2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：三角函数（全国甲卷专用）（含答案）

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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：三角函数（全国甲卷专用）
1．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且．
（1）求；
（2）求函数与的图象在区间内的交点横坐标．
2．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则
（1）求关于x的函数关系式；
（2）若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.
3．已知函数.
（1）求的最小正周期及的值；
（2）为了得到的图像，需将正弦函数的图像进行怎样的变换？（写出一种即可）
（3）求在上的单调递减区间.
4．已知，都是锐角，，．
（1）求的值；
（2）求角的值．
5．某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形中，，，记，共设计了两个方案：
方案一：如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为；
方案二：如图2，点分别在半径和上，点，在扇形弧上，，记此时矩形的面积为.
（1）分别用表示两个方案中矩形的面积，；
（2）分别求出，的最大值，并比较二者最大值的大小.
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求角A；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围；
（3）若的面积，E为线段BC上一点，且存在，使得，求AE长度的取值范围．
7．已知函数的定义域为R，且，．
（1）若，求A与；
（2）证明：函数既是偶函数又是周期函数；
（3）若为的一个周期，且在上单调递减，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明：在区间上有4048个需点，且．
8．在平面直角坐标系中，利用公式①（其中为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母…表示．
（1）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（2）在平面直角坐标系中，求双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到的双曲线方程；
（3）已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（点在第一象限），与轴交于点，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题意，则函数的图象经过点，
所以函数的图象经过点，
则，代入中，
得，
所以，
由，得，
所以，
解得.
（2）解：由（1）得，，
则，
令，
得，
则或，
解得或（舍去），
当时，；
当时，；
当时，，
所以函数与的图象在区间内的交点横坐标为．
2．【答案】（1）解：由题意可知：，
则，即，
又，所以即，
所以；
（2）解：易知大扇形与小扇形的面积分别为：，
所以扇环的面积为，
结合（1）得，
则砖雕面积与雕刻费用之比为，
整理得
，当且仅当时等号成立，
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5.
3．【答案】（1）解：最小正周期，
（2）解：的图象向左平移个单位得到函数，
的图象上所有点的横坐标缩短到原理的（纵坐标不变），得到，
函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到
（3）解：，则，
当时，，
所以函数在上的单调递减区间是
4．【答案】（1）解：因为，
所以
又因为为锐角，，
所以．
又因为，
解方程可得.
（2）解：由，，
可得
因为，，
所以，则
，
又因为，
所以，
解得．
5．【答案】（1）解：如图1，在中，，，
所以，.
在中，，
则，
所以，，
如图2，过点作于点，过点作的垂线，交弧于点，
在中，，，
所以，.
由扇形和矩形的对称性，
可得，
在中，，
则，
，.
所以，.
（2）解：由，
得，.
方案一：因为
，
当时，即当时，取最大值，最大值为.
方案二：因为
，
则当时，即当时，取最大值，最大值为，
因为，
所以.
6．【答案】（1）解：由正弦定理，知，，
则，
整理得，
，
．
（2）解：因为，
又，，
，
则，
．
（3）解：设d为线段AE长，
由题意可知，AE为内角平分线，
则，
由，
得，所以，
由余弦定理，得，
则，
所以，
，
，
又因为，所以，
则线段AE长度的取值范围为．
7．【答案】（1）解：因为， ①
令，可得，，
因为，所以，
由，得．
由，得，
解得．
因为，所以，
所以.
（2）证明：由（1）得，，
①中，令可得，，
即，所以函数为偶函数；
令得，，
即有，
从而可知，，
故，
即．
所以函数是一个周期为的周期函数．
（3）证明：由（1）得，，
在中，
令，可得，
因为，所以，
所以，又因为在上是减函数，
所以在上有且仅有一个零点．
中，令，得．
所以在区间上有且仅有一个零点．
又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点．
，
所以在内的零点为和．
，，．
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：
，．
在上有4048个零点：
，，，，，，，
其中，．
8．【答案】（1）解：设，可得，
所以，
，
则坐标变换公式为，所以对应的二阶矩阵为；
（2）解：设曲线上任意一点变换后所得点坐标为，
即，此时，
整理得，则双曲线的方程为；
（3）证明法一：由题意可知，设直线方程为，
联立，消去得，
此时，解得，由韦达定理得.
又因为点在不同两支，故，解得.
可知
，
因为点在第一象限，所以，
又因为，所以，则；
法二：当直线斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，解得，由韦达定理得.
当时，此时，取，则，
所以直线的方程为.
联立，消去并整理得，
解得或，所以，
所以，则，所以；
当时，设直线的斜率分别为，
此时，
所以，
，
所以．
因为点在第一象限，所以，
又因为，所以，则；
当直线斜率不存在时，
此时，可得，
所以，同理可得．
综上所述，为定值，定值为．
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