数学试题参考答案及评分说明
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分）
1．A 2．C 3．C 4．C 5．C
6．C 7．D 8．D 9．A 10．B
二、填空题（每小题 3分，满分 18 分）
11 1.26 104.
12. 2 6
1
13.
4
14.6
15. 2 4 10 8或
3
24051 24051
16. 32025
, 2025
3
三、解答题（本题共 8道大题，共 72 分）
2
17（. 1） 12024 1 2tan45 1 2 2 （ ） （ 3.14）0
2
1 1 2 1 2 4 1 ·········································································2 分
1 1 2 8 1 ·································································2 分
9 2 ·································································1 分
（2）因式分解
（y 2)(y 4) 1
y2 6y 8 1······················································································· 1 分
y2 6y 9 ··························································································· 1 分
（y 3）2 ································································································1 分
数学试卷 第 1页 （共 6 页）
x x ＞ 1 ①
18. 2 3
（2 x 3) 3(x 2)＞ 6 ②
解：由不等式①得 3x-2x＞-6············································································· 1 分
∴x＞-6···············································································1 分
由不等式②得 2x-6-3x+6＞-6········································································1 分
∴x＜6················································································1 分
∴不等式组得解集为-6＜x＜6············································································· 1 分
19. x2 14x 1
解：x2 14x 49 1 49
(x 7)2 50 ··············································································· 1 分
x 7 5 2 ·············································································· 1 分
x 5 2 7 ·············································································· 1 分
x1 5 2 7，x 2 5 2 7 ························································ 1 分
20.（1）50 32······························································································2 分
（2）B 组为篮球人数：11，C 组为排球人数：15，补全条形统计图如图·····················3 分
（3）108········································································································1 分
（4 15） ×2500=750（人）·················································································· 2 分
50
21．
（1）证明：如图，连接OD ···············································································1 分
以 AB为直径的 O交 BC于点D
数学试卷 第 2页 （共 6 页）
F
OD OB A E
OBD ODB O…………………………1 分
AB AC B D C
B C
ODB C ································································································ 1 分
OD∥AC
DE AC
OD DE ····································································································1 分
DE是 O的切线·························································································· 1 分
（2）解：如图 2，过点O作OG AF，垂足为点G
在⊙O中
OG AF， AF 4
AG GF 1 AF 2 F
2 G A
AB AC E
O
B C＝30°
B C
OAG B C 60° D＝
AGOG AG tan 60 2 3，OA 4cos 60
S 1△AOG 2 2 3 2 32
DE⊥AC，OG⊥AF，OD⊥DE
GED 90 ， ODE 90 ， OGE 90
四边形ODEG是矩形
S矩形ODEG 4 2 3 8 3
AOD 2 B 60
60 42 S 8
扇形OAD 360 3
数学试卷 第 3页 （共 6 页）
S阴影=S矩形ODEG S△AOG S OAD 8 3 2 3
8
6 3 8
扇形 ································· 5 分3 3
22.（1）5.5；8.5；60；·····················································································3 分
（2）设乙车减速前的速度为 v千米/小时，则
（5-1）v+（8.5-5.5）（v-50）=480
解得 v=90
∴乙车减速前的速度为 90 千米/小时···································································· 2 分
∴ 4v=360
∴ E（5.5,360），F（8.5,480）
设线段 EF 的解析式为 y2=kx+b（k≠0），把 E（5.5,360），F（8.5,480）代入得
5.5k+b=360
8.5k+b=480
解得 k=40
b=140
∴线段 EF 的函数解析式为 y2=40x+140（5.5≤x≤8.5）···············································3 分
4 23
（3）乙车出发 小时或 小时，与甲车相距 220 千米·········································· 2 分
3 5
23.（1）解：四边形 ADFE是正方形，·································································1 分
理由如下：
△BAC是等腰直角三角形，
∠ = 90 ，AB=AC．
由折叠的性质可得：∠BDF=∠FDA，BD=AD=1AB．
2
四边形 ABA E是矩形，·················································································· 1 分
F是 BC中点，
AD=BD,AE=CE,
= ，
四边形 ADFE是正方形.··················································································1 分
（2）BQ 2AP. 理由如下：······································································· 1 分
数学试卷 第 4页 （共 6 页）
△BAC是等腰直角三角形,
∠C=45°，
由（1）可知 AE=EF=CE
△CEF是等腰直角三角形，
CE AC 1
，
CF AB ························································································· 1
分
2
由旋转的性质，得 CE=CP，CF=CQ，∠FCE=∠QCP，
CP AC 1
，
CQ AB ·························································································1 分2
∵∠PCA=∠BCA=∠BCP，∠QCB=∠QCP-∠BCP，
∴∠PCA=∠QCB，
∴△PCA ∽ △QCB，··················································································································1 分
AP CP 1
，
BQ CQ 2
即 BQ 2AP.······························································································ 1 分
（3）2 5 - 2 .···························································································· 2 分
（4）解：2 7 - 2或2 7 2，··········································································· 2 分
24. 1 2答案：（ ） y = x －2 x－3 顶点坐标（1，－4）···································· 4 分
（2）Q1（1，－4），Q2（－2，5）；······························································ 2 分
（3）过点 P 作 x轴的垂线交直线 BC 于点 Q
∵B（3，0），C（0，－3）
∴yBC= x－3·························································································· 1 分
2
设 P（ｍ，ｍ －2m－3），则 Q（ｍ，ｍ－3）
2
∴PQ=ｍ－3－（ｍ －2ｍ－3）································································· 1 分
2
=－ｍ +3ｍ····················································································· 1 分
数学试卷 第 5页 （共 6 页）
2
PH = PQ = ｍ +3ｍ
OH OC 3
当 m= 3时,PH 的值最大············································································1 分
2 OH
S = 27∴ △BCP ·························································································· 2 分8
（4） 58.································································································ 2 分
数学试卷 第 6页 （共 6 页）数 学 试 卷
考生注意：
1.本科为闭卷考试，考试时间 120 分钟。
2.全卷共三道大题，总分 120 分。
3.请将答案填写在答题卡指定的位置。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分）
1． －2026的绝对值是
1 1
A．2026 B． C．－2026 D．
2026 2026
2． 博物馆是承载中华文脉的殿堂，其标志设计既藏着传统美学，又含着几何智慧．下
列博物馆标志中，是中心对称图形的是
A B C D
3． 下列运算正确的是
A．3a2 2a2 1 B． (a2 )3 a5 C． a2 a4 a6 D． (3a)2 6a2
4． 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠2＝151°，
则∠1＝
A．63° B．67°
C．61° D．69°
5．由 5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的左视图是 （第 4题）
A B C D
（第 5题）
数学试卷 第 1页 （共 8 页）
6 x m 2x 3． 如果关于 的分式方程 1的解是正数，那么实数 m的取值范围是
x 2 2 x
A.m 1且m 1 B.m 5 C.m 5且m 1 D. m 2且m 0
7． 为助力家校协同育人，某校开展家庭教育指导咨询大集活动。现场需从 3名学生志
愿者（2名男生，1名女生）里随机抽 2人负责家长签到引导工作，抽取的恰好是 1
名男生和 1名女生的概率是
1 1 4 2
A． B． C． D．
9 3 9 3
8． 某村为推广农作物大米品牌，计划将 100 千克的大米分装成 3 千克和 5 千克“大米
礼盒”.捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于 10 盒）．现要准备两种不
同的包装盒，则准备方案共有
A．6种 B．5种 C．3种 D．2种
9． 如图，正方形 ABCD的边长为 8 cm，动点 P，Q同时从点 A出发，
以 2 cm/s的速度分别沿 A→B→C和 A→D→C的路径向点 C运动．
2
设运动时间为 x（单位：s），四边形 PBDQ的面积为 y（单位： cm ），
则 y与 x（0＜x＜8）之间的函数图象大致是下列图中的 （第 9题）
A B C D
10．二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，顶点坐标为（1，n）；与 x轴的交点为
A（-1,0）和点 B；与 y轴的交点在（0，2）与（0,3）之间（包括端点）．其中正确
2
结论的个数是①b -4ac＞0；②3a+c＜0；③点（-2，y1）,
1
（ ，y2），（5，y3）都在抛物线上，则 y
2 1
＞y3＞y2；
④ ax2 8方程 +bx+c-n-1=0 无实根；⑤ ≤n≤4.
3
A．2 B．3
C．4 D．5
数学试卷 第 2页 （共 8 页）
（第 10题）
二、填空题（每小题 3分，满分 18 分）
11. 神舟二十一号载人飞船于北京时间 2025年 10月 31日 23时 44分，在酒泉卫星发射
中心由长征二号 F遥二十一运载火箭发射升空.飞船入轨后，采用自主快速交会对接
模式，在发射后约 12600秒，成功对接于空间站天和核心舱的前向端口.将 12600用
科学记数法表示为___________.
12. 一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为 72°的扇形，若这个圆锥体的底面圆的半径
为 1，则这个圆锥体的高为____________.
13. 如图，在□ABCD中，AB=3，BC=4，以点 B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交
1
BA，BC于点 M，N；分别以点 M，N为圆心，以大于 MN 的长为半径作弧，两弧
2
在∠ABC 内部交于点 P，作射线 BP，交 AD 于点 E，交 CD 延长线于点 F，则
EF = ．
BF
4
14. 如图，点 A是反比例函数 y 在第一象限内的图象上的一个动点，过点 A作 AB
x
2
垂直 x 轴交反比例函数 y 的图象于点 B，连接 BO 并延长，交反比例函数
x
y 2 的图象于点 C，连接 AC，则△ABC的面积为____________.
x
（第 13题） （第 14题） （第 15题）
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点 E，F分别在边 AC，BC上，连接
EF，把△CEF沿着 EF折叠，点 C的对应点 D落在 AB边上.若△BDF是以 BF为腰
的等腰三角形，则 CF= .
数学试卷 第 3页 （共 8 页）
16. 如图，点 A1 在直线 l1 : y 2x 上，点 B1 在直线
l2 : y
1
x上，连接 A1B1，以 A1B1为斜边，向外作2
等腰直角三角形，直角顶点为C1；过点C1作 A1B1的
1
平行线，交 l1 : y 2x于 A2 ，交 l2 : y x于 B ，2 2
连接 A2B2 ，以 A2B2 为斜边，向外作等腰直角三角形，
直角顶点为 C2 ；过点 C2 作 A1B1 的平行线，交
l1 : y 2x于 A3 ，交 l2 : y
1
x于 B3 ，连接 A3B ， （第 16题）2 3
以 A3B3为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为C3；过点C3作 A1B1的平行线，
交 l1 : y 2x于 A
1
4，交 l2 : y x于 B2 4
，连接 A4B4 ，以 A4B4 为斜边，向外作等腰
直角三角形，直角顶点为C4……按此规律，若 A1（1,2），B1（2,1），则C2026 的
坐标为______________.
三、解答题（本题共 8道大题，共 72 分）
17. （本题共 2 个小题，第（1）题 5 分，第（2）题 4分，共 9分）
2
（1） 12024 1 2tan45 （ 2 2 1 ） （ 3.14）0
2
（2）因式分解（y 2)(y 4) 1
18. （本题满分 4分）
x x
＞ 1
2 3
（2 x 3) 3(x 2)＞ 6
19. （本题满分 5分）
x2 14x 1
数学试卷 第 4页 （共 8 页）
20. （本题满分 8分）
为强化学生技能，助力终身运动 ，帮助学生掌握实用运动技能，提高学生身体
素质，我市中考体育考试项目新增设了足球、篮球、排球、滑冰四项选一项的考试
内容。某校为了解学生选择考试项目情况，在该校学生中随机抽取部分学生做“参加
四选一体育项目考试”问卷调查（每人必选其中一项），其中 A:足球、B:篮球、C:
排球、D:滑冰，将参加问卷的学生的数据整理后，依据样本数据得到不完整的条形
图和扇形图.
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1） 本次调查的样本容量是______，n=______；
（2） 补全条形统计图；
（3） 扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______度；
（4） 若该校有 2500名学生，请你估计喜爱排球的学生有多少人？
数学试卷 第 5页 （共 8 页）
21．（本题满分 10 分）
如图，在△ABC中，AB＝AC，以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D，过点 D
作 DE⊥AC，垂足为点 E，延长 CA交⊙O于点 F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若 AF＝4，∠C＝30°，求图中阴影部分的面积． F
A
E
O
B D C
22. （本题满分 10分）
在一条平坦笔直的道路上依次有 A、B、C三地，甲车先从 C地向 A地匀速行
驶，1 小时后，乙车从 A地出发，先匀速行驶到 B地，装货耗时半小时，由于满载
货物，为了行驶安全，速度减少了 50 千米/时，匀速行驶到 C地，结果比甲车晚半
小时到达目的地.甲、乙两车距各自出发地的路程 y1（单位：千米），y2（单位：千
米）与甲车的行驶时间 x（单位：小时）之间的函数图象如图所示.请结合图象信息
解答下列问题：
（1）a的值 ；b的值 ；甲车的速度为 千米/时；
（2）求乙车减速前的速度，及图象中线段 EF的函数解析式；
（3）直接写出乙车出发多少小时与甲车相距 220千米.
数学试卷 第 6页 （共 8 页）
23. 综合与探究（本题满分 12分）
问题情境：
如图 1，△BAC是等腰直角三角形纸片，将 BA边对折，折痕交 BA边于点 D，
交 BC边于点 F，再沿过点 F且平行于 BA边的直线将△BAC向右折叠，折痕交 CA
边于点 E，连接 DF、EF．
猜想证明：
（1）判断四边形 ADFE的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）创新小组在解决了上述问题后，将△BAC展开铺平．将△CEF绕点 C逆时针
方向旋转，得到△CPQ，点 E，F的对应点分别为 P，Q，如图 2，连接 AP，BQ．试
探究线段 AP，BQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若 AB=4，在旋转的过程中，连接 AQ，取 AQ中点 M，连
接 BM，则 BM的最小值是 ；
问题解决：
（4）在（2）（3）的条件下，当 B，P，Q三点在同一条直线上时，请直接写出△BCQ
的面积．
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24. 综合与实践（本题满分 14分）
如图 1，抛物线 y=ax2+bx－3与 x轴相交于 A（－1，0），B两点，且 OB=3OA，
与 y 轴相交于点 C.
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）点 Q是抛物线上任意一点，若△BCQ是以 BC为直角边的直角三角形，则点 Q
的坐标为＿＿＿＿＿＿；
PH
（3）如图 2，点 P为直线 BC下方抛物线上一动点，连接 OP交 BC于点 H，当
OH
的值最大时，求△BCP面积；
（4）如图 3，点 D（4，1）与动点 N在直线 BC上，点 E（1，2）与动点 M在抛物
线的对称轴上，则 DM+MN+NE的最小值为＿＿＿＿＿＿.
图 1 图 2 图 3
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