第7章锐角三角函数章末测试卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级下册苏科版

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第7章锐角三角函数章末测试卷-2025-2026学年数学九年级下册苏科版
一、单选题
1．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
3．如图，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，由边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为，则的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形内接于，对角线经过圆心，，，，则的半径长度是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，实线部分是一个正方体展开图，点，，，，均在的边上，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．某市为推动旅游产业的发展，计划将某处空地改造成风景园林区．如图为该园林区内梯形池塘的横断面示意图，，池塘斜面的坡度为（即），米，则池塘边缘点到池塘底部的距离为（ ）
A．米 B．5米 C．4米 D．3米
9．如图，等边的边长为4，点在边上，，线段绕逆时针旋转得到线段，交于点，连接，下列结论：①四边形面积为；②；③外接圆的半径为；其中正确的是（ ）．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题
10．如图，在边长为1的正方形网格图中，点、、都在格点上，则 ．
11．如图，斜坡的坡度为，如果将斜坡的铅垂高度从A处沿射线的方向延伸2米，并保持坡度不变，那么需从B处沿射线的方向延伸 米．
12．一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ．
13．如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是，小正方形的面积为，则
14．如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为 ．（将无人机近似为一个点）
15．已知如图，为正方形的外接圆，正方形边长为若弦为内接正六边形的一条边，则弧的长为 ．
16．如图，的直径，E是的中点，过E作交于，的延长线与的延长线交于点F，连接．
（1） ；
（2）若，则 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，一艘轮船从点A出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东 方向上，航行小时后到达点B，在B处测得灯塔C在北偏东 方向上，求灯塔C到轮船航行路线的距离．(结果保留根号)
19．在中，，，点是边上一动点，连接，以为斜边在其右侧作等腰．
(1)当时，则__________；
(2)若点在边上时，求的长；
(3)若时，求的长．
20．如图，在四边形中，，点为对角线的中点，过点作分别交的延长线、边于点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)交边于点，若，，求的长．
21．如图1，四边形内接于，为的中点，分别延长，交于点，连接并延长交于点，交于点，且．
(1)求证：；
(2)如图2，当时，若．
①求的直径；
②连接，求的值．
22．项目式学习
【问题背景】如图①，是一款专为提升阅读舒适度与效率而精心设计的产品——铝合金阅读支架．这款阅读支架采用人体工学设计，可自由调节角度与高度，完美适应各种阅读场景，无论是伏案工作，学习阅读，都能有效减轻颈部和肩部的压力，对预防青少年近视也能起到很大的作用．
【项目主题】某校实践小组准备以这款阅读支架构建数学模型，探究哪一种情形时阅读最舒适．
【研究步骤】
步骤1：选择身高中等的小张坐在桌子前，通过调节支架杆与底座，阅读面板与支架杆的角度，让小张反馈哪一种情形时阅读最舒适．
步骤2：抽象数学模型
如图②是为了解决问题他们画出的从侧面看的数学图形，表示底座，表示支架杆，表示面板．
步骤3：测量相关数据，解决实际问题
通过测量得到：，，，底座的厚度为，未调节支架各部分前支架杆与底座的夹角，支架杆与面板的夹角．
【问题探究】
（1）求未调节支架前上方边缘D距离桌面的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，）
【问题解决】
（2）如图③，小张不断调整支架的各部分角度，确定了最舒适的情形，测量发现此时支架杆与面板的夹角并未发生变化，支架杆与底座的夹角为，则调节后支架上方边缘D距离桌面的高度发生了怎样的变化？（结果精确到，参考数据：，，）
《第7章锐角三角函数章末测试卷-2025-2026学年数学九年级下册苏教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A C D B C B B B
1．A
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再根据正弦函数的定义（对边与斜边的比值）计算的值即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
由勾股定理得，，
∴．
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值与平方的非负性，三角形内角和，三角形分类，利用绝对值与平方的非负性求出的度数，再结合三角形内角和计算的度数，根据最大角的类型判断三角形形状，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵中，，，
∴，或，
若，则（钝角），
若，则为钝角，
综上，是钝角三角形，
故选：．
3．C
【分析】本题考查了余弦的定义，理解其定义是解题的关键．
根据余弦的定义计算即可．
【详解】解：由题意知，．
故选：C ．
4．D
【分析】本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理；首先根据圆周角定理的推论可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出．
【详解】解：如图，连接、．
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理的推论知，．
∵为直径，
∴，
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了求角的余弦值，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
先根据点的坐标，得到，，结合勾股定理列式计算得，由锐角的余弦定义进行列式计算．
【详解】解：过作轴于，
∵的坐标是，
∴，，
∴则，
∴，
即的余弦值是．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．
连接，过点作于点，由圆周角定理以及圆的内接四边形的性质得到，，然后解求出，然后对运用勾股定理求解，再解等腰即可求解半径．
【详解】解：连接，过点作于点，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查几何体的展开图，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
先设过点与垂直的线段与的交点为，过点作与交于点，设与的交点为点，设每个小正方形的边长为，再根据勾股定理求出和，然后证明，最后根据等角的三角函数值相同求解即可．
【详解】解：如图，设过点与垂直的线段与的交点为，过点作与交于点，设与的交点为点，设每个小正方形的边长为，
∵中，，，，
∴根据勾股定理：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了坡度问题，勾股定理．
设米，则米，根据勾股定理求出的值，即可求出的值．
【详解】解：设米，
∵，
∴米，
∵，米，
∴，
即，
解得：（负值舍去），
∴米．
故选：B．
9．B
【分析】首先利用旋转的性质确定是等边三角形，通过证明，得到结论①正确；利用相似三角形的性质确定线段的比例，得到结论②正确．利用等边三角形的性质作的高，根据勾股定理计算的长度，通过三角形全等的性质确定，利用等腰三角形的性质和三角函数计算外接圆的半径，得到结论③正确.
【详解】解：如图，过作于，等边的边长为4，
∴，，
∴，
∴，
∵线段绕逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形面积为，故①正确；
如图，作于，
同理：，，而，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
如图，以为底边，作等腰，使，作于，
则，，
∴的外接圆半径，故③错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定、图形的旋转、勾股定理、三角形外接圆半径的计算锐角三角函数的应用等知识．构造恰当的辅助线，以及对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键．
10．
【分析】本题考查了正弦的定义以及勾股定理．取格点，连接，易得，利用勾股定理求得，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：如图，取格点，连接，则，
∵，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查平行线分线段成比例，坡度比的相关问题，根据坡度比设，，由题意可知：，，则，
列方程求解即可．
【详解】解：如图所示：斜坡的坡度为，设，，
由题意可知：，，
∴即，
解得，
故答案为．
12．12
【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、二次函数的性质，由正切的定义可得，设，则，结合，得出，表示出矩形的面积，再由二次函数的性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴矩形的面积
，
∵，
∴当时，矩形的面积最大，为，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了三角函数、勾股定理、正方形的性质，根据正方形的性质求出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理求出的长度，根据正弦和余弦的定义分别求出和，即可得到结果．
【详解】解：如下图所示，
小正方形面积为，大正方形面积为，
小正方形的边长是，大正方形的边长是，
在中，，
即，
整理得，，
解得：，（舍去），
，
，，
．
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了俯角的定义，解直角三角形的应用，根据题意可得，，，米，则，即可得解．
【详解】解：如图，
根据题意可得，，，米，
∴（米），
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查正多边形与圆，弧长公式，锐角三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据圆内接正方形和正六边形的性质，求出弧所对圆周角，根据正方形边长求出圆半径，利用弧长公式计算即可，注意要分类讨论．
【详解】解：连接，
∵为正方形的外接圆，弦为内接正六边形的一条边，
∴，
如图，，
正方形边长为
，
弧的长；
如图，
弧的长；
综上所述，弧的长为或；
故答案为：或．
16．
【分析】（1）连接，利用等弧所对的圆周角相等得，利用垂径定理得，所以，进而可求出的值；
（2）根据圆周角定理得到，设交于点H，则，得到，即，可知，根据勾股定理求出，则，根据勾股定理求出，根据圆周角定理得到，根据三角函数求出，根据勾股定理求出，，证明，得到，即，求解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵E是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴
∴．
∵，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）∵的直径，
∴，的半径
∴．
设交于点H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
17．
4
【分析】本题考查了实数的混合运算．先分别计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18．灯塔C到轮船航行路线的距离为海里
【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用方向角求出三角形的内角，进而判断三角形的形状并计算边长．
先根据速度和时间求出的长度；再根据方向角求出和的度数，进而得到中的度数，判断出为等腰三角形，得到的长度；最后在中，利用正弦函数求出的长度，即灯塔C到航线的距离．
【详解】解：过点C作 交的延长线于点D，
由题意得：（海里） ，
（海里）．
在 中，
（海里） ．
答：灯塔C到轮船航行路线的距离为 海里．
19．(1)1
(2)
(3)的长为或．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合直角三角形斜边中线的性质求得，解直角三角形即可求解；
（2）先求得是等腰直角三角形，解直角三角形即可求解；
（3）取的中点，连接，作直线交于点，先证明，进而得，从而得，证明，进而证明垂直平分，得，然后分点在三角形内和在三角形外两种情况讨论求解，此时过作于，过作于先构造方程求出、、的值，进而利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
当时，点为的中点，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：1；
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
若点在边上时，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：；
（3）解：取的中点，连接，作直线交于点，
在中，，，
，，
∵点是中点，，
∴，，是等腰直角三角形，
∴
是等腰直角三角形（为斜边），
，，
，
，
，
，
，
∴
，
，
∴，
垂直平分，
．
设，过作，交的延长线于，过作于，
如图，当在内时，
，
，
，．
在中，，由勾股定理得即，
化简得：，
（负值舍去）．
是等腰直角三角形，
．
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴三角形是等腰直角三角形，
∴；
如图，当在外时，设，
，
，
，
在中，，由勾股定理得即，
化简得：，
（负值舍去）．
是等腰直角三角形，
，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴三角形是等腰直角三角形，，
∴
∴
∵三角形是等腰直角三角形，
∴．
综上：的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及特殊角度的三角函数，熟练掌握相似三角形的构造与勾股定理的应用是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得，，证明得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得证；
（2）根据菱形的性质得，再根据正切的定义得，代入数据可得答案．
【详解】（1）证明：∵，即，
∴，
∵点为对角线的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义等知识点，掌握菱形的判定与性质及锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．(1)证明见解析；
(2)①的直径为；②．
【分析】本题考查圆的垂径定理、弧与弦的对应关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，以及解直角三角形等知识，同时还涉及辅助线构造(如连接直径、作垂线)等几何解题技巧．关键是将圆中弧的关系转化为角或线段的关系，再结合三角形的性质逐步推导，同时合理构造辅助线来转化和计算．
（1）利用垂径定理，由且为的直径，得到；再结合为的中点，得到，通过弧的等量代换即可完成证明．
（2）①当时，得出为的直径，进而；再由为的中点，得到，结合为公共边，证明，得到、；接着结合，从而判定为等边三角形，得到，进而；最后在中，由求出直径．
②先由等边及，算出的长度；再由圆内接四边形的外角等于内对角，得到，结合，推出；在中，利用角的性质求出；接着过点作于，在中，利用及，求出和的长度；再通过求出，最后在中，根据正切的定义，计算出的值．
【详解】（1）证明：连接，
∵，是的直径，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
（2）①解：连接．
∵四边形内接于，，
∴是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，,
在和中，，
∴，
∴，，
由（1）得，
∴，
∴，即为等边三角形，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
即的直径为；
②解：过点作于点，
由①得为等边三角形，，，
∴，
∴，
由圆内接四边形性质，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴
在中，，，
∴，，
∴，
∴．
22．（1）支架上方边缘距离桌面的高度约为；（2）支架上方边缘距离桌面的高度下降了约．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是作出辅助线．
（1）过点作于点H，过点作交的延长线于点G，在与中，解直角三角形分别求出，，再加上的厚度即可解答；
（2）同（1）法求解即可解答．
【详解】解：（1）过点作于点H，过点作交的延长线于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
答：支架上方边缘距离桌面的高度约为；
（2）过点作于点H，过点作交的延长线于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
，
答：支架上方边缘距离桌面的高度下降了约．
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