2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：导数及其应用（全国甲卷专用）（含答案）

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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：导数及其应用（全国甲卷专用）
1．已知函数在处取得极值．
（1）求的值；
（2）求曲线在点处的切线方程；
（3）求函数在上的最值．
2．设函数，.
（1）若存在大于0的零点，求a的取值范围；
（2）设点在曲线的任意一点的切线上，证明：.
3．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）证明：；
（3）若，且，求证：
4．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：有唯一极值点；
（3）若有唯一零点，求证：.
5．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
6．已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若在上恰有2个零点，求m的取值范围；
（3）若，是的极值点，求证：．
7．若定义在 上的函数 满足： 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的上界，最小的 称为函数 的上确界，记作 . 与之对应，若定义在 上的函数 满足： 对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 为函数 的下界，最大的 称为函数 的下确界，记作 .
（1）若 有下确界 ，则 一定是 的最小值吗 请举例说明.
（2）已知函数 ，其中 .
(i) 若 ，证明： 有下确界，没有上确界.
(ii)若函数 有下确界，求实数 的取值范围，并证明 .
8．设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间.
（1）已知函数，求的凹、凸区间；
（2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有.
①将不等关系转化为对应的不等式；
②证明：当，时，恒成立.
答案解析部分
1．【答案】（1），
（2）
（3）最大值为，最小值为
2．【答案】（1）解：易知函数在R上单调递增，且时，，
若存在大于0的零点，则，
所以.
令，易知函数在R上单调递增，
因为，要使，
只需，则实数的取值范围为.
（2）证明：由题意，易知，设切点为，
则切线为，
因为是切线上一点，所以，
要证，即证，
等价于证明，
设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又因为，所以，
则.
3．【答案】（1）解：，，令，则，
故当时，，单调递增，当，，单调递减；
故，故在单调递减，其单调减区间为，无增区间.
（2）证明：要证，只要证.
，令，，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
故，则当时，.
令，，当时，恒成立，故在上单调递增，
而，当时，，.
（3）证明：已知，且，；
由（1）可知，函数在上单调递减，；
由（2）可知，当时，，即，即；
，.
4．【答案】（1）解：函数的定义域为，
因为，所以，
则，
所以斜率，又，
所以切线方程为，即.
（2）证明L 因为，，
所以，，
令，，
则，因为，所以恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
构造函数，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，所以，即，
所以，
又，所以存在唯一的，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以函数有唯一极值点.
（3）证明： 由（2）得，
因为函数有唯一零点，所以，所以，
即，所以，
设，所以，
所以在单调递减，
因为，所以.
5．【答案】（1）解：
当时，，则，
∴，则在点处的切线方程为；
（2）解：因为，
由题意，解得，检验符合，
故，列表如下：
4
0 0
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为．
由解析式易知，当时；当时，且，
所以．
综上，的增区间为、，减区间为，.
6．【答案】（1）解：当时，，
则，
又因为，
所以，
则在处的切线方程为，即．
（2）解：因为在上恰有2个零点，
所以在上恰有2个解，
当时，在上单调递增，不符合题意，则，
所以在上恰有2个解，
可得与的图象有2个不同的交点．
令，
则，
当时，，可得；
当时，，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
作出的大致图象如图所示，
由图知，函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点
等价于，
解得，
则实数m的取值范围为．
（3）证明：因为，
所以．
又因为是的极值点，
所以．
要证，
即证．
因为
．
令，
则，
由，解得，
则当时，；当时，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，
则．
7．【答案】（1）解：不一定是的最小值，
如的下确界，
但0不是的最小值．
（2）证明：（i）当时，，定义域，
所以．
令，则；
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则对任意的恒成立，
所以函数有下确界，，
假设函数有上确界，
设，则，
所以.
因为，这与是的上确界相矛盾，
则假设不成立，函数无上确界．
（ii）证明：先证明．
令函数，则，
设，则，
当，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，所以，即．
若，当时，．
假设有下确界，则一定存在负数恒成立．
当时，有，矛盾，
故假设不成立，即时，没有下确界．
若，因为，
设，则，
所以在上单调递增．
当时，，所以．
因为连续函数满足，
所以函数在上有零点．
因为在上单调递增，所以在上只有一个零点，设为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的最小值为．
结合（i），若函数有下确界，则实数的取值范围为．
又时，，
由（i）知，故的下确界.
8．【答案】（1）解：因为的定义域为，，
设，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以的凹区间为，凸区间为.
（2）解：①对于凹函数定义域中的任意两个自变量，
则，，
，，
所以，，
由，
得.
证明：②对不等式，
两边取对数，问题等价于
恒成立，
构造函数，，
则恒成立，
所以，令，
，
令，则，
解得，
所以是函数的凹区间，，
则当时，是凹函数，
由①知，，当时，等号成立，
所以，当时，恒成立，
则恒成立.
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