2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：统计与概率（全国甲卷专用）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：统计与概率（全国甲卷专用）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 727.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-07 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：统计与概率（全国甲卷专用）
1．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.
（1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；
（2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；
（3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望.
2．某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：
①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号；
②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响．
（1）求甲没有获得“智慧星”称号的概率；
（2）求乙获得“智慧星”称号的概率．
（3）记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件发生的概率．
3．舟山某海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：
（1）根据图1频率分布直方图，求；
（2）根据图2频率分布直方图，求新养殖法箱产量的第80百分位数的估计值（精确到）；
（3）按照上述两个频率分布直方图，用样本频率估计总体概率，设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于60kg，且新养殖法的箱产量不低于60kg”，估计的概率．
4．不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40人 80人 60人 20人
款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率．
（1）分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率；
（2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望；
（3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小．
5．现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.
（1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率；
（2）在统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计.
（i）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：）
（ii）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为，试利用这组样本并结合（i）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数）
6．甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：
①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次；
②直接结束抽牌，记，换由乙抽牌一次．
记乙抽到的纸牌上的数字为c，若，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．
（1）若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；
（2）若甲抽牌2次，求甲赢的概率；
（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②赢得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示）
参考公式：若数列的通项公式为，则的前n项和．
7．在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为，其期望为．
（1）求与；
（2）求；
（3）证明：．
附：①若随机变量的可能取值为，则
②若随机变量，则．
8．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设A，B，C三款模型通过算法设计评审分别为事件，
A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件，
则；
（2）解：设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件，
则；
由条件概率公式可得；
（3）解：设A，B，C三款模型能成功上线为事件，
则，，，
的可能取值为，
则，
，
，
，
X的分布列如下：
0 1 2 3
数学期望为.
2．【答案】（1）解：设甲获得“智慧星”称号的事件为，
根据独立事件的乘法公式，，，
则甲没有获得“智慧星”称号的概率是；
（2）解：设乙答对的问题数为，易知服从二项分布，，
由题意，乙获得智慧星的概率为；
（3）解：由于乙最多题，甲最多题，当乙比甲多对题时，甲可能答对题，
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
故.
3．【答案】（1）解：由频率分布直方图知：
，解得；
（2）解：新养殖法的频率分布直方图中，箱产量不低于60kg的直方图面积为，
新养殖法的第80百分位数的估计值kg．
（3）解： 记表示事件“旧养殖法的箱产量低于60kg”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于60kg”，
旧养殖法的箱产量低于60kg的频率为，即的估计值为，
新养殖法的箱产量不低于60kg的频率为，
即的估计值为，
因此事件的概率估计值为．
4．【答案】（1）解：由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为，
该校乙学院学生使用款大模型的概率为.
（2）解：由题意，可知的可能取值为：，
则，
，
，
，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
P
则.
（3）解：由第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为，
该校乙学院学生使用款大模型的概率为，
易知，
由二项分布的方差公式，
可知，
，
所以.
5．【答案】（1）解：记抽到的4个数字互不相同为事件，
则事件包含的基本事件个数是.
甲同学随机抽取4次的不同结果个数是
故抽到的4个数字互不相同的概率；
（2）解：（i）依题意的可能取值为
且且，
所以，..
依题意的可能取值为
且且，
所以
.
（ii）依题意样本数据为期望（平均数）为，
则为期望（平均数）为
消去得
整理得
又因为
所以
6．【答案】（1）解：若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下．
甲抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，此时有1种情况；
甲抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况；
甲抽到的纸牌上的数字为3，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；
……
依次类推，甲赢的情况共有．
故甲赢的概率为．
（2）解：若甲抽牌2次，甲赢的情况如下．
①甲第1次抽到的纸牌上的数字为1．
第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况；
第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；
……
第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，，…，1，此时有N种情况．
以上有种情况．
②甲第1次抽到的纸牌上的数字为2．
第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；
第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，，此时有4种情况；
……
第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，，…，1，此时有N种情况．
以上有种情况．
依次类推，甲第1次抽到的纸牌上的数字为3时，甲赢的情况有种；
……
甲第1次抽到的纸牌上的数字为时，甲赢的情况有种；
甲第1次抽到的纸牌上的数字为时，甲赢的情况有N种．
甲赢的情况的总数为
．
故甲赢的概率为．
（3）解：当甲抽取的第一张纸牌上的数字为a时，
若甲选择①，则甲赢的概率，
若甲选择②，则甲赢的概率．
令，即，
化简得，解得．
综上，当甲抽取的第一张纸牌上的数字大于时，甲选择②赢得游戏的概率更大．
7．【答案】（1）解：因为表示袋中共两个球，前3次摸出同一个球，第4次才摸出另一个球，所以，
因为表示袋中共3个球，前4次摸出的是两个不同编号的球，
第5次才摸出最后一个编号的球，
因为第5次才摸出第三个编号的球，
所以，前4次摸球中，另外两个编号球各至少摸到一次，
则．
（2）解：依题意，可得：，
则，
所以
设，
，
作差可得：
，
所以，
则.
（3）证明：设随机变量表示，恰好记录了个不同的编号下，
继续摸球直到记录到第个新的编号所需要的摸球次数，
则，其中，
则，
，
设
，
作差可得：
所以
，
所以，
则，
令，
当时，，所以在单调递增，
则，
所以，
则
所以．
8．【答案】解：（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，
故.
因此.
的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，
得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据，
剩下数据的平均数为，
因此的估计值为.
，
剔除之外的数据，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：统计与概率（全国甲卷专用）
1．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.
（1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；
（2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；
（3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望.
2．某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：
①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号；
②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响．
（1）求甲没有获得“智慧星”称号的概率；
（2）求乙获得“智慧星”称号的概率．
（3）记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件发生的概率．
3．舟山某海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：
（1）根据图1频率分布直方图，求；
（2）根据图2频率分布直方图，求新养殖法箱产量的第80百分位数的估计值（精确到）；
（3）按照上述两个频率分布直方图，用样本频率估计总体概率，设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于60kg，且新养殖法的箱产量不低于60kg”，估计的概率．
4．不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40人 80人 60人 20人
款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率．
（1）分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率；
（2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望；
（3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小．
5．现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.
（1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率；
（2）在统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计.
（i）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：）
（ii）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为，试利用这组样本并结合（i）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数）
6．甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：
①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次；
②直接结束抽牌，记，换由乙抽牌一次．
记乙抽到的纸牌上的数字为c，若，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．
（1）若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；
（2）若甲抽牌2次，求甲赢的概率；
（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②赢得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示）
参考公式：若数列的通项公式为，则的前n项和．
7．在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为，其期望为．
（1）求与；
（2）求；
（3）证明：．
附：①若随机变量的可能取值为，则
②若随机变量，则．
8．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设A，B，C三款模型通过算法设计评审分别为事件，
A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件，
则；
（2）解：设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件，
则；
由条件概率公式可得；
（3）解：设A，B，C三款模型能成功上线为事件，
则，，，
的可能取值为，
则，
，
，
，
X的分布列如下：
0 1 2 3
数学期望为.
2．【答案】（1）解：设甲获得“智慧星”称号的事件为，
根据独立事件的乘法公式，，，
则甲没有获得“智慧星”称号的概率是；
（2）解：设乙答对的问题数为，易知服从二项分布，，
由题意，乙获得智慧星的概率为；
（3）解：由于乙最多题，甲最多题，当乙比甲多对题时，甲可能答对题，
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
当甲对题，乙对题时，；
故.
3．【答案】（1）解：由频率分布直方图知：
，解得；
（2）解：新养殖法的频率分布直方图中，箱产量不低于60kg的直方图面积为，
新养殖法的第80百分位数的估计值kg．
（3）解： 记表示事件“旧养殖法的箱产量低于60kg”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于60kg”，
旧养殖法的箱产量低于60kg的频率为，即的估计值为，
新养殖法的箱产量不低于60kg的频率为，
即的估计值为，
因此事件的概率估计值为．
4．【答案】（1）解：由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为，
该校乙学院学生使用款大模型的概率为.
（2）解：由题意，可知的可能取值为：，
则，
，
，
，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
P
则.
（3）解：由第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为，
该校乙学院学生使用款大模型的概率为，
易知，
由二项分布的方差公式，
可知，
，
所以.
5．【答案】（1）解：记抽到的4个数字互不相同为事件，
则事件包含的基本事件个数是.
甲同学随机抽取4次的不同结果个数是
故抽到的4个数字互不相同的概率；
（2）解：（i）依题意的可能取值为
且且，
所以，..
依题意的可能取值为
且且，
所以
.
（ii）依题意样本数据为期望（平均数）为，
则为期望（平均数）为
消去得
整理得
又因为
所以
6．【答案】（1）解：若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下．
甲抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，此时有1种情况；
甲抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况；
甲抽到的纸牌上的数字为3，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；
……
依次类推，甲赢的情况共有．
故甲赢的概率为．
（2）解：若甲抽牌2次，甲赢的情况如下．
①甲第1次抽到的纸牌上的数字为1．
第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况；
第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；
……
第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，，…，1，此时有N种情况．
以上有种情况．
②甲第1次抽到的纸牌上的数字为2．
第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；
第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，，此时有4种情况；
……
第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，，…，1，此时有N种情况．
以上有种情况．
依次类推，甲第1次抽到的纸牌上的数字为3时，甲赢的情况有种；
……
甲第1次抽到的纸牌上的数字为时，甲赢的情况有种；
甲第1次抽到的纸牌上的数字为时，甲赢的情况有N种．
甲赢的情况的总数为
．
故甲赢的概率为．
（3）解：当甲抽取的第一张纸牌上的数字为a时，
若甲选择①，则甲赢的概率，
若甲选择②，则甲赢的概率．
令，即，
化简得，解得．
综上，当甲抽取的第一张纸牌上的数字大于时，甲选择②赢得游戏的概率更大．
7．【答案】（1）解：因为表示袋中共两个球，前3次摸出同一个球，第4次才摸出另一个球，所以，
因为表示袋中共3个球，前4次摸出的是两个不同编号的球，
第5次才摸出最后一个编号的球，
因为第5次才摸出第三个编号的球，
所以，前4次摸球中，另外两个编号球各至少摸到一次，
则．
（2）解：依题意，可得：，
则，
所以
设，
，
作差可得：
，
所以，
则.
（3）证明：设随机变量表示，恰好记录了个不同的编号下，
继续摸球直到记录到第个新的编号所需要的摸球次数，
则，其中，
则，
，
设
，
作差可得：
所以
，
所以，
则，
令，
当时，，所以在单调递增，
则，
所以，
则
所以．
8．【答案】解：（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，
故.
因此.
的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，
得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据，
剩下数据的平均数为，
因此的估计值为.
，
剔除之外的数据，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
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