山东省临沂市蒙阴第一中学2025-2026学年高一火箭部赢上学期期末第一次模拟考试数学试卷（含解析）

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2025-2026学年山东省蒙阴第一中学高一火箭部赢期末第一次模拟考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，，则集合为（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．下列选项中正确的有（ ）
A．角为第二象限角，则
B．若，，则
C．角是第四象限角，则是第二、四象限角
D．
10．若，则（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
11．若函数，则下列结论正确的有（ ）
A．是偶函数
B．是周期函数
C．的值域为
D．在定义域内有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数的定义域为__________.
13．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______.
14．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是___．
四、解答题：本题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（1）求的值；
（2）已知是第三象限角，求的值.
16．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在上的值域；
(3)求在上的解集.
17．去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为（万元），则该品牌服装的年销售量将增长.请你预算该品牌服装的净利润（净利润为销售利润减去广告费用）
(1)若使得今年净利润比去年至少增长，请你预算广告费用的范围
(2)当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大
18．已知函数为奇函数，其中为实数．
(1)求实数的值；
(2)若时，用定义证明在定义域内单调递增；
(3)在（2）的条件下，已知不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
(3)已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离.
试卷第1页，共3页
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1．D
已知，
，
则集合.
故选：D
2．C
命题“，”的否定是“，”
故选：C
3．A
由，得或，解得或.
设，，
因为真包含于，所以，反之不成立，
是的充分不必要条件．
故选：A．
4．C
根据诱导公式可得 ，
则.
故选：C
5．A
依题意，，
所以.
故选：A
6．D
因为定义域内任意实数，都有成立，所以函数在R上单调递增，
又由，所以，，
解得.
故选：D.
7．A
由题可知，函数的值域包含，当时，符合题意；
当时，则，解得；
当时，显然不符合题意，故实数的取值范围是．
故选：A.
8．C
不妨设，令
则，
则函数在上单调递增，
对于不等式 ，由定义域可知，
所以不等式可化为，
即，
因为在上单调递增；所以或（舍去），
所以不等式的解集为.
故选：.
9．AC
解：对于A，因为角为第二象限角，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以，故B错误；
对于C，因为是第四象限角，所以，
所以，，
当为偶数时，是第二象限角，当为奇数时，是第四象限角，故C正确；
对于D ，
，故D错误．
故选：AC
10．ACD
由得，得，
对于A，，当且仅当时等号成立，此时，，
所以，选项A正确；
对于B，由，得，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，，选项B错误；
对于C，由，得，所以，
所以 ，
当且仅当，时等号成立，选项C正确；
对于D，由，得，
所以，
当且仅当时，即，时等号成立，选项D正确．
故选：ACD．
11．ACD
对于A：函数的定义域为，
因为，
所以是R上的偶函数，故A正确；
对于B：当时，，
当，即，时，，
当，即，时，.
因为在时，函数值的变化规律在不同区间不同，且是偶函数，如图：
所以不存在非零常数，使得对于任意都成立，
所以不是周期函数，故B错误；
对于C：由B可知，当时，，
当，即，
时，，此时.
当，即，
时，，此时.
又是偶函数，其图象关于轴对称，
所以的值域为,故C正确；
对于D：函数的定义域为，
则的零点个数即方程的根的个数，
即函数与函数图象交点的个数，
因为是偶函数，且也是偶函数，
所以只需考虑时方程的根的个数．
当时，，
在同一直角坐标系内画出，的简图如下：
由图象可知，当时，函数与函数有个交点，
即方程有个实数根，
根据偶函数的对称性，当时方程也有个实数根，
综上：在定义域内有个零点，故D正确．
故选：ACD．
12．
令，解得.
故答案为：
13．
不等式的解集为.
所以是方程的两个实数根，且.
则，所以.
不等式即为，也即是.解得：.
故答案为：
14．
当时，，符合题意，
当时，二次函数的判别式为：，
若，此时函数的零点为，符合题意；
当时，只需，所以且；
当时，，经验证符合题意；当时，，经验证符合题意；
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
15．（1）（2）
（1）；
（2）因为，
所以，
因为是第三象限角，
所以，
所以.
16．(1)
(2)
(3)
1）由
解得.
所以函数的单调递增区间为.
（2）令，则.
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以，即，
所以函数在上的值域为；
（3）令，则.
由，即，
解得或，
即或，
解得或.
所以在上的解集为.
17．(1)
(2)当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大
（1）由题意得，即，
化简并整理得，解得，
所以预算广告费用的范围为.
（2）由题意净利润为，（单位：万元），
所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当，
所以当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）因为函数为奇函数，
所以，即，
化简整理可得，因为所以，解得；
（2）证明：若时，可得，则，
则取任意，且，
可得，
由，可得，即有，
即，
即，
所以在上单调递增；
（3）因为在上为奇函数，
所以不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
由可得在上单调递增，
所以不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，
即有在恒成立，
当时，，即；
当时，，
由在递减，
可得，，
可得，即；
在时，，
由在递减，
可得，即有，
可得，即，
综上可得，的取值范围是．
19．(1)，余弦距离等于
(2)
(3)
（1），
，故余弦距离等于；
（2）；
故，，则.
（3）因为，，
所以.
因为，所以.
因为，
所以.
因为，则，
所以.
因为，
，所以.
因为，
，
所以.
因为，
所以、之间的曼哈顿距离是.
答案第1页，共2页
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