2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：集合（全国甲卷专用）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：集合（全国甲卷专用）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 738.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-07 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：集合（全国甲卷专用）
1．已知集合，集合，集合.
（1）求；
（2）已知命题，命题，命题，若这三个命题中有且仅有一个为真命题，求的取值范围.
2．设全集，已知集合，集合，
（1）求和；
（2）若且，求实数的取值范围．
3．已知集合，
（1）当时，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分条件，求正实数的取值范围.
4．已知集合，.
（1）求；
（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
5．已知函数，，集合
（1）求 ；
（2）若，求p，q的值；
（3）若，求
6．已知正整数，，为的k元子集，记为非零向量}，若的元素个数为，则称为的不重子集．
（1）已知集合，，，这三个集合中，集合______是的不重子集；若该集合新增m个元素后，仍为的不重子集，则m的最大值为______，此时新增的这m个元素为______；
（2）若为的不重子集，且，，求k的最大值；
（3）若为的不重子集，则k的最大值为______，直接在平面直角坐标系中给出一个使得k最大的的例子．
7．已知A是非空数集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集．
（1）判断集合，，是否为封闭集，并说明理由；
（2）判断命题“若非空集合，是封闭集，则也是封闭集”的真假，并说明理由；
（3）若非空集合A是封闭集合，且，求证：不是封闭集．
8．对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质.
（1）若集合，求集合，；
（2）若集合，，且，求的值并证明：；
（3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：易知集合，
解不等式，可得或，即集合或，
解不等式，可得或，即集合或，
则，或；
（2）解：若只有p为真命题，则，，，即，解得；
若只有q为真命题，则，，，即，解得；
若只有r为真命题，则，，，即，无解，
综上，.
2．【答案】（1）解：由，得，则，
解，得，则，
所以，，
则或．
（2）解：因为，所以，
而，，
当时，则，解得，满足题意；
当时，则，且，解得，则；
综上，实数的取值范围为．
3．【答案】（1）解：当时，，
（2）解：是的充分条件，且，
因为，所以
所以
所以.
4．【答案】（1）解：，，
故，则或，
（2）解：由“”是“”的充分不必要条件可得是的真子集，
故或或，
解得或或，
综上可得.
5．【答案】（1）解：由得，，解得，
即.
（2）解：由，知，
，
即，；
（3）解：因为，所以，
所以，即，
当，即时，，此时
当，即时，，解集为，此时；
当，即时，，此时
6．【答案】（1）解：由题意得，根据题干得：若A为不重子集，则，
其所含的元素个数为4，不是，故A不是的不重子集.
若B为不重子集，则，故B是的不重子集；
若C为不重子集，则，元素个数为4，不等于6，故C不是的不重子集；
的最大值为2，证明如下：
如图，由题意已知点A，点B，点E已经在不重子集里，在从剩余的6个点里最多选择几个，
显然点C是不能选的，这样，若选择点Q，则剩余的点一定都不选，
会出现相等元素，此时；若选择点D，则点F，点H，点Q，点G不选
(若选G则有)，此时；若选点F，则点D，点G，点Q不选，
点H可选，此时；若选G点，剩余点都不选；若选H，同上，此时，
故m最大值为2，增加的两个元素为，.
（2）解：k的最大值5，证明如下：
由题意知，中点的横、纵坐标均只有5种取值．
一方面，若，由抽屉原理知，中必存在两个横坐标相同的点A，B，两个纵坐标相同的点C，D，
则，且，矛盾.另一方面，可以构造的满足题意的不重子集.
（3）解：k的最大值为8，可以构造的不重子集．
根据向量不相等可排除性的选点，得到如下图所示，最大值为8.
7．【答案】（1）解：集合，，，则集合不是封闭集；
对于集合，任取，其中，，
则，，故集合是封闭集；
（2）解：令，由（1）知是封闭集，，
任取，其中，，
则，，
所以是封闭集，
因为，，所以，但，
所以不是封闭集.
所以命题“若非空集合，是封闭集，则也是封闭集”是假命题；
（3）证明：假设是封闭集，
若，在中任取一个，，则，
否则，，此时，与矛盾，
所以，，而，这与矛盾，
所以当时，不是封闭集，
同理可证，当时，也不是封闭集，
综上，不是封闭集.
8．【答案】（1）解：因为集合，所以由，，，可得；
，，，可得.
（2）解：由于集合，，
则集合的元素在0，，，中产生，
且，，
而，故中最大元素属于，而为4个元素中的最大者，
故，即，
故，故中的3个元素为0，，，所以只能与0或或重合，
而，故即.
（3）解：设满足题意，设，
则，
，又，，
，，即，
，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
，即，
.
实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，即，故的最小值为675，
于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350.
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2026年高考数学解答题（基础5题+压轴3题）专项训练：集合（全国甲卷专用）
1．已知集合，集合，集合.
（1）求；
（2）已知命题，命题，命题，若这三个命题中有且仅有一个为真命题，求的取值范围.
2．设全集，已知集合，集合，
（1）求和；
（2）若且，求实数的取值范围．
3．已知集合，
（1）当时，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分条件，求正实数的取值范围.
4．已知集合，.
（1）求；
（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
5．已知函数，，集合
（1）求 ；
（2）若，求p，q的值；
（3）若，求
6．已知正整数，，为的k元子集，记为非零向量}，若的元素个数为，则称为的不重子集．
（1）已知集合，，，这三个集合中，集合______是的不重子集；若该集合新增m个元素后，仍为的不重子集，则m的最大值为______，此时新增的这m个元素为______；
（2）若为的不重子集，且，，求k的最大值；
（3）若为的不重子集，则k的最大值为______，直接在平面直角坐标系中给出一个使得k最大的的例子．
7．已知A是非空数集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集．
（1）判断集合，，是否为封闭集，并说明理由；
（2）判断命题“若非空集合，是封闭集，则也是封闭集”的真假，并说明理由；
（3）若非空集合A是封闭集合，且，求证：不是封闭集．
8．对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质.
（1）若集合，求集合，；
（2）若集合，，且，求的值并证明：；
（3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：易知集合，
解不等式，可得或，即集合或，
解不等式，可得或，即集合或，
则，或；
（2）解：若只有p为真命题，则，，，即，解得；
若只有q为真命题，则，，，即，解得；
若只有r为真命题，则，，，即，无解，
综上，.
2．【答案】（1）解：由，得，则，
解，得，则，
所以，，
则或．
（2）解：因为，所以，
而，，
当时，则，解得，满足题意；
当时，则，且，解得，则；
综上，实数的取值范围为．
3．【答案】（1）解：当时，，
（2）解：是的充分条件，且，
因为，所以
所以
所以.
4．【答案】（1）解：，，
故，则或，
（2）解：由“”是“”的充分不必要条件可得是的真子集，
故或或，
解得或或，
综上可得.
5．【答案】（1）解：由得，，解得，
即.
（2）解：由，知，
，
即，；
（3）解：因为，所以，
所以，即，
当，即时，，此时
当，即时，，解集为，此时；
当，即时，，此时
6．【答案】（1）解：由题意得，根据题干得：若A为不重子集，则，
其所含的元素个数为4，不是，故A不是的不重子集.
若B为不重子集，则，故B是的不重子集；
若C为不重子集，则，元素个数为4，不等于6，故C不是的不重子集；
的最大值为2，证明如下：
如图，由题意已知点A，点B，点E已经在不重子集里，在从剩余的6个点里最多选择几个，
显然点C是不能选的，这样，若选择点Q，则剩余的点一定都不选，
会出现相等元素，此时；若选择点D，则点F，点H，点Q，点G不选
(若选G则有)，此时；若选点F，则点D，点G，点Q不选，
点H可选，此时；若选G点，剩余点都不选；若选H，同上，此时，
故m最大值为2，增加的两个元素为，.
（2）解：k的最大值5，证明如下：
由题意知，中点的横、纵坐标均只有5种取值．
一方面，若，由抽屉原理知，中必存在两个横坐标相同的点A，B，两个纵坐标相同的点C，D，
则，且，矛盾.另一方面，可以构造的满足题意的不重子集.
（3）解：k的最大值为8，可以构造的不重子集．
根据向量不相等可排除性的选点，得到如下图所示，最大值为8.
7．【答案】（1）解：集合，，，则集合不是封闭集；
对于集合，任取，其中，，
则，，故集合是封闭集；
（2）解：令，由（1）知是封闭集，，
任取，其中，，
则，，
所以是封闭集，
因为，，所以，但，
所以不是封闭集.
所以命题“若非空集合，是封闭集，则也是封闭集”是假命题；
（3）证明：假设是封闭集，
若，在中任取一个，，则，
否则，，此时，与矛盾，
所以，，而，这与矛盾，
所以当时，不是封闭集，
同理可证，当时，也不是封闭集，
综上，不是封闭集.
8．【答案】（1）解：因为集合，所以由，，，可得；
，，，可得.
（2）解：由于集合，，
则集合的元素在0，，，中产生，
且，，
而，故中最大元素属于，而为4个元素中的最大者，
故，即，
故，故中的3个元素为0，，，所以只能与0或或重合，
而，故即.
（3）解：设满足题意，设，
则，
，又，，
，，即，
，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
，即，
.
实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，即，故的最小值为675，
于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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