吉林省长春市实验中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（含解析）

长春市实验中学
2025－2026学年上学期第三学程考试
高一数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
4．设，则（ ）
A． B．
C． D．
5．先将曲线上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
6．《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，）
A．22倍 B．55倍 C．217倍 D．407倍
7．在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
8．若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，都有”
B．当时，的最小值是5
C．函数的最小值为2
D．若函数定义域为，则函数的定义域为
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
11．对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（ ）
A． B．
C．R D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，且，则______．
13．已知函数，则的最大值是______．
14．已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知集合，集合.
(1)若，全集，求；
(2)若，求实数m的取值范围；
(3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
16．（1）求值：.（注意：第一项的指数是，不是）
（2）化简：.
17．如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开垦出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米.
(1)求关于的函数解析式；
(2)求的取值范围
18．
(1)求的最小正周期 单调递增区间
(2)在区间有两个不等的实根，求m的范围
19．已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且．
(1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）；
(2)若时，不等式有解，求实数的取值范围；
(3)设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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1．C
由韦恩图可知，阴影部分为不在集合且在集合中的元素所构成的，
所以阴影部分所表示的集合为，
故选：C
2．B
由，得；反之，若，则或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．C
对于A，由，当时，可得，所以A不正确；
对于B，由，则，所以，所以B不正确；
对于C，由，可得，因为，所以，则，所以C正确；
对于D，取，可得，此时，所以D不正确.
故选：C.
4．B
，；
，即；
， .
因此，有.
故选：B.
5．D
将曲线上各点的横坐标变为原来的，得函数的图象.
将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
因为，所以.
故选：D.
6．B
依题意，经过200天的“进步值”为，“退步值”为，
则“进步值”与“退步值”的比，
两边取对数得，
因此，所以“进步值”大约是“退步值”的55倍.
故选：B
7．B
将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，
所以，所以，
所以，
故选：B.
8．B
当时，令，即，即，
因为函数与的图象仅有一个公共点，如图所示，

所以时，函数只有一个零点，
又由函数有4个零点，
所以时，方程有三个零点，如图所示，

因为，可得，则满足，
解得，即实数的取值范围为.
故选：B.
9．AD
A. 命题“，使得”的否定是“，都有”，选项A正确.
B.当时，，选项B错误.
C. 令，则，
∵在上为减函数，
∴当时，，选项C错误.
D. 由函数定义域为得，
由得，，故函数的定义域为，选项D正确.
故选：AD.
10．AB
由图象可知，，即，
所以，又，
可得，即，
又因为，所以，所以，故A正确；
当时，，
满足正弦函数的对称轴，故B正确、C错误；
当时，则，函数不单调，故D错误.
故选：AB
11．ACD
时，不等式化为，，解集为，
时，不等式化，解集为，
时，不等式化为，，即解集为，
时，不等式化为，
时，或，解集为或，
时，或，解集为或，
故选：ACD．
12．
,将替换成，
得：，
，
当时，代入，得，，
则
故答案为：
13．##
，令，则.
则，故当，即时，取到最大值，
所以．
故答案为：
14．
因为，，所以，
即，令，则有，
则在上单调递增.
又是定义在R上的偶函数，，
所以是定义在R上的偶函数.
由，可得，
整理得，
即，
由是偶函数且在单调递增，在单调递减，
可得，解得或.
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
15．(1)；
(2)
(3)
（1）时，，故或，
，
故或；
（2），
，当时，，解得，
当时，需满足或，解得，
综上，实数m的取值范围为；
（3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集，
若，则，解得，
若，需满足或，
解得，
综上，实数m的取值范围为.
16．（1）；（2）
（1）
（2）原式为：
由诱导公式得，
，，，
，
，
代入原式可得
17．(1)
(2)
（1）如图，延长交于点，延长交于点.由四边形是正方形，四边形是矩形，
可知.由，可得
，
.
.
（2）令，由，可得，
故
，即，
，其对称轴为
所以当时，取最大值，最大值为16；
所以当时，取最小值，最小值为14.
即.
18．(1)
(2)
（1）由题意有，
所以，
所以的最小正周期为，
令，
所以，
所以的单调递增区间为；
（2）由有，
作出的图像：

由图可知，在区间有两个不等的实根，
所以
所以.
19．(1)，，在R上单调递增
(2)；
(3)
（1）因为，所以，
又是奇函数，是偶函数，故，
故①，②，
式子①+②得，故，
故，
其中在R上单调递增，理由如下：
因为在R上单调递增，故在R上单调递增；
（2）为奇函数，
时，不等式有解，
即在上有解，
又其中在R上单调递增，故在上有解，
所以，故只需，
令，，则在单调递减，
故在处取得最小值，最小值为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是；
（3）设在上的值域为，在的值域为，
对任意的，总存在，使得，
只需为的子集，
，
其中在上单调递增，故，
所以，，故，
，对称轴为，
若，在上单调递增，故，
所以，解得，又，故，
若，在处取得最小值，在处取得最大值，
故，
所以，解得，又，故；
若，在处取得最小值，在处取得最大值，
故，
所以，解得，又；
若，在上单调递减，故，
所以，解得，又，无解；
综上，，实数的取值范围为
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