2026年北师大新版七年级（下）开学考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年北师大新版七年级（下）开学考数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 329.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-04 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年北师大新版七年级数学下册开学考试数学试卷
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．2026的倒数是（ ）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
2．纳米（nm）是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1nm＝10﹣9m，已知某种植物孢子的直径为45000nm，用科学记数法表示该孢子的直径是（ ）
A．45×10﹣9m B．4.5×10﹣9m C．4.5×10﹣3m D．4.5×10﹣5m
3．用一个平面去截一个五棱柱，截面不可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．七边形 D．八边形
4．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量 B．检测一批LED灯的使用寿命
C．检测长沙市的空气质量 D．检测一批家用汽车的抗撞击能力
5．下列运算正确的是（ ）
A．2m+n＝2mn B．m6÷m2＝m3
C．（﹣mn）2＝﹣m2n2 D．m2 m3＝m5
6．用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．作图步骤如下：
①作射线CQ；②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．下列排序正确的是（ ）
A．④③②① B．④③①② C．②③④① D．②④③①
7．根据如图所示的程序计算，若输入的x值为5时，输出的值为﹣4，则输入的x值为﹣1时，输出的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
8．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，第2025个图案中“”的个数是（ ）
A．6078 B．6076 C．6074 D．6072
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．古人讲“三十而立”，如果以30岁为基准年龄，大明36岁，记为+6岁，那么大刚的年龄记为﹣9，大刚今年 岁．
10．2023年12月8日，郑济高铁济南至濮阳段建成通车．济南西站至郑州东站较之前绕道徐州减少了200多公里的路程，铁路客运时间缩短至1个多小时．建造郑济高铁的目的用下面的数学知识来解释最恰当的是 ．
11．若a+b＝﹣2，ab＝﹣3，则代数式a2﹣ab+b2的值是 ．
12．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
13．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°，将一块透明的三角尺直角顶点放在点O处，并绕点O旋转一周，在旋转过程中，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠BON＝ ．
三、解答题（共7小题，满分81分）
14．（9分）计算：
（1）；
（2）．
15．（9分）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b．
16．（9分）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：2．
解：去分母，得3x﹣（x﹣1）＝12……第一步
去括号，得3x﹣x﹣1＝12……第二步
移项，得3x﹣x＝12+1……第三步
，得2x＝13……第四步
方程两边同除以2，得x＝6.5……第五步
任务一、以上求解步骤中，第四步进行的是 ，这一步的依据是 ；
任务二、以上求解步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务三、请求出该方程的正确的解．
17．（12分）“你今天光盘了吗？”这是国家倡导厉行节约，反对浪费以来的时尚流行语，某校团委随机抽取部分了学生，对他们是否了解关于“光盘行动”的情况进行调查，调查结果有三种：A、了解很多；B、了解一点；C、不了解．团委根据调查的数据进行整理，绘制了尚不完整的统计图如下，图1中C区域的圆心角为36°，请根据统计图中的相关的信息，解答下列问题：
（1）求本次活动共调查了多少名学生？
（2）请补全图2，并求出图1中，B区域的圆心角度数；
（3）若该校有2400名学生，请估算该校不是了解很多的学生人数．
18．（14分）如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．
（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为 ；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为 ；
（3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式 ．
（4）【问题解决】利用（3）的公式解决问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
②直接写出下面算式的计算结果：（1）（1）（1）（1）…（1）．
19．（14分）昨天，一蔬菜经营户用114元从蔬菜批发市场购进黄瓜和西红柿共40kg到菜市场去卖，黄瓜和西红柿的批发价和零售价如表所示：
品名 黄瓜 西红柿
批发价（元/kg） 2.4 3
零售价（元/kg） 3 4
（1）他昨天购进黄瓜和西红柿各多少kg？
（2）今天他又按照批发价买入10kg黄瓜和50kg西红柿，黄瓜仍然按照3元/kg销售，但运输过程中西红柿损坏了20%，要使这两天的利润率为，今天的西红柿售价应为多少元？
20．（14分）如图，点O为原点，A，B为数轴上两点，AB＝15，且OA：OB＝2
（1）A，B对应的数分别为 ， ．
（2）点A，B分别以2个单位/秒和5个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A，B相距1个单位长度？
（3）点AB以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得3AP+2PB﹣mOP为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．C．
2．解：45000nm＝45000×10﹣9m＝4.5×10﹣5m；故选：D．
3．解：∵五棱柱一共有7个面，用一个平面去截一个五棱柱，截面最多经过7个面，得到的多边形的边数最多是七边形，∴截面不可能是八边形．故选：D．
4．解：A、检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故A符合题意；
B、检测一批LED灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、检测长沙市的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D不符合题意；故选：A．
5．解：A、2m与n不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、m6÷m2＝m4，原计算错误，不符合题意；C、（﹣mn）2＝m2n2，原计算错误，不符合题意；
D、m2 m3＝m5，正确，符合题意．故选：D．
6．解：正确的排序为：②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q．①作射线CQ；故选：D．
7．解：∵输入的x值为5时，输出的值为﹣4，
∴4，∴b＝﹣2．∵﹣1＜2，∴输入的x值为﹣1时，输出的y值为﹣2×（﹣1）﹣2＝2﹣2＝0．故选：A．
8．解：由所给图形可知，
第1个图案中“”的个数为：4＝1×3+1；
第2个图案中“”的个数为：7＝2×3+1；第3个图案中“”的个数为：10＝3×3+1；
…，所以第n个图案中“”的个数为（3n+1）个．当n＝2025时，
3n+1＝6076（个），即第2025个图案中“”的个数为6076个．故选：B．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．解：如果以30岁为基准年龄，大明36岁，记为+6岁，那么大刚的年龄记为﹣9，大刚今年21岁，
故答案为：21．
10．解：建造郑济高铁的目的用下面的数学知识来解释最恰当的是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
11．解：∵a+b＝﹣2，ab＝﹣3，
∴a2﹣ab+b2＝a2+2ab+b2﹣3ab＝（a+b）2﹣3ab＝（﹣2）2﹣3×（﹣3）＝13．
故答案为：13．
12．解：设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故答案为：5x+45＝7x+3．
13．解：当N在AB上方，
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON∠AOC＝30°，
∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°，
当N在AB下方，
∴∠BON∠AOC＝30°，
故答案为：150°或30°．
三、解答题（共7小题，满分81分）
14．解：（1）原式
＝﹣24+9+16﹣7
＝﹣24﹣7+9+16
＝﹣31+25
＝﹣6；
（2）原式
＝﹣1﹣5+1+9
＝﹣6+1+9
＝﹣5+9
＝4．
15．解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2
＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2）
＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2
＝2a2﹣6ab，
当a＝﹣3，时，原式24．
16．解：任务一、以上求解步骤中，第四步进行的是合并同类项，这一步的依据是合并同类项法则；
任务二、以上求解步骤中，第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，第二项没有变号；
任务三、2，
去分母，得3x﹣（x﹣1）＝12，
去括号，得3x﹣x+1＝12，
移项，得3x﹣x＝12﹣1，
合并同类项，得2x＝11，
系数化成1，得x＝5.5．
故答案为：合并同类项，合并同类项，合并同类项法则，二，去括号时，第二项没有变号，x＝5.5．
17．解：（1）∵20200（人），
∴本次活动共调查了200名学生；
（2）补全图2，
200﹣120﹣20＝60，
360°108°，
即B区域的圆心角度数是108°；
（3）24002400960（人）．
答：该校不是了解很多的学生有960人．
18．解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）由拼图可知，图2是长为a+b，宽a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）①∵4m2﹣n2＝12，即（2m+n）（2m﹣n）＝12，而2m+n＝4，
∴2m﹣n＝3；
故答案为：3；
②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
．
19．解：（1）设他昨天购进黄瓜xkg，西红柿ykg，
依题意得：，解得：．
答：他昨日购进黄瓜10kg，购进西红柿30kg；
（2）设今天的西红柿售价应为m元，
依题意得：3×（10+10）+4×30+50×（1﹣20%）m﹣114﹣2.4×10﹣3×50＝（114+2.4×10+3×50），
解得：m＝5.1．答：今天的西红柿售价应为5.1元．
20．解：（1）∵AB＝15，OA：OB＝2
∴AO＝10，BO＝5，∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5
（2）设经过t秒后A，B相距1个单位长度
∵|15﹣（2+5）t|＝1∴t1＝2，t2
当经过2秒或秒后A，B相距1个单位长度．
（3）设经过t秒，则AP＝4t﹣（﹣10+2t）＝2t+10，PB＝5+5t﹣4t＝5+t，OP＝4t
∴3AP+2BP﹣mOP＝6t+30+2t+10﹣m×4t＝8t﹣4mt+40
∴当m＝2时，3AP+2BP﹣mOP为定值，定值为40．
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．2026的倒数是（ ）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
2．纳米（nm）是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1nm＝10﹣9m，已知某种植物孢子的直径为45000nm，用科学记数法表示该孢子的直径是（ ）
A．45×10﹣9m B．4.5×10﹣9m C．4.5×10﹣3m D．4.5×10﹣5m
3．用一个平面去截一个五棱柱，截面不可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．七边形 D．八边形
4．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量 B．检测一批LED灯的使用寿命
C．检测长沙市的空气质量 D．检测一批家用汽车的抗撞击能力
5．下列运算正确的是（ ）
A．2m+n＝2mn B．m6÷m2＝m3
C．（﹣mn）2＝﹣m2n2 D．m2 m3＝m5
6．用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．作图步骤如下：
①作射线CQ；②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．下列排序正确的是（ ）
A．④③②① B．④③①② C．②③④① D．②④③①
7．根据如图所示的程序计算，若输入的x值为5时，输出的值为﹣4，则输入的x值为﹣1时，输出的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
8．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，第2025个图案中“”的个数是（ ）
A．6078 B．6076 C．6074 D．6072
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．古人讲“三十而立”，如果以30岁为基准年龄，大明36岁，记为+6岁，那么大刚的年龄记为﹣9，大刚今年 岁．
10．2023年12月8日，郑济高铁济南至濮阳段建成通车．济南西站至郑州东站较之前绕道徐州减少了200多公里的路程，铁路客运时间缩短至1个多小时．建造郑济高铁的目的用下面的数学知识来解释最恰当的是 ．
11．若a+b＝﹣2，ab＝﹣3，则代数式a2﹣ab+b2的值是 ．
12．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
13．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°，将一块透明的三角尺直角顶点放在点O处，并绕点O旋转一周，在旋转过程中，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠BON＝ ．
三、解答题（共7小题，满分81分）
14．（9分）计算：
（1）；
（2）．
15．（9分）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b．
16．（9分）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：2．
解：去分母，得3x﹣（x﹣1）＝12……第一步
去括号，得3x﹣x﹣1＝12……第二步
移项，得3x﹣x＝12+1……第三步
，得2x＝13……第四步
方程两边同除以2，得x＝6.5……第五步
任务一、以上求解步骤中，第四步进行的是 ，这一步的依据是 ；
任务二、以上求解步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务三、请求出该方程的正确的解．
17．（12分）“你今天光盘了吗？”这是国家倡导厉行节约，反对浪费以来的时尚流行语，某校团委随机抽取部分了学生，对他们是否了解关于“光盘行动”的情况进行调查，调查结果有三种：A、了解很多；B、了解一点；C、不了解．团委根据调查的数据进行整理，绘制了尚不完整的统计图如下，图1中C区域的圆心角为36°，请根据统计图中的相关的信息，解答下列问题：
（1）求本次活动共调查了多少名学生？
（2）请补全图2，并求出图1中，B区域的圆心角度数；
（3）若该校有2400名学生，请估算该校不是了解很多的学生人数．
18．（14分）如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．
（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为 ；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为 ；
（3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式 ．
（4）【问题解决】利用（3）的公式解决问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．
②直接写出下面算式的计算结果：（1）（1）（1）（1）…（1）．
19．（14分）昨天，一蔬菜经营户用114元从蔬菜批发市场购进黄瓜和西红柿共40kg到菜市场去卖，黄瓜和西红柿的批发价和零售价如表所示：
品名 黄瓜 西红柿
批发价（元/kg） 2.4 3
零售价（元/kg） 3 4
（1）他昨天购进黄瓜和西红柿各多少kg？
（2）今天他又按照批发价买入10kg黄瓜和50kg西红柿，黄瓜仍然按照3元/kg销售，但运输过程中西红柿损坏了20%，要使这两天的利润率为，今天的西红柿售价应为多少元？
20．（14分）如图，点O为原点，A，B为数轴上两点，AB＝15，且OA：OB＝2
（1）A，B对应的数分别为 ， ．
（2）点A，B分别以2个单位/秒和5个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A，B相距1个单位长度？
（3）点AB以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得3AP+2PB﹣mOP为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．C．
2．解：45000nm＝45000×10﹣9m＝4.5×10﹣5m；故选：D．
3．解：∵五棱柱一共有7个面，用一个平面去截一个五棱柱，截面最多经过7个面，得到的多边形的边数最多是七边形，∴截面不可能是八边形．故选：D．
4．解：A、检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故A符合题意；
B、检测一批LED灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、检测长沙市的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D不符合题意；故选：A．
5．解：A、2m与n不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、m6÷m2＝m4，原计算错误，不符合题意；C、（﹣mn）2＝m2n2，原计算错误，不符合题意；
D、m2 m3＝m5，正确，符合题意．故选：D．
6．解：正确的排序为：②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q．①作射线CQ；故选：D．
7．解：∵输入的x值为5时，输出的值为﹣4，
∴4，∴b＝﹣2．∵﹣1＜2，∴输入的x值为﹣1时，输出的y值为﹣2×（﹣1）﹣2＝2﹣2＝0．故选：A．
8．解：由所给图形可知，
第1个图案中“”的个数为：4＝1×3+1；
第2个图案中“”的个数为：7＝2×3+1；第3个图案中“”的个数为：10＝3×3+1；
…，所以第n个图案中“”的个数为（3n+1）个．当n＝2025时，
3n+1＝6076（个），即第2025个图案中“”的个数为6076个．故选：B．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．解：如果以30岁为基准年龄，大明36岁，记为+6岁，那么大刚的年龄记为﹣9，大刚今年21岁，
故答案为：21．
10．解：建造郑济高铁的目的用下面的数学知识来解释最恰当的是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
11．解：∵a+b＝﹣2，ab＝﹣3，
∴a2﹣ab+b2＝a2+2ab+b2﹣3ab＝（a+b）2﹣3ab＝（﹣2）2﹣3×（﹣3）＝13．
故答案为：13．
12．解：设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故答案为：5x+45＝7x+3．
13．解：当N在AB上方，
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON∠AOC＝30°，
∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°，
当N在AB下方，
∴∠BON∠AOC＝30°，
故答案为：150°或30°．
三、解答题（共7小题，满分81分）
14．解：（1）原式
＝﹣24+9+16﹣7
＝﹣24﹣7+9+16
＝﹣31+25
＝﹣6；
（2）原式
＝﹣1﹣5+1+9
＝﹣6+1+9
＝﹣5+9
＝4．
15．解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2
＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2）
＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2
＝2a2﹣6ab，
当a＝﹣3，时，原式24．
16．解：任务一、以上求解步骤中，第四步进行的是合并同类项，这一步的依据是合并同类项法则；
任务二、以上求解步骤中，第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，第二项没有变号；
任务三、2，
去分母，得3x﹣（x﹣1）＝12，
去括号，得3x﹣x+1＝12，
移项，得3x﹣x＝12﹣1，
合并同类项，得2x＝11，
系数化成1，得x＝5.5．
故答案为：合并同类项，合并同类项，合并同类项法则，二，去括号时，第二项没有变号，x＝5.5．
17．解：（1）∵20200（人），
∴本次活动共调查了200名学生；
（2）补全图2，
200﹣120﹣20＝60，
360°108°，
即B区域的圆心角度数是108°；
（3）24002400960（人）．
答：该校不是了解很多的学生有960人．
18．解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）由拼图可知，图2是长为a+b，宽a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）①∵4m2﹣n2＝12，即（2m+n）（2m﹣n）＝12，而2m+n＝4，
∴2m﹣n＝3；
故答案为：3；
②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
．
19．解：（1）设他昨天购进黄瓜xkg，西红柿ykg，
依题意得：，解得：．
答：他昨日购进黄瓜10kg，购进西红柿30kg；
（2）设今天的西红柿售价应为m元，
依题意得：3×（10+10）+4×30+50×（1﹣20%）m﹣114﹣2.4×10﹣3×50＝（114+2.4×10+3×50），
解得：m＝5.1．答：今天的西红柿售价应为5.1元．
20．解：（1）∵AB＝15，OA：OB＝2
∴AO＝10，BO＝5，∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5
（2）设经过t秒后A，B相距1个单位长度
∵|15﹣（2+5）t|＝1∴t1＝2，t2
当经过2秒或秒后A，B相距1个单位长度．
（3）设经过t秒，则AP＝4t﹣（﹣10+2t）＝2t+10，PB＝5+5t﹣4t＝5+t，OP＝4t
∴3AP+2BP﹣mOP＝6t+30+2t+10﹣m×4t＝8t﹣4mt+40
∴当m＝2时，3AP+2BP﹣mOP为定值，定值为40．
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