2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：圆锥曲线的方程（全国甲卷专用）（含答案）

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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：圆锥曲线的方程（全国甲卷专用）
1．已知椭圆：经过点，且.
（1）求的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，过的直线交于两点. 是否存在点，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
2．已知椭圆的离心率为为椭圆的左顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆的左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线PB与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为坐标原点），且，求直线PB的斜率．
3．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线T：的焦点为F，点A在T上，点，其中.
（1）若直线AF斜率为1，且与T的另一个交点为B，求的面积；
（2）经过点P作直线l交T于D、C两点，若点Q是点P关于y轴的对称点，且A是线段DQ的中点，证明：.
4．动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若点为曲线与抛物线的一个公共点，点.
①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围.
5．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：.
6．设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
（1）若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
（2）设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
（3）设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
7．在平面内，有个椭圆和条抛物线（），任意两条曲线均存在公共点，且任意三条及以上的曲线无公共点. 设所有公共点个数为V. 这些公共点将椭圆和抛物线共分割为L条曲线段（或曲射线），上述图形将平面分割为S个互不连通的区域. 如图，一个椭圆与一条抛物线相交，此时. 已知对于任意，成立.
（1）当时，直接写出S的最大值及此时和的值；
（2）当时，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）对于给定的，设所有S的最大值为. 当时，试求出的值.
8．2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的截口曲线是圆；当圆锥的轴与截面所成的角不同时，还可以截得截口曲线为椭圆、双曲线、抛物线；数学家Germinal Dandelin用双球模型进行了证明，并得出如下结论：当圆锥轴截面的顶角为，截面与圆锥的轴所成角为时，则截口曲线的离心率，当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴.（轴截面是过圆锥的轴的平面与圆锥截得的等腰三角形）已知母线长为6的圆锥，轴截面为等边三角形，.
（1）当过的截面截圆锥得到截口曲线是圆时，求圆锥的底面与截面圆之间的部分的体积；
（2）过的平面截圆锥得到一个椭圆，截面与交于点，与交于点，为椭圆上一点，与垂直且与圆锥底面平行，.
①判断是否为椭圆的长轴，并说明理由；
②判断是否为椭圆的焦点，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：因为点在椭圆上，所以，
因为，所以，
解得，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）解：假设存在点，使得恒成立，易知点，设点，
若直线斜率不存在，则当时，恒成立.
若直线斜率存在，如图所示：
设其方程为：，
由，得，
依题意，
所以，，（*）
若满足，则，即，
整理得，，
又，，
所以，
整理得，，
将（*）式代入得，，
整理得
依题意不恒为0，则，
所以存在点使得恒成立.
2．【答案】（1）解：由题可知：
因此，
所以椭圆的方程为；
（2）解：由题意得，设．设直线PB的斜率为，
又，则直线PB的方程为，
直线PB与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线OP的斜率，
在中，令，得．所以
由得，
所以直线MN的斜率为．
由，得，
化简得，从而．
所以，直线PB的斜率为或．
3．【答案】（1）解：由题意知抛物线的焦点为，
直线的方程为l：，
联立抛物线T和直线l的方程：，得.
设，，由韦达定理得，，
.
（2）证明：设直线l：，，，，
不妨设，因为A是D，Q中点，所以，得，即.
由，所以，即，
所以，结合，所以.
4．【答案】（1）解：由依题意，，化简得，
所以曲线的方程为：或.
（2）解：①由（1）可知，或，
当时，由，得，而，，无解；
当时，由，得，由，解得，
所以的取值范围为.
②直线的斜率，由①知，且，
令，则，则，
当，即时，，
当，时，，
所以直线的斜率取值范围为.
5．【答案】（1）解：因为双曲线与双曲线的渐近线相同，
则可设：，又双曲线过，
所以，
则，
所以，
则双曲线的方程为.
（2）证明：设，因为，
所以左焦点，
则直线，
所以，
则，
所以，
则，
所以.
6．【答案】（1）解：依题意，得，
解得，
所以双曲线方程为.
（2）解：设（或），
则，，，，
所以，，
则，
因为，
所以，
则，
所以，，
由，，三点共线，得；
又因为，，
由，，三点共线，
得，
，，
，
，
则，
所以，，
直线与直线的交点的轨迹的方程为，.

（3）解： 设，，，
则，
因为直线：，即，
又因为直线：，即，
由，
得，
所以，
则，
所以，
同理可得，，
由图形的对称性知，
若过定点，则定点在轴上，
取，可得，，
则直线PQ：，过点，
下面证明直线恒过定点为，
由且，
得，
所以直线恒过定点为．
7．【答案】（1）解：由题意易得，此时；
（2）解：设四条曲线分别为，其中为椭圆，为抛物线.
和的公共点个数为，其中，则.
所以，
且与其他三条曲线的公共点个数分别为
，，，.
所以上的曲线段（或曲射线）条数分别为
，，，.
所以.
又因为，所以，所以.
其中时，上式成立.
（3）解：由题意，当有个椭圆和条抛物线时，
每增加1个椭圆，至多增加个公共点，
原有曲线上共增加条曲线段，
新增椭圆被分割为条曲线段，
所以新增条曲线段.
因为，所以.
每增加1条抛物线时，至多增加个公共点，
原有曲线上共增加条曲线段，
新增抛物线被分割为条曲线段（或曲射线），
所以新增条曲线段（或曲射线）.
同理，.
所以当时，
，
，
……，
，
累加有，
即，
相加得，
又，所以.
当时，符合题意.
取定，当时，
，
，
……，
，
累加有，
即，
相加得，
所以.
由，得，
所以，
因为，所以.
8．【答案】（1）解：由母线长为6的圆锥，轴截面为等边三角形可知，
圆锥的底面圆半径为，其高为，
所以圆锥的体积为，
又，所以当过的截面截圆锥得到截口曲线是圆时，
截面圆半径为，高为；
所以上部分小圆锥体积为；
因此圆锥的底面与截面圆之间的部分的体积.
（2）解：
①连接并延长交底面于点，如下图所示：
又因为与垂直且与圆锥底面平行，
又平面，平面平面，所以；
因为，所以；
又，，即平面；
因为平面，
所以平面平面，即截面垂直于轴截面，
根据定义：当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴，
因此是椭圆的长轴；
②易知，所以，
易知圆锥轴截面的顶角为，在中，由余弦定理可得：
；
此时满足，即，且；
则椭圆离心率为；
又因为，即，所以；
易知点距离椭圆右顶点较近，设椭圆右焦点为，
则，而，
因此点不是椭圆的焦点.
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