2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：数列（全国甲卷专用）（含答案）

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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：数列（全国甲卷专用）
1．已知数列为等差数列，其前n项和为，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的最小值．
2．已知数列满足：，，数列的前n项和满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
3．在数列中，点在直线上；在等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
4．设数列的前项和为，，，数列满足，点在直线上，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
5．数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．
6．已知无穷数列各项均为正数，且.
（1）请判断如下两个结论是否正确：
①；②；
（2）当时，证明：；
（3）记数列的前项和为，若，证明：.
7．设正整数数列满足．
（1）若，请写出所有可能的取值；
（2）记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
（3）若为周期数列，求所有可能的取值.
8．已知无穷数列满足.对于集合，定义若，则；若，则.
（1）若，求集合；
（2）若，集合，且，求中元素个数的可能值；
（3）若，集合，对任意的，满足，且，证明：.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由，可得，
因为，所以，解得，
则；
（2）解：由上可知，
则，，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
由二次函数的性质可知或时，取得最小值.
2．【答案】（1）解：由题意，可知：，
所以
所以，
当时，；
当时，，满足上式，
所以.
（2）解：由（1）可知，
则，
，
所以
，
所以.
3．【答案】（1）解：易知
故求数列的通项公式分别为
.
（2）解：由（1）知：
设数列的前项和为，数列的前项和为，则
则数列的前n项和
.
4．【答案】解：（1）由可得，两式相减得，.又，所以.故是首项为1，公比为3的等比数列.所以.由点在直线上，所以.则数列是首项为1，公差为2的等差数列.则.（2）因为，所以.则，两式相减得：∴
（1）解：由可得，两式相减得，.
又，所以.
故是首项为1，公比为3的等比数列.
所以.
由点在直线上，所以.
则数列是首项为1，公差为2的等差数列.
则.
（2）解：因为，
所以.
则，
两式相减得：
∴
5．【答案】（1）解：令
又①
②
由①②得到
即：，
经检验，也成立，故数列的通项公式

（2）解：
因为是单调递增数列，且
若恒成立，则，解得或，
实数的取值范围为或．
6．【答案】（1）解：由于，则，
两式相加得，即，
所以；
由于，
所以，
则，
所以，
所以①，②均正确；
（2）证明：因为，均有，
所以当时，有，
所以，
所以，
当时，有，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
整理得.
（3）证明：由（2）得，当时，有，
所以，均有，
即，
所以
所以，
即，
又因为，所以.
7．【答案】（1）解：因为正整数数列满足，
当时，，
所以，，
则，
所以或，
则或，
当时，或，
所以或；
当时，，
所以，
则的可能取值为、、.
（2）证明：如果存在正整数，满足是的倍数，
则对，都是的倍数；
如果存在为3的倍数，
根据，
可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于，
当为3的倍数时，可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数，
综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数.
（3）解：首先注意到是正整数数列，
则数列一定有最小值，
设为，下证或t=，
当为偶数时，设，
则，与是最小值矛盾，
所以是奇数，
不妨设，
则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾，
综上所述，只能是小于的正奇数，即或.
当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环，
所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数，
经检验，当时，数列确实是周期数列.
8．【答案】（1）解：由题意可得，
因为，所以集合.
（2）解：，设，，
不妨设，，表示集合中元素个数，
当时，，；
当时，，；
由于，故，
当，显然找不到满足条件的，
所以中元素个数的可能值为0或1.
（3）证明： 设，中最小元素为，
而，
由于最大，故，
那么，
由于，
所以，即，
所以.
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