2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：指对幂函数（全国甲卷专用）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：指对幂函数（全国甲卷专用）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 689.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-07 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：指对幂函数（全国甲卷专用）
1．已知函数，且.
（1）若的图象过点，解不等式；
（2）若，求的取值范围.
2．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若，求在区间上的最小值；
（3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
3．已知函数且.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求满足的的取值集合.
4．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
5．已知函数和，且．
（1）若的最小值为，求实数的值．
（2）若与的图像有且仅有一个交点，求实数的取值范围．
6．若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知．
（1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由；
（2）若，求的最小值；
（3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点．
7．对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
（1）若是由“基函数和”生成的，求的值；
（2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.）
8．意大利画家列奥纳多 达 芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数尤为特殊，与此类似的还有双曲正弦函数（是自然对数的底数，）．
（1）计算的值；
（2）类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式______，并加以证明；
（3）判断函数的零点个数，并求出零点．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题意知，即，所以，
又，所以，所以，
所以的定义域为，且在上单调递增，
因为，所以，
解得，或，
所以原不等式的解集为.
（2）解：由题意知，因为，所以，
由，得，
所以，
因为为单调函数，所以，
所以，
所以问题可转化为关于的方程在上有解.
令，则，又在上单调递增，
所以的值域为，
所以，所以，即的取值范围为.
2．【答案】（1）解：由，
得，
则，
解得.
（2）解：当时，，
令，因为，
所以，
则，
当时，取最小值，
所以在区间上的最小值为.
（3）解：若对任意的，总存在，使得，
可得：，
又因为，
则对任意的，，
所以对任意的恒成立，
则，所以，
令，.
因为在区间上为增函数，
所以，
则实数的取值范围是.
3．【答案】（1）解：对于函数且，
由，
解得，
则函数的定义域为.
（2）解：函数为偶函数.
理由如下：因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又因为，
所以，函数为偶函数.
（3）解：依题意，得，
若，则，解得，
设，，
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又因为在其定义域内单调递增，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因为，所以，
解得，
所以的取值集合为.
4．【答案】（1）解：易知函数的定义域为R，
因为函数为偶函数，所以，则，解得，
，成立，
故；
（2）解：由（1）可得不等式，即，
即，
当时，令，则
，当且仅当时取“=”，
故实数m的取值范围 .
5．【答案】（1）解： 若的最小值为 ，则函数的最小值为，
①当时，，，解得；
②当时，，无最小值；
③当时，，解得或在这两段上的取值范围均为，故不成立；
④当时，，无最小值；
⑤当时，，此时，有最小值，无最大值，
，解得，
综上：或；
（2）解：由题可知，
对于①，可得，即，
（i）当时，只有一个零点，代入②③检验成立，
（ii）当时，方程有两个零点，由题只能有一个零点满足题意，
若满足，则，得，
且不满足，若同时满足②③，则，
则不满足的条件为，则无解，
若满足，即不满足，即，则，
综上所述：.
6．【答案】（1）解：，所以是“好玩函数”．
，
所以是“好玩函数”．
由，则或，而，
当或时无意义，
所以不是“好玩函数”．
（2）解：因为，
所以在上单调递增，
由（1）知，，所以，
又，所以，
所以．
，
当且仅当即时等号成立．
所以，的最小值为12．
（3）证明：因为，
在上单调递增，在上单调递增．
又，
由零点存在性定理知，，
所以在上有且只有一个零点．
又
所以是“好玩函数”，，
所以，
故也是的零点，
所以在和各有一个零点，
即在定义域内有且只有两个零点．
7．【答案】（1）解：由题意， 存在实数，使得，
则 ，
即，即，解得，
故实数的值为1；
（2）解：①、设，
因为为偶函数，所以，
由，可得，整理可得，
即，即，
即对任意恒成立，就饿得，
，
又因为，所以，所以，
故函数的解析式为；
②、由①知，
在内任取，且，
则，
因为
，
所以，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
故的最大值为.
8．【答案】（1）解：，
则；
（2）证明：，
证明如下：
；
（3）解：由于，
因此，设，由均值不等式，
因此，
令，可得或，而当且仅当，
可视为函数和的复合，由复合函数单调性，在上单调递增，在上单调递减，
若即，则有2解，原方程共有3个解；
令，设，方程可化为，解得故另两解为，
若即，此时关于的方程仅有一解，原方程有唯一解；
若即，此时无解，原方程有唯一解，
综上所述，时，原函数有1个零点；
时，原函数有3个零点，为．
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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：指对幂函数（全国甲卷专用）
1．已知函数，且.
（1）若的图象过点，解不等式；
（2）若，求的取值范围.
2．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若，求在区间上的最小值；
（3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
3．已知函数且.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求满足的的取值集合.
4．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
5．已知函数和，且．
（1）若的最小值为，求实数的值．
（2）若与的图像有且仅有一个交点，求实数的取值范围．
6．若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知．
（1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由；
（2）若，求的最小值；
（3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点．
7．对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
（1）若是由“基函数和”生成的，求的值；
（2）试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.）
8．意大利画家列奥纳多 达 芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数尤为特殊，与此类似的还有双曲正弦函数（是自然对数的底数，）．
（1）计算的值；
（2）类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式______，并加以证明；
（3）判断函数的零点个数，并求出零点．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题意知，即，所以，
又，所以，所以，
所以的定义域为，且在上单调递增，
因为，所以，
解得，或，
所以原不等式的解集为.
（2）解：由题意知，因为，所以，
由，得，
所以，
因为为单调函数，所以，
所以，
所以问题可转化为关于的方程在上有解.
令，则，又在上单调递增，
所以的值域为，
所以，所以，即的取值范围为.
2．【答案】（1）解：由，
得，
则，
解得.
（2）解：当时，，
令，因为，
所以，
则，
当时，取最小值，
所以在区间上的最小值为.
（3）解：若对任意的，总存在，使得，
可得：，
又因为，
则对任意的，，
所以对任意的恒成立，
则，所以，
令，.
因为在区间上为增函数，
所以，
则实数的取值范围是.
3．【答案】（1）解：对于函数且，
由，
解得，
则函数的定义域为.
（2）解：函数为偶函数.
理由如下：因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又因为，
所以，函数为偶函数.
（3）解：依题意，得，
若，则，解得，
设，，
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又因为在其定义域内单调递增，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因为，所以，
解得，
所以的取值集合为.
4．【答案】（1）解：易知函数的定义域为R，
因为函数为偶函数，所以，则，解得，
，成立，
故；
（2）解：由（1）可得不等式，即，
即，
当时，令，则
，当且仅当时取“=”，
故实数m的取值范围 .
5．【答案】（1）解： 若的最小值为 ，则函数的最小值为，
①当时，，，解得；
②当时，，无最小值；
③当时，，解得或在这两段上的取值范围均为，故不成立；
④当时，，无最小值；
⑤当时，，此时，有最小值，无最大值，
，解得，
综上：或；
（2）解：由题可知，
对于①，可得，即，
（i）当时，只有一个零点，代入②③检验成立，
（ii）当时，方程有两个零点，由题只能有一个零点满足题意，
若满足，则，得，
且不满足，若同时满足②③，则，
则不满足的条件为，则无解，
若满足，即不满足，即，则，
综上所述：.
6．【答案】（1）解：，所以是“好玩函数”．
，
所以是“好玩函数”．
由，则或，而，
当或时无意义，
所以不是“好玩函数”．
（2）解：因为，
所以在上单调递增，
由（1）知，，所以，
又，所以，
所以．
，
当且仅当即时等号成立．
所以，的最小值为12．
（3）证明：因为，
在上单调递增，在上单调递增．
又，
由零点存在性定理知，，
所以在上有且只有一个零点．
又
所以是“好玩函数”，，
所以，
故也是的零点，
所以在和各有一个零点，
即在定义域内有且只有两个零点．
7．【答案】（1）解：由题意， 存在实数，使得，
则 ，
即，即，解得，
故实数的值为1；
（2）解：①、设，
因为为偶函数，所以，
由，可得，整理可得，
即，即，
即对任意恒成立，就饿得，
，
又因为，所以，所以，
故函数的解析式为；
②、由①知，
在内任取，且，
则，
因为
，
所以，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
故的最大值为.
8．【答案】（1）解：，
则；
（2）证明：，
证明如下：
；
（3）解：由于，
因此，设，由均值不等式，
因此，
令，可得或，而当且仅当，
可视为函数和的复合，由复合函数单调性，在上单调递增，在上单调递减，
若即，则有2解，原方程共有3个解；
令，设，方程可化为，解得故另两解为，
若即，此时关于的方程仅有一解，原方程有唯一解；
若即，此时无解，原方程有唯一解，
综上所述，时，原函数有1个零点；
时，原函数有3个零点，为．
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