吉林省延边朝鲜族自治州2025-2026学年高一上学期期末学业质量检测数学试题（含解析）

2025—2026学年度高一上学期期末学业质量检测
数学
考试时间：7:30-9:30 总分：150分
本试卷共5页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱．不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
3．三个数 之间的大小关系是（ ）
A．. B．
C． D．
4．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示：
1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2
0.5796 1.342 3
则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（ ）
A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9
5．已知，，则（ ）
A．16 B．27 C．37 D．54
6．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，
B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递增
D．
10．下列说法中正确的有（ ）
A．若终边上一点的坐标为，则
B．
C．
D．若，且，则
11．下列说法正确的有（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．函数的单调递增区间是
C．函数值域为
D．已知函数的值域为，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数的定义域是________.
13．____________．
14．若，使成立是假命题，则实数的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．（1）解不等式；
（2）已知，求函数的最小值，并求出此时的值；
（3）已知，且，求的最小值，并求出此时的值．
17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
0
0 2 0 0
(1)求实数的值和函数的解析式；
(2)若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象．
（i）求的单调递减区间；
（ii）当时，方程有解，求的取值范围．
18．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①，②，③.
(1)请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由：
(2)根据所给信息求出函数的解析式；
(3)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）.
19．已知定义在上的函数和满足．
(1)求和的解析式；
(2)若对恒成立，求的取值范围；
(3)若，求：的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
1．D
，所以．
故选：D．
2．A
.
故选：A
3．B
解：，则，
，则，
，则，所以.
故选：B.
4．C
由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内，
且，
结合选项可知，方程的近似解可取1.8．
故选：C．
5．D
.
故选：D.
6．B
设扇形的半径为，
因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，
则，所以
则该扇形的面积为.
故选：B.
7．A
解：因为关于的不等式的解集为，
所以，且，，
所以，，
所以化为，
解得.
故选：A.
8．C
由题意，假设，由上图可知关于对称，故，
由不等式得，又当且仅当时取等号，但是故等号不成立，即；
又因为都为负值，故；而，故，
所以，故，又，故.
故选：C
9．ABC
根据图像可知，当时，，故A正确；
在，上单调递减，在上单调递增，
所以根据奇函数性质可，函数在上单调递减，在上单调递增，故BC正确；
由于在上递增，所以，故D错误.
故选：ABC.
10．BD
对于A：因，则，则，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：由二倍角的余弦公式，可得，故C错误；
对于D：由①两边取平方，可得，化简得，
因，故，则，
由，可得②，
联立①②，解得，故，故D正确．
故选：BD．
11．AC
对于A由得，即，
因为不能推出，而能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，A选项正确；
对于B：因为，定义域为．
而选项给出的包含不在定义域的点，故命题B错误；
对于C：令，则，
则，
故当时，取得最大值，最大值为，
所以的值域为，C选项正确；
对于D：因为的值域是，当时，，
故当时，的值域为，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围是，D选项错误．
故选：AC.
12．.
要使函数有意义，须使，
所以，且.
所以函数的定义域是.
故答案为：.
13．##0.5
．
故答案为：.
14．
若，使成立是假命题，
则“，使得成立”是真命题，
即，恒成立，
因为时等号成立，
所以，
所以，
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）由，得．
故
．
（2）由题意，所以．
故．
16．（1）；（2）最小值为6，此时；（3），最小值为16．
（1）因为，可得，即，则，解得，
所以不等式的解集为．
（2）因为，所以，
其中，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
所以函数的最小值为6，此时；
（3）
，
当且仅当，即时取等号，所以目标式最小值为16，此时.
17．(1)，，，；
(2)（i）；（ii）
（1）根据表中已知数据可知：过点，
且其最大值为2，故可得，
由，解得，
故，
所以，解得：，
，解得：，
，解得：．
综上，，，，；
（2）（i），
令，解得：，
即，
所以的单调递减区间为；
（ii）当，使得方程有解，即有解，
即，
因为，所以，
所以当，即时，，
当，即时，，
所以，
解得：．
故的取值范围为．
18．(1)选模型③
(2)
(3)37分钟
（1）对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③.
（2）所求函数过点，，
则，解得，
故所求函数为
经检验，当时，，符合题意.
综上所述，函数的解析式为.
（3）∵每天得分不少于分，∴，即，
∴，即，
∴至少需要锻炼37分钟.
19．(1)；
(2)；
(3)4049.
（1）因为，令，则，
则，所以.
∵，∴．
（2）∵对恒成立，
∴对恒成立，
变形为，
即，
令，显然在上单调递增，
故，原不等式为，
故在上恒成立，
其中，当时等号成立，
故，解得，
所以的取值范围为．
（3）设，定义域为，定义域关于原点对称，
又因为，
所以为奇函数，其图象关于中心对称，
所以函数的图象关于点中心对称，
即对任意的，，
所以
.
答案第1页，共2页
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