2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：直线与圆的方程（全国甲卷专用）（含答案）

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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：直线与圆的方程（全国甲卷专用）
1．已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形为菱形，求直线l的方程.
2．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.
3．已知圆关于直线对称，且过点.
（1）求证：圆与直线相切；
（2）若直线过点与圆交于、两点，且，求此时直线的方程.
4．在平面直角坐标系中，动点与点的距离是它与点的距离的倍.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）点在动点的轨迹上，求的最大值；
（3）若直线过点且与动点轨迹相交于两点，当时，求直线的方程.
5．如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．
6．已知顶点坐标分别为．
（1）求的外接圆的方程；
（2）设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设斜率为的直线与圆交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点．
7．设圆C过点且与圆：相切于点．
（1）求C的方程；
（2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值；
（3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值.
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中的点，则满足的动点P的轨迹记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差.
（3）直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；
答案解析部分
1．【答案】（1）解：因为圆心C是直线与轴的交点，
所以圆心C的坐标为，
又因为圆C经过，所以圆C的半径为，
所以圆C的方程为.
（2）解：因为四边形CAMB为菱形，
所以AB垂直平分CM，
因为，所以
又因为CM的中点坐标为
所以直线AB的方程为，即.
2．【答案】（1）解：由题意知，动点到点的距离等于到直线的距离，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以抛物线的方程为.
（2）解：设，，
则，
两式相减，得，
整理可得.
因为线段的中点坐标为，
所以，
则直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
3．【答案】（1）证明：圆化为标准方程，即，
则因为圆关于直线对称，所以，所以，
因为圆C过点，所以，所以，
得，所以圆方程为，
圆心坐标为，半径为，
故点C到直线的距离为，
所以C与直线相切，
（2）解： 设圆心到直线l的距离为，则，
当直线的斜率不存在时，即，满足题意，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
所以，解得，
所以直线l的方程为或．
即或．
4．【答案】（1）解：因为动点与点的距离是它与点的距离的倍，
可得，整理得，
所以动点的轨迹方程.
（2）解：由（1）知圆，可圆心坐标为，半径为，
因为可以看成点与点的斜率，
则过点，斜率为的直线方程为，即，
当过点的直线与圆相切时，斜率取最值，
直线与圆相切时，可得圆心到直线的距离，
解得，所以得最大值为1.
（3）解：当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，
此时直线与圆没有公共点，所以直线的斜率一定存在，
可设直线过点的方程为，
即，
由圆的弦长公式可得，解得，
即圆心到直线的距离，则，解得或，
则直线方程为，即，
所以直线方程为或.
5．【答案】（1）解：当时，直线AB的斜率为，
因为点，所以直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因为圆的半径为，所以的长为；
（2）解：存在，理由如下：
由垂径定理可知，当直线与直线垂直时，弦被点平分，
因为，所以，
则直线的方程为，即.
6．【答案】（1）解：设圆的一般方程为：，
依题意，有，解得，
故的外接圆圆的方程为.
（2）解：设，由代入点的坐标，可得
，
整理得，易得，
则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆(当时为点，看作半径为0的圆).
依题意，圆与圆有公共点.
圆的方程化为标准方程，圆心，半径为2，
而，
所以在圆外，所以，
解得
即实数的取值范围为.
（3）证明：依题意，设直线的方程为，如图所示：
由联立消去，可得，
则由可得，
设，则（*），
则，
即，
将（*）式代入整理上式得：，故得或.
当时，直线经过原点，不合题意；
当时，直线经过定点.
7．【答案】（1）解：由已知条件，
将圆的一般方程化为标准方程为，
所以圆的圆心，半径，
因为圆C与圆相切于点，
所以点C，，N三点共线，
则圆C的圆心在直线上，
又因为直线的方程为，
所以设圆C的圆心，
因为，在圆C上，
所以，
则，
解得，
所以圆心C坐标为，半径，
则圆C的方程为．
（2）解：设，因为，，三点，所以
，
因为点P在圆上运动，
所以，
解得，
则，
当时，取得最大值88；
当时，取得最小值72．
（3）证明：解法一：由题意可知，，
因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，
所以直线m的斜率一定存在，
设直线m的方程为，
将代入，
得．
设，，
所以，，
则
，
所以为定值，这个定值为12．
解法二：取中点H，连接，
则，，
所以
．
所以为定值，这个定值为12．
8．【答案】（1）解：设，由得，
即，
整理得①.
（2）解：设，因为，，三点，
所以
，
，
因为点P在圆上运动，
则，解得，
所以，
当时，取得最大值88，
当时，取得最小值72.
所以取的最大值与最小值之差为.
（3）解：由消去并整理得，
设，，
，
假定在轴上存在定点，使得，
设，则，
即，整理得，
则，化简得，
当时，，当时，，因此当时，恒成立，
所以在轴上存在定点，使得，点.
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