黑龙江省佳木斯2025-2026学年度第二学期高一开学考试数学试卷（含答案）

2025-2026 学年度第二学期开学考试卷 高一数学
考试时间:120分钟
第 I 卷 (选择题，共 58 分)
一、单项选择题:(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求.)
1. 由单词“Chinese”中的字母作为集合 中的元素，则集合 中的元素个数为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
2. 已知 ,则角 的终边位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家 万事体. 在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨 函数图象的特征. 函数 的图象大致是( )
4. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
6. 已知扇形 的周长是 ，则扇形 的面积最大时圆心角的弧度数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知 ,且 ,则 的最大值为 ( )
A. 6 B. C. D.
8. 已知函数 有三个不同的零点 ,且 ,则 的范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 已知 是 的充分不必要条件， 都是 的充分条件， 是 的充要条件， 是 的必要条件，则( )
A. 是 的充要条件
B. 是 的充分不必要条件
C. 是 的充分不必要条件
D. 是 的充要条件
10. 关于 的不等式 的解集是 ，则( )
A.
B.
C. 不等式 的解集是
D. 方程 的解集是
11. 已知函数 则下列结论正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 在 上单调递增，则 的值可以为
C. 存在 ，使得 在 上单调递减
D. 若 的值域为 ,则 的取值范围为
第 II 卷(共 92 分)
三、填空题:(本大题共 3 小题，每题 5 分，共计 15 分)
12. 命题“ ，”的否定是_____
13. 已知实数 ，满足 ，则 的范围是_____
14. 已知 在区间 上是增函数，则 的取值范围是_____
四、解答题:(本大题共 5 小题, 共计 77 分)
15. (满分 13 分) 已知集合 ，集合 .
(1)求集合 中 的取值范围.
(2)若 是 的充分不必要条件，求 取值范围.
16. (满分 15 分) 函数 是定义在 上的奇函数,且 .
(1)证明 在 上的单调性；
(2)解关于 的不等式 .
17. (满分 15 分) 已知函数 的图象过点 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 的定义域为 ，求 的值域.
18. (满分 17 分) 已知 .
(1)若函数 的图象过点(1，1)，求函数 的解析式；
(2)若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围.
19. (满分 17 分)我们将满足下列条件的函数 称为“ 伴随函数”:存在一个正常数 ，对于任意的 都有 且 .
( 1 )是否存在正常数 ，使得 是“ 伴随函数”？若存在，请求出一个 的值；若不是，请说明理由;
(2)已知 是“ 伴随函数”，且 的最小值为 .
(i) 求 的解析式;
(ii) 若 为方程 在 上的根,求 的值.
参考答案
題号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B B B C D AB BC
题号 11
答案 ABD
12.
13.
14.
15. (1) (2)
(1)因为 ，所以
解得 或
所以 的取值范围是 .
(2)因为 恒成立，所以 或 ， -8 所以 或 ,
又因为 是 的充分不必要条件,所以 , -10
所以 ,解得 , -12
当 或 时， ，所以满足要求，
综上所述， 的取值范围是 -13
16.(1)根据题意，函数 是定义在 上的奇函数，
则 ,
解得 ;
又由 ,则有 ,解得 ;
函数 的定义域为 ,定义域关于原点对称,
所以函数 为奇函数,
所以 ,设 ,
则 .
又由 ,则 ,
则 ,即 ,
则函数 在 上为增函数. -10
(2)由(1)知 为奇函数且在 上为增函数.
,
解得: , -14
即不等式的解集为 . -15
17. (1) (2)
(1)由题意得， ，
即 ，则 ，
所以 .
(2)令 ，因为 ，则 ，
则 ，所以 在 上单调递减， -10
因为 , -12
所以 , -14
即 的值域为 . -15
18. (1) (2) 或
(1) 函数 的图象过点 ,
,解得
此时
(2)
函数 只有一个零点,
只有一解,
将 代入 ，得 ，
关于 的方程 只有一个正根. -10
(1)当 时， -11
(2)当 时:
① 若 有两个相等的实数根，
由 ,解得 ,此时 ,满足题意; -13
②若方程 有两个相异实数根，即一正一负，则两根之和与积为一 ，所以 ， 此时方程有一个正根，满足题意 -16
综上: 或 -17
19.(1)存在正常数 ，使得 是“ 伴随函数”.
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以一个 的值为 ._____ 4
(2)(i) 由 得, ,
所以 是周期为 的函数,且最小正周期为 .
所以
由 得, ,所以 为 的一条对称轴, -10
所以 .
因为 ,所以 ,所以 . -11
(ii) 易知 在 上的图象如图所示,
根据周期性结合图象,可知方程 在 上的根之和为:
当 时, ; -13
当 时, ; -15
当 时, . -17