河南开封2025-2026学年下学期高三数学3月开学考试卷（含答案）

绝密★启用前
2025~2026 学年度第二学期高三入学检测 数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。
1. 已知集合 ，且 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 复数 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知非零向量 ,满足 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知实数 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数 是偶函数， ， ，则 ( )
A. 6 B. 3 C. 0 D. -6
6. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第 年的生产利润为 (单位: 亿元)，现统计前 7 年的数据为 ，根据该组数据可得 关于 的回归直线方程为 ，且 ，预测改进后该企业第 8 年的生产利润为( )
A. 10.8 亿元 B. 10.3 亿元 C. 6.3 亿元 D. 6.8 亿元
7. 下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 设抛物线 的焦点为 为抛物线上一点且 在第一象限， ，若将直线 绕点 逆时针旋转 得到直线 ，且直线 与抛物线交于 ， 两点，则 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在 中,角 所对的边分别为 ,则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最大值为 32
C. 若 ，则符合条件的三角形有两个
D. 的取值范围为
10. 已知数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的有( )
A. 若 ,则
B. 当 时, 的最小值为
C. 数列 是公差为 的等差数列
D. 若数列 是单调递增数列,则
11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹. 我们称其为卡西尼卵形线 (Cassin niOcal). 在平面直角坐标系中,设定点为 , 点 为坐标原点,动点 满足 . 下列四个命题中,正确的是( )
A. 点 的轨迹既是中心对称又是轴对称图形
B. 点 的横坐标的取值范围是
C. 的最小值为 4
D. 的面积的最大值为 2
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知双曲线 ,则双曲线 的焦距为_____.
13. 若 ,则 取得最小值时, _____.
14. 已知 ,若 恒成立,则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 已知曲线 .
(1)若 在点 处的切线与直线 平行，求实数 的值；
(2)若曲线 与曲线 在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数 的值.
16. (15 分)如图，已知 平面 ，四边形 为矩形， ， ，点 ， 分别是 ， 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若点 为线段 中点，求证: 平面 ；
(3)求二面角 的余弦值.
17.(15分)第八届长三角国际创新挑战赛安徽赛区比赛日前在马鞍山市举办，大赛聚焦新能源汽车、 生物医药等前沿领域，共征集到 107 项技术需求，吸引了省内外众多高校与科研团队参与揭榜攻关. 其中，安徽本省的一支优秀科研团队——“徽创未来”团队，已成功进入现场赛的最终答辩环节. 该团队共有 6 名核心成员，按研究方向分为三个小组:硬件组 2 人 、算法组 2 人 、数据组 2 人 . 现从 6 人中随机抽取 3 人组成现场答辩代表小组，每名成员被抽中的概率相等.
(1)求事件 “硬件组的 和算法组的 同时被抽中” 的概率；
(2)求事件 “硬件组恰有 1 人被抽中” 的概率；
(3)已知答辩代表小组的 3 人中至少有 2 人答辩通过，该团队答辩通过. 现 ， ， 被选中组成答辩代表小组,三人各自答辩通过的概率分别为 ,三人答辩通过相互独立,求该团队答辩通过的概率.
18.(17分)若各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若正项等比数列 ，满足 ，求 ；
(3)对于(2)中的 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19. (17分)已知椭圆 的离心率 ，点 在椭圆上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过(1,0)的直线 与椭圆 相交于两点 ，设 的中点为 ，
(i) 若直线 的斜率为 1,求 ;
(ii) 若点 ,判断 与 的大小,并证明你的结论.
2025~2026 学年度第二学期高三入学检测 数学试题参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C D C D A
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 ABD CD ACD
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. . 13. . 14. 9 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解答】解: (1) 根据题意可得 ,所以 2 分
又 在点 处的切线与直线 平行 4 分
所以 ,所以 6 分
(2)由题意， ， 7 分
设公共点为 ,则 ,
由于曲线 与曲线 在第一象限的公共点处的切线互相垂直，
所以 ,则 9 分
又 ,则 11 分
所以 ,解得 13 分
16.【解答】(1)证明: 平面 ， 平面 ， 1 分
平面 2 分
又 平面 3 分
是 的中点， ，又 ， 平面 4 分
(2)证明:连接 交 于 ，连接 ，
四边形 是矩形, ,且 5 分
又 分别为 的中点, 四边形 是平行四边形 6 分
为 中点,又 是 的中点 7 分
面 面 平面 8 分
(3)解:由题意，分别以 、 、 为 、 、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示:
则 ,
. 10 分
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,得 12 分
同理,得 14 分
二面角 的余弦值为 15 分
17.【解答】解:(1)根据题意，现从 6 人中随机抽取 3 人组成现场答辩代表小组， 则 , , ,则 4 分记“硬件组的 和算法组的 同时被抽中”为事件 ,则 , , ,故 6 分
(2)根据题意，记“硬件组恰有 1 人被抽中”为事件 ，
,所以 10 分
(3)根据题意，记 答辩通过分别为事件 ，则 ， 记“该团队答辩通过”为事件 ,则 13 分故 15 分
18.【解答】解: (1) 由 ,可得 1 分
即有 ,得 ,由 ,可得 , 所以 3 分
化为 ,因为 ,所以 ,所以 4 分
所以 是公差为 2 的等差数列. 所以 5 分
(2)设 的公比为 ，因为 ，所以 ，
即 ,解得 (舍)或 ,因为 ,所以 7 分
所以 8 分
9 分
两式相减得: . 所以 10 分
(3)由(2)得不等式 ，可变为 .
当 为奇数时, ,记 11 分
所以 12 分
令 ,得 ,所以 . 所以 时, ,
时, ,即 13 分
即 且取奇数时, 单调递增,此时 ,即 14 分当 为偶数时, ,所以 ,
时, ,即 15 分
时, ,即 ,且取偶数时, 单调递增.
此时 ,所以 ,即 16 分
综上所述，实数 的取值范围为 17 分
19.【解答】解: (1) 设椭圆 的半焦距为 ,则依题意有 ,解得 , 所以椭圆 的方程为: 4 分
(2)(i)由题意可知直线 的方程为: ，设 ， ， 联立 ,消去 并整理可得 6 分
即 ,解得 7 分
即 8 分
(ii) ,证明如下: 因为点 ,
当直线 斜率等于 0 时,直线 的方程为 ,此时 ,即 10 分当斜率不等于 0 时,设直线 的方程为 ,
联立 ，消去 并整理得 分
设 ,则 14 分
则
16 分
故 ，即点 在以 为直径的圆内，故 ，
综上所述 17 分