2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：平面向量及其应用（全国甲卷专用）（含答案）

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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：平面向量及其应用（全国甲卷专用）
1．已知向量，，．
（1）若，所成角为钝角，求x的取值范围；
（2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）．
2．已知 为 的角 所对的边，且满足 ， 为 的中点.
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的长.
3．如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）
（1）证明：为定值；
（2）求的最小值，并求此时的，的值.
4．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，.
（1）求角的大小；
（2）若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
5．在四面体中，，，，，，，、、，点在棱上，且.
（1）计算，，的值；
（2）用向量，，表示向量；
（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求角A；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围；
（3）若的面积，E为线段BC上一点，且存在，使得，求AE长度的取值范围．
7．已知正整数，，为的k元子集，记为非零向量}，若的元素个数为，则称为的不重子集．
（1）已知集合，，，这三个集合中，集合______是的不重子集；若该集合新增m个元素后，仍为的不重子集，则m的最大值为______，此时新增的这m个元素为______；
（2）若为的不重子集，且，，求k的最大值；
（3）若为的不重子集，则k的最大值为______，直接在平面直角坐标系中给出一个使得k最大的的例子．
8．对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”．
（1）若，，是的“迷你向量”，求实数x的取值范围；
（2）一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为，设．记事件“蚂蚁经过的路径中至少有n个使得是的迷你向量”．（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①写出从坐标原点沿最短路径爬行到点的所有路线（如：右右右上）一般地，总数n步中恰有m步向上走其余各步向右走的方法总数为：
②当时，求；
③证明：．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题意知，且，不共线，
因为，
所以，
当时，，
则，
综上所述，且．
（2）解：因为，，，
则在上的投影向量为：．
2．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，
得，
又因为，，
∴，
，
，
当时，，，
∴，
，
∵，
.
（2）解：，
∴，
又∵，
由余弦定理，得，
∴.
由平面向量加法的平行四边形法则，
可得，
所以，
，
则的长为．

3．【答案】（1）证明：因为是边边上中线，
所以.
又因为是的中点，，
所以.
因为三点共线，
所以且，
所以，
则为定值.
（2）解：由（1）得：，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则当时，的最小值.
4．【答案】（1）解：，则由正弦定理得，
即，
，，
又，，，；
（2）解：在锐角三角形ABC中，，
因为根据正弦定理，所以，
又因为，所以，
所以三角形周长为
，
因为，即，所以，
，，
所以.
5．【答案】（1）解：，
，
，
（2）解：
.
（3）解：设（），则
，
又，
若在线段上存在一点，使得，
则
令，解得
∵，故线段上不存在一点，使得.
6．【答案】（1）解：由正弦定理，知，，
则，
整理得，
，
．
（2）解：因为，
又，，
，
则，
．
（3）解：设d为线段AE长，
由题意可知，AE为内角平分线，
则，
由，
得，所以，
由余弦定理，得，
则，
所以，
，
，
又因为，所以，
则线段AE长度的取值范围为．
7．【答案】（1）解：由题意得，根据题干得：若A为不重子集，则，
其所含的元素个数为4，不是，故A不是的不重子集.
若B为不重子集，则，故B是的不重子集；
若C为不重子集，则，元素个数为4，不等于6，故C不是的不重子集；
的最大值为2，证明如下：
如图，由题意已知点A，点B，点E已经在不重子集里，在从剩余的6个点里最多选择几个，
显然点C是不能选的，这样，若选择点Q，则剩余的点一定都不选，
会出现相等元素，此时；若选择点D，则点F，点H，点Q，点G不选
(若选G则有)，此时；若选点F，则点D，点G，点Q不选，
点H可选，此时；若选G点，剩余点都不选；若选H，同上，此时，
故m最大值为2，增加的两个元素为，.
（2）解：k的最大值5，证明如下：
由题意知，中点的横、纵坐标均只有5种取值．
一方面，若，由抽屉原理知，中必存在两个横坐标相同的点A，B，两个纵坐标相同的点C，D，
则，且，矛盾.另一方面，可以构造的满足题意的不重子集.
（3）解：k的最大值为8，可以构造的不重子集．
根据向量不相等可排除性的选点，得到如下图所示，最大值为8.
8．【答案】（1）解：若，，
因为是的“迷你向量”，所以，
即，解得，
则实数的取值范围为；
（2）解：①、从坐标原点沿最短路径爬行到点的所有路线：右右右上、右右上右、右上右右、上右右右；
②、如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，，，N，
要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点
故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可．
先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上，
其余三步向右故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法：
“123”代表前三步向上，剩下三步向右；
“246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右；
，
总共的最短路径条数，；
，故经过包含的路径条数为4，，
因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型，
；
③、同理，总共的最短路径条数为
经过包含的路径条数为，试验为古典概型，
．
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