第5章二次函数章末测试卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级下册苏科版

中小学教育资源及组卷应用平台
第5章二次函数章末测试卷-2025-2026学年数学九年级下册苏科版
一、单选题
1．已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（ ）
A．或1 B．或4 C．或6 D．或2
2．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个不相等的正实数根
D．有两个异号实数根
7．对于题目：在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点、，过点且平行轴的直线与过点且平行轴的直线相交于点，若抛物线与线段没有公共点，求的取值范围．甲的计算结果是；乙的计算结果是，则（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲与乙的结果合在一起正确 D．甲与乙的结果合在一起也不正确
8．老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ）
A． B． C． D．
9．某商店销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价．经调查，每千克售价为60元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，设每千克售价为x元，每天利润为W元，则W与x的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．二次函数的图象与轴有 个交点．
11．已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是 ．
12．二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为 ．
… 0 1 3 5 …
… 7 7 …
13．小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为 （结果保留小数点后一位）．
14．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的方程的解为 ．
15．如图，在四边形中，，，，，点M和点N分别是边与边上的动点，当时，则的最小值为 ．
16．已知如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接，点是上一点，射线与以为圆心，1为半径的相切于点，则线段的最小值是 ．
三、解答题
17．已知抛物线的顶点坐标是．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
(1)求抛物线解析式；
(2)比较与2的大小．
18．如图，抛物线与x轴交于，两点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线与y轴交于点D，连接，，点P是抛物线上一点，位于第四象限且在的下方，过点P作交于点E，若，求点P的坐标．
19．如图，已知抛物线顶点为，且过原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过抛物线上一点向直线作垂线，垂足为点．
（ⅰ）已知在线段的中垂线上．当时，求的最大值及此时点的坐标；
（ⅱ）对于抛物线上任意点，是否存在点，使恒成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
20．某商场销售某种商品，当按每件198元销售时，每件可获利80元，平均每天可以售出20件．为了提高销量，商店决定降价出售．经调查发现，该商品单件售价每降价10元，平均每天可多售出5件．
(1)该商品单件售价定为多少元时，日均销售利润可达到1800元？
(2)售卖该商品的日均销售利润能超过1800元吗？说明理由．
21．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
为何值时的面积最大，并求出其最大值；
是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
《第5章二次函数章末测试卷-2025-2026学年数学九年级下册苏教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C B A A A B C B D
1．C
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标、解一元二次方程，正确求出二次函数的顶点坐标是解题关键．先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得其顶点坐标，再根据顶点的纵坐标等于0建立方程，解方程即可得．
【详解】解：将抛物线化成顶点式为，
∴这个二次函数的顶点坐标为，
∵这个二次函数的顶点在轴上，
∴，
解得或，
综上，的值为或6，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，的值会从负变为正，即存在使得，
方程的一个解的取值范围是．
故选：．
3．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，掌握函数各项系数与函数图象之间的关系是解题的关键．
首先根据二次函数图象得到，再根据反比例函数与一次函数的图象与系数的关系，即可求解．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴的右侧，
，
，
反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限，
选项A符合题目要求．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，令，求出对应的x的值，则可求出的长度，然后根据轴对称的性质求解即可．
【详解】解：当时，，
解得，，
∴，
∵喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，
∴，
∴，
即的长为，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查一元二次方程与二次函数，数形结合是解题的关键．
一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，则函数与函数有两个不同的交点，结合图象求解即可．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
即有两个不相等的实数根，则函数与函数有两个不同的交点，
，
选项中只有2符合要求．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系．
直接根据函数图象作答即可．
【详解】解：∵的图象与只有一个交点，且方程即的根就是抛物线的图象与的交点的横坐标，
∴关于x的方程有两个相等实数根．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查的是二次函数的图像问题，一次函数与坐标轴的交点，解题需要掌握数形结合的思想，根据直线，求得点A、点B和点C的坐标，根据抛物线解析式求得顶点坐标为和对称轴为，分两种情况：当时，抛物线经过点C时为临界值；当时，若当抛物线顶点在线段下方时，解得；进而求得的取值范围．
【详解】解：对于直线，令，解得；
令，得，
∴、，
∵过点且平行轴的直线与过点且平行轴的直线相交于点，
∴，
∵ =，
∴ 抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为，
当抛物线与线段有唯一公共点时，分两种情况：
① 当时，如图：
由图可得抛物线经过点C时，，解得，，
那么，与线段没有公共点时，；
② 当时，
∵抛物线与线段没有公共点，
∴当抛物线顶点在线段下方时，
解得：
如图
综上所述，的取值范围是或．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，把，，代入得，
，解得：，
∴，
∵,
∴ 当时，P有最大值为，
∴最佳的洒水量，
故选：．
9．D
【分析】本题主要考查二次函数的应用，设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得，，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得，
，
故选：D．
10．2
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，令，求出函数的图象与轴的交点，即可得出答案．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴二次函数的图象与轴交于点和，
∴二次函数的图象与轴有2个交点．
故答案为：2．
11．
【分析】此题考查了已知二次函数的图象与x轴交点个数求参数，二次函数的定义，正确理解定义及与坐标轴交点的个数与判别式的关系是解题的关键．
根据二次函数与轴有两个公共点，则方程判别式大于零求解即可．
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个公共点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息可得二次函数时，，由此可得二次函数的对称轴为直线，则对应的的值为，故或，由此即可求解．
【详解】解：由表格可得，当或时，二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
当时，
即对应的的值为，
∴在一元二次方程中，或
解得，，
故答案为：，
13．，
【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解．
由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解．
【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为，
函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是，
由此可以估计方程的实数根为，．
故答案为：，．
14．
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，由题意，抛物线与轴的交点为，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应方程的解，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知，抛物线与轴的交点为，对称轴为直线，
则抛物线与轴的另一个交点为，
∴关于x的方程的解为；
故答案为：．
15．
【分析】以A为原点建立平面直角坐标系，结合已知条件确定四边形各顶点的坐标，接着设，据此表示出点M的坐标，根据比例关系求出上点N的坐标，再利用两点间距离公式写出的长度表达式，最后再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，
在四边形中，，，
设，则，，，
的长度：，
设，
则，
N在上，点N从C向B移动的距离为t，占总长度的比例为，
点N坐标为，
，
当时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，平面直角坐标系的建立与点的坐标，线段上的点的坐标的比例关系，两点间的距离公式等，熟练掌握相关知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了切线的性质，二次函数图象与轴的交点，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．解方程得到，，，求得，，连接，，当时，线段的值最小，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，
当时，，解得：，
当时，，
，，，
，，
连接，，
射线与以为圆心，为半径的相切于点，
，
∴，
当取最小值时，取得最小值，即当垂直于时，最小，
，，，
，
，
线段的最小值，
故答案为：．
17．(1)
(2)当时，；当时，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用顶点求函数解析式，二次根式的混合运算，完全平方公式等，解题的关键是掌握以上性质和公式．
（1）利用顶点坐标求出的值，然后利用待定系数法求出解析式即可；
（2）解一元二次方程求出或，然后利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）解：由得，，
∵顶点坐标是，
∴，
解得；
将代入得，
，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，
解得或，
∴或，
当时，，则，
∴，
∴，
∴；
当时，，则，
∴，
∴，
∴；
综上，当时，；当时，．
18．(1)；
(2)点P的坐标为．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法分别求得直线、的表达式，设点P的坐标为，求得直线表达式，求得点E的坐标为，再求得直线的表达式，求得，根据，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为，
代入得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：令，则，
∴点D的坐标为，
设直线的表达式为，则，
解得，
∴直线表达式为，
同理求得直线的表达式为，
∵，
∴设直线表达式为，点P的坐标为，
∴，
解得，
∴直线表达式为，联立得，
解得，
∴点E的坐标为，
∵点C的坐标为，
同理直线的表达式为，
令，则，
解得，
延长交轴于点，
∴，
∵，
∴，
即，
整理得，
解得或，
∵点P位于第四象限，
∴，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积等．
19．(1)
(2)（ⅰ）最大值为，；（ⅱ）存在，
【分析】本题主要考查了二次函数解析式、最值问题、勾股定理、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）设顶点式，代入原点坐标即可得解；
（2）（i）易得；进而根据二次函数最值即可得解；
（ii）过作与直线的垂线，垂足为，先表示出和，再根据化简，利用无关项可得解．
【详解】（1）解：由题可设，
将代入得，
解得，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：（i）如图，
∵在线段的中垂线上
∴，
∴；
所以，当时，有最大值，最大值为，
代入得，解得（舍去），
所以；
（ii）当时，恒成立．
理由：过作与直线的垂线，垂足为，
在Rt中，，
∵是抛物线上的点，
；
，
移项，合并同类项得：，
对任意恒成立，
且，
，
故时，恒成立．
存在这样的点．
20．(1)178元
(2)不能，见解析
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用及二次函数的应用，
（1）根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=1800，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
（2）设日均销售利润为y元 根据题意得，根据二次函数的性质求出最大值进而得出结论．
【详解】（1）解：设每件商品降价x元 每件利润为元 ，
日均销售量为件 ，
根据题意列方程 ，
解得
则单件售价为（元）
答：该商品单件售价定为178元时，日均销售利润可达到1800元．
（2）解：不能，理由如下：
设日均销售利润为y元，根据题意得
，
∵，
∴该二次函数图象开口向下，函数有最大值
当时，y取得最大值1800 ，即日均销售利润的最大值为1800元，无法超过1800元 ，
答：售卖该商品的日均销售利润不能超过1800元．
21．(1)；
(2)当时，的值最大，最大值为；或．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解；
要使相似，只有保证是直角三角形即可，然后分当时，当时，两种情况求解即可．
【详解】（1）解：把，，代入，得，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线的表达式为：，
由题知，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为；
存在，理由如下：
∵轴，即轴，
∴，
∵是直角三角形，
∴要使相似，只有保证是直角三角形即可，
当时，如图，
∴，
此时轴，关于抛物线的对称轴对称，
∴；
当时，如图，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由知，
∵，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上，存在点使与相似，此时的坐标为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)