又圆 9 的圆心为 ,半径 ,又 ,以 为直径的圆半径为 ,所以两圆的圆心距 ,所以两圆内切, 正确; 由 0,知 ,设 内切圆与 轴切点为 ,由内切圆性质可得 ,解得 ,所以点 的横坐标为 3 . 设 , ,可得 ,则内切圆半径 ,所以点 的坐标为 或 , D错误. 故选 AC.
12.36 由题知 ,所以 ,解得 .
13. 因为 互相独立,所以 . 又因为 ,把 代入可得: ,故 . 由 相互独立, 得 .
14.6 由题知“ 张彩票都不中奖”的概率为 ,故“ 张彩票中至少有 1 张中奖”的概率为 . 由 . ,得 ,即 . 当 时, ; 当 时, ,所以 的最小正整数值为 6 .
15. 解:(1)零假设为 ；顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别无关. 1 分
经计算得 , 5 分
依据小概率值 的独立性检验,推断零假设 不成立, 7 分
即顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别有关, 此推断犯错误的概率不大于 0.05 . 8 分
(2)由题意，从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取 2 人，
结合 列联表可得,对该款坚果礼盒满意的员工共 120 人,其中男性有 40 人,女性有 80 人, 10 分抽取 2 人至少有 1 名女性的概率为 . 13 分
16. 解:(1)①当直线 的斜率不存在时，直线 为 ，显然符合直线与圆相切； 2 分
② 当斜率存在时,设直线为 ，圆 的圆心坐标为 ，
圆心到直线 的距离 , 4 分
由题知直线 与圆 相切，则 ，解得 ，
所以直线 的方程为 . 6 分
综上所述,直线 的方程为 或 . 7 分
(2)直线 的斜率不存在时,直线 为 与圆相切，不符合题意，故直线 斜率必存在, 8 分设直线 的方程为 ,
圆心到直线的距离 ,弦长 , 10 分
所以 , 12 分
当 时,面积 最大,
此时 ,整理得 ,解得 , 14 分
所以直线 的方程 或 . 15 分
17. 解: (1) 由题知 , 1 分
2 分
所以 , 4 分
所以 , 5 分
所以 关于 的经验回归方程为 . 6 分
(2)设甲、乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为 ，
则 的所有可能取值为0,1,2, 7 分
又 ,
9 分
所以 , 11 分
12 分
令 ,即 ,解得 . 14 分
又 ，所以 的取值范围为 . 15 分
18. 解:(1)从一个袋子中任取两个球的总组合数为 ， 1 分
取到两个标号为 2 的球的组合数为 . 2 分
由取到的标号都是 2 的概率是 ,得 , 4 分
整理得 ，解得 或 (舍去). 6 分
(2)设事件 表示“其中一个标号是 1 ”,事件 表示“另一个标号也是 1 ”.
因为 , 8 分
所以 . 10 分
(3) 的可能取值为0,1,2,3,4. 11 分
13 分
所以 的分布列为:
0 1 2 3 4
15 分
所以 . 17 分
19. 解: (1) 由题知, 1 分
解得 , 2 分
所以 的方程为 , 3 分
因为抛物线 的焦点为 ,
所以 , 4 分
所以 的方程为 . 5 分
(2)由题知 , 6 分
在 中,由余弦定理得
8 分
即 ,解得 , 9 分
所以 的面积 . 10 分
(3) 不是定值， 11 分
理由如下: 设直线 的方程为 ,
联立方程 消去 整理得 ,
则 .
又 ,
所以
13 分
联立方程 消去 整理得 ,
则 .
又 ,
所以 , 16 分所以 ,
当 变化时, 不是定值. 17 分