黑龙江省大庆实验中学实验二部2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（含解析）

大庆实验中学实验二部2025级高一上期末考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知全集，集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的零点在区间内，且，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，记，则（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．6
8．已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．以下说法正确的有（ ）
A．化成角度为
B．化成的形式是
C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是
D．在半径为的圆中，圆心角为的弧长为
10．下列各式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色．某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，）．下列说法正确的有（ ）
A．求摩天轮转动一周的解析式
B．游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米
C．游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米
D．若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同
12．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，则（ ）
A．
B．，都有
C．的值域为
D．，都有
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若函数且，且，则的取值范围为___________．
14．已知，则______．
15．已知函数，若实数、满足，则的最大值为__________
16．用表示函数在区间I上的最大值，若，实数满足，的取值范围为_______．
四、解答题.（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）
17．设集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知函数的图象关于点对称．
(1)若，求函数的最值及取最值时的的值；
(2)若，且，求．
19．已知函数的图象和函数的图像关于对称．
(1)求；
(2)若时最小值为，求m值．
20．已知函数的最小正周期为．
(1)求函数在区间上的单调递增区间；
(2)已知函数，若，，使得，求实数m的取值范围．
21．已知函数．
(1)若不等式在恒成立，求实数的取值范围．
(2)已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”，常数称为反比例对称常数．已知函数是“反比例对称函数”，求函数的反比例对称常数．
22．已知定义在的奇函数满足：①；②对任意均有；③对任意，均有.
（1）求的值；
（2）利用定义法证明在上单调递减；
（3）若对任意，恒有，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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1．A
由已知，全集，集合，
则，又，
所以.
故选：A.
2．B
由得，即或，
则“”是“”成立的必要不充分条件．
故选：B．
3．C
sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°
＝－＋＝．
故选：C.
4．B
因为的图象是一条连续的曲线，
且和都为增函数，
所以在上单调递增，
又，
由函数零点存在定理可知，的零点在区间内，
所以．
故选：B．
5．D
过点作于，
由折叠性质可得，，
所以，所以，所以，
所以劣弧的长是.
故选：.
6．A
因为函数，定义域为，而且，
所以为偶函数，所以.
由指数函数与对数函数的性质可得，.
因为时，在上单调递增，
所以，所以.
故选：A
7．B
函数的图象向左平移个单位后，
得到的函数，
因为曲线关于直线对称，
所以，，
解得：，，
因为，令，得，所以的最小值是.
故选：B.
8．C
令，的对称轴为，
则实根的个数即为函数与函数图象交点个数，
如下图，
当时，
函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1，
即，函数与函数有2个交点，
且2个交点关于对称，
则方程有两根，且两根和为2，不符合题意；
当时，函数与函数的图象有2个交点，，
时，可得，或，
时，，可得，，，
即函数与函数的图象有5个交点，
则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意；
当时，函数与函数的图象有2个交点，
即函数与函数的图象有2个交点，分别为，
即，或，，
当时，函数与函数无交点，不符合题意；
当时，函数与函数有4个交点，且关于对称，
所以4个交点横坐标之和为4，
则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意，
综上，实数的取值范围是.
故选：C.
9．AD
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是，C错；
对于D选项，在半径为的圆中，圆心角为的弧长为，D对.
故选：AD.
10．AC
对于A，由，所以，所以A正确；
对于B，由对数的运算法则，可得，所以B错误；
对于C，由指数幂的运算法则，可得，所以C正确；
对于D，由对数的运算法则，可得，所以D不正确.
故选：AC.
11．ACD
对于A，由题意知，，，解得，
又，所以，
时，，解得，
因为，所以，
所以，；故A正确，
对于B，令，得，解得，
即，可得，而，结合题意可得，
当时，即，游客甲距离地面的高度第一次恰好达到52米，
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米；故B错误，
对于C，由题意知，
设任意一段连续的5分钟时间内的起始时刻为，
此时，
，
则高度变化为，
由和差化积公式得，
结合正弦函数的性质可得，
则在一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米，故C正确，
对于D，由题意知，
因中间间隔5个座舱，从第1个座舱到第6个座舱需要5分钟，
则有，
依题意，即，
即，所以，解得，；
所以，；时，，不合题意；当时，，
即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，经过17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同，故D正确.
故选：ACD
12．ABD
因为函数，
A.，故正确；
B. ，易知在上递减，
所以，都有，故正确；
C. 当时，；当时，，所以 ，故错误；
D. 当时，，
要证明，都有，
即证明，
化简得，
即证明，即证明，
因为，
所以不等式恒成立，故D正确；
故选：ABD
13．
由题意得，
当时，得，得．
当时，，恒成立．
故的取值范围为．
故答案为：
14．
．
故答案为：.
15．##
因为，
对任意的，，即函数的定义域为，
因为函数在上为增函数，函数在上为增函数，
由复合函数法可知函数在上为增函数，
又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，
因为，
所以，故函数的图象关于点对称，
由可得，
所以，则，即，
要考虑的最大值，只需考虑时，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
故答案为：.
16．
由题意得和均有意义，则，
当时，此时，
此时结合正弦函数性质得，
若，可得，
由正弦函数性质得恒成立，此时符合题意；
当时，此时，
此时结合正弦函数性质得，
若，可得，
此时，解得，即；
当时，此时，
此时结合正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
则，，
若，可得，不符合正弦函数性质，故排除；
当时，有，
若，则，与已知矛盾.
所以，即，则.
当时，此时，
此时，，
若，可得，
解得，
令，可得，符合题意；
当时，此时，
可得，，
若，得到，
同理解得，符合题意.
综上所述.
故答案为：
17．(1)
(2)
（1）对于集合A：，得，故；
当时，，所以.
（2）由，则或，而，
当时，，即，满足题设；
当时，，可得.
综上所述，实数m的取值范围为.
18．(1)当时，函数取最大值为1，当时，函数取最小值为.
(2)
（1）函数
因为函数图象关于点对称，所以，即，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1，
当，即时，函数取最小值，且最小值为，
（2）因为，即，
因为，所以，又，所以，
当时，则，与题意不符，
所以，有，所以
所以．
所以
．
19．(1)
(2)或
（1）由题意，与互为反函数，
所以.
（2）由（1），，令，
则，开口向上且对称轴为，
当，即时，最小值，即，
所以，满足；
当，即时，最小值，即，
所以，（舍）；
综上，或.
20．(1)，；
(2)
（1）由题意可知，故，
即，
令，即，
又，则只有当和时的范围才存在，
即得，和.
故函数在区间上的单调递增区间为，；
（2）令，由得：
，
该函数的图象的对称轴，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数的最小值为，最大值为，
即函数，即
由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减，
且，，
时，，
当时，，不合题意舍去，
当时，，由题意得，
即，解得，
当时，，由题意得，
即，解得，
综上可得：.
21．(1)
(2)
（1）因为，所以，
则，令，
即可化为，，
由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则有恒成立，解得；
（2）定义域为，
因为函数是“反比例对称函数”，所以有，
下面研究函数的单调性：
，令，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
又在上单调递增，在上单调递减，
结合函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，
因为在取得最大值，且，则，可得，
，
，
，
所以，即时对任意的都有，
综上，.
22．解：（1）在中，
令；
（2）由题知：对任意都有，
且对任意均有
证一：任取，则
，
因为，所以，
所以，
即即，也即在单调递减；
证二：任取，设，，，，
则，
因为，所以，即，
也即在单调递减；
（3）在中
令，
令，，
而为奇函数，故，
又在及上均单调递减，
因此原不等式等价于对任意，
不等式或者恒成立，
令，，则，
，则不等式等价于
……①或……②
对任意恒成立，
法一：令，立，开口向上，
则不等式①；
对于②，当时，由，
即必不存在满足②.
综上，.
法二：
令，，
开口向上，对称轴为，
且，，，
1°当即时，问题等价于
或，解得；
2°当即时，
问题等价于或，
解得；
3°当即时，
问题等价于或，
解得；
4°当即时，
问题等价于或，解得；
综上，
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