2.1.1 三角形的三线与三心 课件
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画法
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过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
如何过一点画已知直线的垂线
任务1：三角形的高（动手画一画）
你能画出锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形的高吗？
C
B
A
C
B
A
C
B
A
如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高．
用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的高吗？
根据你的观察，锐角三角形的三条高交于几个点呢？
锐角三角形的三条高交于一个点．
D
E
F
C
B
A
【直角三角形和钝角三角形的高】
钝角三角形的三条高不交
于一点，三条高的延长线交于一点.即三条高
所在直线交于一点
D
E
F
D
C
B
A
C
B
A
高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高相交否 相交 相交
不相交
高所在直线相交否 相交 相交 相交
三条高所在直线的位置
垂足
交点
图形
A
B
C
D
E
F
P
Q
R
都在三角
形内部
两条直角边上的高互相重合，还有一条高在三角形内部
两条高在三角形外部，另一条高在内部
在各顶点的对边上
①是直角的顶点
②在斜边上
①有两个在对边的延长线上②还有1个在钝角的对边上
在三角形内部
在直角顶点
在三角形外部
三角形的高
想一想
分别指出图中△ABC 的三条高。
直角边BC边上的
高是 ;
AB边
直角边AB边上的
高是 ;
CB边
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
斜边AC边上的
高是 ;
BD
AB边上的高是 ;
CE
BC边上的高是 ;
AD
CA边上的高是 ;
BF
A
B
C
D
.
三角形的中线：
定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线。
三角形中线的理解：
∵AD是△ ABC的中线
∴BD=CD=
1
2
BC
E
A
B
C
D
例如：右图所示
∵D是BC的中点
∴BD=DC
△ABD的面积= BD×AE
△ADC的面积= DC×AE
故△ABD的面积= △ADC的面积
三角形的中线：
三角形的三条中线交于一点.
E
F
D
C
B
A
三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
【直角三角形和钝角三角形的中线】
任意三角形的三条中线都在三角形的内部.
F
F
D
E
D
E
C
B
A
C
B
A
1
A
B
C
D
2
三角形的角平分线：
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。
角平分线的理解：
∵ A D是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
思考
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线
F
E
D
C
B
A
【直角三角形和钝角三角形的角平分线】
任意三角形的三条角平分线都在三角形的内部 .
F
D
E
D
E
F
C
B
A
C
B
A
三角形的三条角平分线交于一个点.
三角形的
重要线段 概念 图形 表示法
三角形
的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的BC上的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的
线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线.
∴ BD=CD= BC.
三角形的
角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
知识归纳
（1）如图（1），AD,BE,CF是△ABC的三条
中线，则AB=2 ,BD= ,AE=1/2 .
（2）如图（2），AD,BE,CF是△ABC的三条
角平分线，则∠1= , ∠3 =1/2 ，
∠ACB=2 .
(1)
(2)
AF
CD
AC
∠4
∠ABC
∠2
拓展练习
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
B
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
D
三角形的高以及垂心:
三角形三条高线的交点叫三角形的垂心
三角形的中线以及重心：
三角形三条中线的交点叫三角形的重心
三角形的角平分线以及内心：
三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心
三、知识梳理
用硬纸板裁出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，在它们的交点出钻一个小孔，通过小空系一条线将三角形硬纸板吊起．从三角形硬纸板所处的状态来看，有什么现象？这种现象说明了什么？
三角形硬纸板处于平衡状态，这种现象说明“三条中线的交点”是这个三角形硬纸板的重心
问题解决
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
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画法
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
如何过一点画已知直线的垂线
任务1：三角形的高（动手画一画）
你能画出锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形的高吗？
C
B
A
C
B
A
C
B
A
如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高．
用同样的方法，你能画出△ABC的另两条边上的高吗？
根据你的观察，锐角三角形的三条高交于几个点呢？
锐角三角形的三条高交于一个点．
D
E
F
C
B
A
【直角三角形和钝角三角形的高】
钝角三角形的三条高不交
于一点，三条高的延长线交于一点.即三条高
所在直线交于一点
D
E
F
D
C
B
A
C
B
A
高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高相交否 相交 相交
不相交
高所在直线相交否 相交 相交 相交
三条高所在直线的位置
垂足
交点
图形
A
B
C
D
E
F
P
Q
R
都在三角
形内部
两条直角边上的高互相重合，还有一条高在三角形内部
两条高在三角形外部，另一条高在内部
在各顶点的对边上
①是直角的顶点
②在斜边上
①有两个在对边的延长线上②还有1个在钝角的对边上
在三角形内部
在直角顶点
在三角形外部
三角形的高
想一想
分别指出图中△ABC 的三条高。
直角边BC边上的
高是 ;
AB边
直角边AB边上的
高是 ;
CB边
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
斜边AC边上的
高是 ;
BD
AB边上的高是 ;
CE
BC边上的高是 ;
AD
CA边上的高是 ;
BF
A
B
C
D
.
三角形的中线：
定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线。
三角形中线的理解：
∵AD是△ ABC的中线
∴BD=CD=
1
2
BC
E
A
B
C
D
例如：右图所示
∵D是BC的中点
∴BD=DC
△ABD的面积= BD×AE
△ADC的面积= DC×AE
故△ABD的面积= △ADC的面积
三角形的中线：
三角形的三条中线交于一点.
E
F
D
C
B
A
三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
【直角三角形和钝角三角形的中线】
任意三角形的三条中线都在三角形的内部.
F
F
D
E
D
E
C
B
A
C
B
A
1
A
B
C
D
2
三角形的角平分线：
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。
角平分线的理解：
∵ A D是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
思考
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线
F
E
D
C
B
A
【直角三角形和钝角三角形的角平分线】
任意三角形的三条角平分线都在三角形的内部 .
F
D
E
D
E
F
C
B
A
C
B
A
三角形的三条角平分线交于一个点.
三角形的
重要线段 概念 图形 表示法
三角形
的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的BC上的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的
线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线.
∴ BD=CD= BC.
三角形的
角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
知识归纳
（1）如图（1），AD,BE,CF是△ABC的三条
中线，则AB=2 ,BD= ,AE=1/2 .
（2）如图（2），AD,BE,CF是△ABC的三条
角平分线，则∠1= , ∠3 =1/2 ，
∠ACB=2 .
(1)
(2)
AF
CD
AC
∠4
∠ABC
∠2
拓展练习
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
B
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
D
三角形的高以及垂心:
三角形三条高线的交点叫三角形的垂心
三角形的中线以及重心：
三角形三条中线的交点叫三角形的重心
三角形的角平分线以及内心：
三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心
三、知识梳理
用硬纸板裁出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，在它们的交点出钻一个小孔，通过小空系一条线将三角形硬纸板吊起．从三角形硬纸板所处的状态来看，有什么现象？这种现象说明了什么？
三角形硬纸板处于平衡状态，这种现象说明“三条中线的交点”是这个三角形硬纸板的重心
问题解决
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