九年级数学上册第21章二次函数和反比例函数单元测试（解析版）

《第21章
二次函数和反比例函数》
　
一、选择题
1．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（　　）
A．y=2x2+x+2
B．y=x2+3x+2
C．y=x2﹣2x+3
D．y=x2﹣3x+2
2．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（　　）
A．y=x2﹣x﹣2
B．y=﹣x2﹣x+2
C．y=﹣x2﹣x+1
D．y=﹣x2+x+2
3．一抛物线的形状、开口方向与y=x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　）
A．y=（x﹣2）2+1
B．y=（x+2）2﹣1
C．y=（x+2）2+1
D．y=（x+2）2+1
4．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　）
A．y=2（x+1）2+8
B．y=18（x+1）2﹣8
C．y=（x﹣1）2+8
D．y=2（x﹣1）2﹣8
　
二、填空题
6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=　　．
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣
﹣1
﹣
0
1
…
y
…
﹣
﹣2
﹣
﹣2
﹣
0
…
则该二次函数的解析式为　　．
8．已知抛物线与x轴有两个交点（﹣1，0），（3，0），并且与y轴交点的纵坐标为﹣6，则这个二次函数的解析式为　　．
　
三、解答题
9．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=4时，y=3；当x=﹣1时，y=﹣8；当x=2时，y=1；求这个二次函数的解析式．
10．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
11．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
12．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式．
13．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
14．如图所示，已知抛物线y=﹣2x2﹣4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F．求图象F所表示的抛物线的解析式．
15．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，3），B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）填空：要使二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移　　个单位．
　
《第21章
二次函数和反比例函数》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（　　）
A．y=2x2+x+2
B．y=x2+3x+2
C．y=x2﹣2x+3
D．y=x2﹣3x+2
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解．
【解答】解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：，解之得；
所以该函数的解析式是y=x2﹣3x+2．
故本题选D．
【点评】主要考查了用待定系数法求二次函数
( http: / / www.21cnjy.com )的解析式．一般步骤是先设y=ax2+bx+c，再把对应的三个点的坐标代入解出a、b、c的值即可得到解析式．
　
2．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（　　）
A．y=x2﹣x﹣2
B．y=﹣x2﹣x+2
C．y=﹣x2﹣x+1
D．y=﹣x2+x+2
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】压轴题．
【分析】在利用待定系数法求二次函数关系式时
( http: / / www.21cnjy.com )，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误；
B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，
而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；
C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；
D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确．
故选D．
【点评】本题考查抛物线与系数的关系与及顶点
( http: / / www.21cnjy.com )横坐标的计算公式，是开放性题目．一般式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）．
　
3．一抛物线的形状、开口方向与y=x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　）
A．y=（x﹣2）2+1
B．y=（x+2）2﹣1
C．y=（x+2）2+1
D．y=（x+2）2+1
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】首先确定a的值，再利用顶点式即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线的形状、开口方向与y=x2﹣4x+3相同，
∴a=1，
∵顶点为（﹣2，1），
∴抛物线解析式为y=（x+2）2+1．
故选C．
【点评】本题考查二次函数有关知识、顶点式等知识，解题的关键是理解抛物线形状、开口方向与y=x2﹣4x+3相同，则a相同，属于中考常考题型．
　
4．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】确定出平移前的抛物
( http: / / www.21cnjy.com )线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可．
【解答】解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴得到的抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．
　
5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　）
A．y=2（x+1）2+8
B．y=18（x+1）2﹣8
C．y=（x﹣1）2+8
D．y=2（x﹣1）2﹣8
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】压轴题．
【分析】顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．
【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，﹣8）
故二次函数的解析式为y=2（x﹣1）2﹣8
故选D．
【点评】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．
　
二、填空题
6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=　﹣2　．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过①+②，得出2a+2c=﹣4，即可得出a+c的值．
【解答】解：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0）得：
，
①+②得：2a+2c=﹣4，
则a+c=﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是通过①+②，得到2a+2c的值，再作为一个整体出现，不要单独去求a，c的值．
　
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣
﹣1
﹣
0
1
…
y
…
﹣
﹣2
﹣
﹣2
﹣
0
…
则该二次函数的解析式为　y=x2+x﹣2　．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】图表型．
【分析】可任选三组数据，用待定系数法求出抛物线的解析式．
【解答】解：由于二次函数经过（﹣1，﹣2）、（0，﹣2）、（1，0），则有：
，解得；
∴该二次函数的解析式为y=x2+x﹣2．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．
　
8．已知抛物线与x轴有两个交点（﹣1，0），（3，0），并且与y轴交点的纵坐标为﹣6，则这个二次函数的解析式为　y=2x2﹣4x﹣6　．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】由于已知抛物线与x的交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣6）代入求出a的值即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣6）代入得a （﹣3）=﹣6，
解得a=2．
所以抛物线解析式为y=2（x+1）（x﹣3），即y=2x2﹣4x﹣6．
故答案为y=2x2﹣4x﹣6
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数
( http: / / www.21cnjy.com )的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
　
三、解答题
9．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=4时，y=3；当x=﹣1时，y=﹣8；当x=2时，y=1；求这个二次函数的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】把三组对应值分别代入y=ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到二次函数解析式．
【解答】解：根据题意，将x=4，y=3；x=﹣1，y=﹣8；x=2，y=1代入y=ax2+bx+c，
得：，
解得：，
故二次函数的解析式为：y=﹣x2+x﹣．
【点评】本题考查了待定系数法求二次
( http: / / www.21cnjy.com )函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解
　
10．（2012 绥化）如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．
【解答】解：（1）由已知条件得，
解得，
所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；
（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP=×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，
解得x=﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2，4），
②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，
解得x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4），
综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．
　
11．（2013秋 锦江区校级期中
( http: / / www.21cnjy.com )）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）根据条件可设两点式，把C的坐标代入可求得解析式，可求得顶点坐标；
（2）由勾股定理可分别求得BC2、BD2、DC2，再根据勾股定理的逆定理可判定△BCD为直角三角形．
【解答】解：
（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴设抛物线为y=a（x+1）（x﹣3），
又过点C（0，﹣3），
∴﹣3=﹣3a，解得a=1，
∴y=x2﹣2x﹣3，
其对称轴为x=1，当x=1时，y=﹣4，
∴D点坐标为（1，﹣4）；
（2）是直角三角，理由如下：
由题意可知OB=3，OC=3，
∴BC2=18，
DC2=12+12=2，
BD2=42+（3﹣1）2=20，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD为直角三角形．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及
( http: / / www.21cnjy.com )勾股定理及逆定理的应用，掌握二次函数的三种表达式是解题的关键，即①一般式，②两点式，③顶点式，在解题时注意灵活选择．
　
12．（2014 西安模拟）已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】因为对称轴是直线x=2，所以得到点A（1，0）的对称点是（3，0），因此利用交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式．
【解答】解：∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A（1，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0）
设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y=a（x﹣1）（x﹣3）
把B（0，3）代入得：3=3a
∴a=1
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，注意选择若知道与x轴的交点坐标，采用交点式比较简单．
　
13．（2007 上海）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．
【专题】压轴题．
【分析】（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；
（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．
【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），
∴设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0=4a﹣4，解得a=1，
∴二次函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；
（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解方程，得x1=3，x2=﹣1．
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），
∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．
【点评】考查用待定系数法来求函数解析式、坐标系里点的平移的特点．
　
14．如图所示，已知抛物线y=﹣2x2﹣4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F．求图象F所表示的抛物线的解析式．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】将原抛物线的解析式变形为顶点式，再根据平移的性质即可得出平移后的抛物线的解析式．
【解答】解：图象E所表示的抛物线的解析式为y=﹣2x2﹣4x=﹣2（x+1）2+2，
根据平移的性质可得出图象F所表示的抛物线的解析式为y=﹣2[（x﹣2）+1]2+2=﹣2x2+4x．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握图象平移是x、y值的变化是解题的关键．
　
15．（2011秋 舒城县校级月考）已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，3），B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）填空：要使二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移　　个单位．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．
【专题】计算题．
【分析】（1）由二次函数y
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（2）将二次函数的解析式
( http: / / www.21cnjy.com )化为顶点式，设出向上平移m个单位表示出平移后的解析式，根据写出的解析式，找出顶点坐标，然后根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，得到顶点纵坐标为0，求出m的值即可得到向上平移的单位个数．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，3），B（﹣1，0），
∴把A（2，3），B（﹣1，0）分别代入解析式，
得：，
①+②×2，得4a+2b﹣3+2a﹣2b﹣6=3，
即6a=12，a=2，则b=﹣1，
∴，
则二次函数的解析式为：y=2x2﹣x﹣3；
（2）∵y=2x2﹣x﹣3=2（x﹣）2﹣，
∴设应把图象沿y轴向上平移m个单位，
则平移后的解析式为：y=2（x﹣）2﹣+m，
此时二次函数的顶点坐标为（，﹣
+m）
要使二次函数的图象与x轴只有一个交点，则此交点必为抛物线的顶点，
∴﹣+m=0，即m=．
则应把图象沿y轴向上平移个单位．
故答案为：．
【点评】此题考查了利用待定系数法求二次
( http: / / www.21cnjy.com )函数的解析式，以及二次函数图象与几何变换，运用待定系数法求函数的解析式是数学中一种非常重要的数学方法，同时要求学生能把我们学习的函数图象与几何中的图形变换联系起来，灵活运用．