2.2 命题与证明 课件

课件36张PPT。2.2 命题与证明本节课的学习目标1.学会判断命题的真假2.掌握如何证明命题 引入三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角.我们前面学习了许多有关三角形的概念，如：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫三角形. 像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义. 例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义. “同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断？（1）三角形的内角和等于180°;
（2）如果| a | = 3，那么a = 3;
（3）1月份有31天;
（4）作一条线段等于已知线段;
（5）一个锐角与一个钝角互补吗？
一般地， 对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.

如上述语句中，（1），（2），（3）都是命题，（4），（5）没有对事情作出判断，就不是命题.
下列命题的表述形式有什么共同点？
（1）如果a = b且b = c，那么a = c；（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角
互为余角. 它们的表述形式都是“如果……，那么……”. 命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论. 例如，对于上述命题（2）， “两个角的和等于90°”就是条件，“这两个角互为余角”就是结论.（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角. 有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么”. 如：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以简写成“对顶角相等”； “如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等” 可以简写成“同角的余角相等”.（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如
果……，那么……”的形式：那么这个数是偶数如果一个数能被2整除那么这两个角是对顶角如果两个角有公共顶点那么它们的同位角相等如果两条直线平行那么这两条直线平行如果两个同位角相等（2）上述命题③与④的条件与结论之
间有什么联系？③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行. 命题③与④的条件与结论互换了位置. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题. 例如，上述命题③与④就是互逆命题. 从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题. 1. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？（2）两点之间线段最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？2. 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；（3）互为相反数的两个数之和等于0；（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.练 习3. 写出下列命题的逆命题：（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；（2）如果m是整数，那么它也是有理数；（3）两直线平行，内错角相等；（4）两边相等的三角形是等腰三角形.4.在下列空格上填写适当的概念：（1）垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段
的
（2）在数轴上，表示一个实数的点与原点的
距离叫作这个实数的　　　垂直平分线绝对值练 习 下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你的理由.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数；（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.错误错误错误正确上面五个命题中，命题(4)是正确的，命题(1)(2)(3)都是错误的.我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题. 像此例的第(1)题那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明. 像此例的第(2)题那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例.判断下列命题为真命题是根据什么呢？ 是分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断． 从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真. 对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实.有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理. 本书中，我们把少数真命题作为基本事实. 例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短；经
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.基本事实
同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.我们把经过证明为真的命题叫作定理. 例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”. 定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论. 例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”. 当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 例如，“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角”就是假命题. 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理. 我们前面学过的定理中就有互逆的定理. 例如，“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理.
采用剪拼或度量的方法，
猜测“三角形的外角和” 等于多少度.
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360° ，但是剪拼时难以真正拼成一个周角， 只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得360°． 另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°．此时猜测出的命题仅仅是一种猜想， 未必都是真命题．要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题. 已知： 如图∠BAF， ∠CBD和∠ACE
分别是△ABC的三个外角.
求证︰∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°证明:∵∠BAF=∠2+∠3， ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.经过刚才三站的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？（1）根据题意，画出图形。（2）结合图形，写出已知求证（3）写出证明过程，并且步步有依据。依据(定义)(定理)(推论)(基本事实)（真命题）条件结论 数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，
运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通
过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立. 证明的每一步都必须要有根据.推理例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理） ∠B=∠C（已知）∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）又∵AE平分∠DAC（已知）∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC 的内角.求证：∠A，∠B，∠C 中至少有一个角大于或等于60°.证明 假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60°即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°. 像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法. 反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.反证法的步骤：
假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确(1).证明命题：一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，则这两个角相等。已知：如图，AB∥A’B’,BC∥B’C’.求证：∠B= ∠B’ 证明：∵ AB∥A’B’ （ ） ∴ ∠ B’ = ∠α（ ） ∵ BC∥B’C’ （ ）∴ ∠ B = ∠α（ ）∴ ∠ B = ∠B’ ( )已 知两直线平行，同位角相等 已 知两直线平行，同位角相等 等量代换 1. 在括号内填上理由. (2).已知：如图，∠A+∠B= 180°.
求证：∠C+∠D= 180°.
证明：∵∠A+∠B= 180°（已知），
∴ AD∥BC（ ）.
∴ ∠C+∠D= 180（ ）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.
求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.证明： ∵ ∠1=∠2，∴ ∠2 =∠3（两直线平行,内错角相等）∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内角互补）.∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）3. 已知：如图，AB与CD 相交于点E.
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），又 ∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°
（三角形内角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.4.已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.
求证：a//b证明：假设a与b不平行，
则可设它们相交于点A。那么过点A 就有两条直线a、b分别与直线c平行，
这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直
线平行”矛盾,故假设不成立。 ∴a//b.证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步第二步第三步画出图形写出已知、求证写出证明的过程THANK YOU！