2025 年秋季初中阶段期末教学诊断样卷B卷
初三数学试题
(满分: 150分; 考试时间: 120分钟)
友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上.
学校 班级 姓名 考号
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A. x≥2 B. x>2 C. x≠2 D. x≤2
2.方程 的一次项系数是
A. 2 B. 1 C. 6 D. - 6
3.下列抛物线的开口方向向下的是
4.下列线段a、b、c、d不是成比例线段的是
A. a=1, b=2, c=4, d=8 B. a=0.8, b=4, c=1.2, d=6
C. a=2, b=4, c=3, d=6 D. a=0.1, b=0.2, c=3, d=4
5. “煮熟的鸭子飞了”，从数学的观点看，这句俗语中描述的事件是
A.不可能事件 B.可能事件
C.必然事件 D.随机事件
6.下列运算错误的是
7.方程 的两根之和是
A. B. C. D.
8.小孔成像的原理是基于光在同种均匀介质中沿直线传播的特性.当光线通过一个小孔时，物体上部的光线会穿过小孔投射到屏幕下部，而下部的光线则投射到屏幕上部，同时左侧光线投向右侧，右侧光线投向左侧，导致像的上下和左右颠倒，形成一个倒立的实像.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'. 设AB=18cm,A'B'=12cm,小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A'B'的距离是
A. 12cm B.18cm C. 20cm D.45cm
9.无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在C处操控无人机巡查，无人机从点C处飞行到点A处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得C处到A处的距离为500米，无人机从点A测得C点的俯角为α，据此算出B，C之间的距离是
米 B.500·sinα米 米 D. 500·cosα米
10.已知关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是
且m≠0
且m≠0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11. 若 则 的值为 .
12.在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表.
试验种子数m(粒) 1000 2000 3000 4000 5000
发芽频数n 965 1916 2886 3844 4800
发芽频率 0.965 0.958 0.962 0.961 0.960
根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为 .(精确到0.01)
13.抛物线 的顶点坐标是 .
14. 已知关于x的方程x+m=(x+1)(mx+1)有一个根是0，则m的值为 .
15. 如图, 在△ABC中, AD 是BC边上中线且∠BAD=∠CAD, G是重心,过点G作EG∥BC,交AB于点E, 若EG=1, 则BC= .
16.某公园有一秋千如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA"，两次位置的高度差BC=h米，假设秋千的绳索拉的很直.则秋千绳索OA的长度是 米.(请用含α、β和h的式子表示)
三、解答题：本题共 9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (8分)
计算：
18. (8分)
解方程：
19. (8分)
在某中学校园文化艺术节书画摄影展览中，学校要求每个班级精选2幅作品参赛(作品可以是绘画、书法或摄影类).已知该校九年级(1)班共准备了4幅优秀作品，其中绘画作品2幅、书法作品1幅、摄影作品1幅.先给作品编号，绘画作品为H 、H ，书法作品为S，摄影作品为Y.
(1)从4幅优秀作品随机抽取1幅作品恰好是摄影作品的概率是 ；
(2)从4幅作品中随机抽取2幅作品参赛，求抽到绘画作品的概率(要求用树状图或列表法写出分析过程).
20. (8分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A 均为格点(网格线的交点).已知点A和A 的坐标分别为 (3, 0) 和(-6, 0).
(1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A B C ，使得点A的对应点为点A ，请在所给的网格图中画出△A B C .
21. (8分)
为落实劳动教育，学校计划在操场靠墙区域开辟一块面积为 长方形“校园微农场”劳动实践基地.已知墙的最大可用长度为38m，基地另外三边用总长为58m的篱笆围成，且在平行于墙的一边设置两个开口宽为1m 的进出门(如图)方便师生进出管理，设垂直于墙的长方形边长为 xm，求x的值.
22. (10分)
抛物线 经过A (-1, 0) 、B (4, 0) 两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 P 在抛物线上且位于第一象限，连接PA、PB，若△PAB的面积为10，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，点Q是抛物线的对称轴上一点，连结PQ、BQ，当PQ+BQ最小时, 求Q的坐标.
23.(10分) 综合实践:
探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究
探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程 的二次项系数a和常数项c异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根.”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究.
实例验证 (1)解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当a>0, c<0时, 例如. 此方程的解是 ； ②当a<0, c>0时,例如. 此方程的解是 ； 这两个实例可以验证小明的猜想 (填“正确”或“错误”)
严谨证明 (2)小明的猜想是否正确 若正确，请给予证明；否则，请举出反例.
拓展延伸 (3)已知关于x的一元二次方程( 其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解.
24. (13分)
如图，直线 与x轴，y轴分别相交于点B和点A， 点D在 的内部，连结BC，过点O作 于点E, 交AD于点F.已知
(1)求AB的长;
(2)求证: 点F是AD的中点;
(3)求EF的长.
25. (13分)
如图1，正方形ABCD的面积为36，点E是CD边上的一个动点，点F 是BC的中点.
(1)设CE的长为m，△BEF的面积为S，求S与m的函数关系式；(不要求写出自变量m的取值范围)
(2)如图2，点G是CE上的一个动点，连结BG并延长BG交AD的延长线于点H，过点D作 于点M，交BC的延长线于点N，连结CH，若
①求tan∠BHC的值;
②求CN的长.
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九年级数学试题答案
一、选择题
1. A
2. B
3. C
4. D
5. B
6. B
7. A
8. C
9. B
10. D
二、填空题
11. 5
12. 0.96
13. (5，-25)
14. 1
15. 3
16.
三、解答题
17. 解：原式=2 + 1 - 1=2
18. 解：因式分解得(x-3)(x+1)=0，解得x =3，x =-1
19. (1)
(2) 列表法列出所有12种等可能的抽取结果：(H ,H )、(H ,S)、(H ,Y)、(H ,H )、(H ,S)、(H ,Y)、(S,H )、(S,H )、(S,Y)、(Y,H )、(Y,H )、(Y,S)，其中抽到至少1幅绘画作品的结果有10种，故概率为=
20. (1) AB中点D的坐标为(,1)
(2) 位似比为2，以原点O为位似中心，将△ABC各顶点横、纵坐标分别乘以-2，得到A (-6,0)、B (-8,-4)、C (-4,-8)，顺次连接三点即可画出△A B C
21. 解：平行于墙的边长为58-2x+2=60-2x，列方程x(60-2x)=400，整理得x -30x+200=0，解得x =10，x =20；当x=10时，60-2x=40>38（舍去），故x=20
22. (1) 将A(-1,0)、B(4,0)代入解析式，得{a-b+4=0,16a+4b+4=0}，解得a=-1，b=3，解析式为y=-x +3x+4
(2) AB=5，设P(x,-x +3x+4)（x>0），△PAB面积=×(-x +3x+4)=10，解得x=1或x=2，故P(1,6)或P(2,6)
(3) 抛物线对称轴为x=，B关于对称轴的对称点为A，连接PA交对称轴于Q，当P(1,6)时Q(, )；当P(2,6)时Q(, )，即Q点坐标为(, )
23. (1) ①x =1，x =-2；②x =1，x =-3；正确
(2) 正确，证明：∵a、c异号，∴ac<0，Δ=b -4ac，b ≥0，∴Δ=b -4ac>0，方程有两个不相等的实数根
(3) 由(m-1)(m+2)<0得-224. (1) 令x=0得A(0,4)，令y=0得B(-3,0)，由勾股定理得AB==5
(2) 证明：∵∠AOD=∠ABO，∠OAD=∠BAO，
∴△AOD∽△ABO，
∴AO:AB=OD:BO，
即4:5=OD:3，
∴OD=；
过F作FG⊥OA于G，可证△AOF≌△DOF，
∴AF=DF，即F是AD中点
(3) 根据勾股定理得：BC===，
由面积法得OE= =，
∵F为AD中点，得F(,2)，
∴OF= = ，
∴EF=OE-OF= - （或化简为）
25. (1) 正方形边长为6，F是BC中点则BF=3，DE=6-m，S=×BF×CE=×3×(6-m)=- m + 9
(2) ①设∠EBF=α，则∠BFE=3α，在Rt△BEF中α+3α=90°，α=22.5°，计算得BE=3，EF=3，故tan∠BHC= = - 1
② 由tan∠BHC= - 1，结合正方形性质及相似三角形，解得CN=6 - 6
