高考数学二轮复习专题思想方法课件(共77张PPT)

(共77张PPT)
高考命题是以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会与运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．
一　函数与方程思想
函数思想 方程思想
函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得到解决的思想
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
应用1　借助函数关系解决问题
在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．
　 如图1，将一张边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形：△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再将剩下的阴影部分折成一个正四棱锥P-EFGH，使点E与点E1重合，点F与点F1重合，点G与点G1重合，点H与点H1重合，点A，B，C，D重合于点O，如图2.则正四棱锥P-EFGH的体积的最大值为(　　)
√
本题求体积(面积)的最值时，由于函数式较复杂，便采用了换元法进行化简，进而利用导数法求最值，计算简便化，换元时要注意写出新元的取值范围．此题有意识地凸显其函数关系，进而用函数思想或函数方法研究问题、解决问题，由此不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．
应用2　转换函数关系解决问题
在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难解题时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．
√
应用3　构造函数关系解决问题
在数学各分支的形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分挖掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．
　已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－a ln x成立，则a的最小值为___．
e
解答本题的关键点：
(1)对于结构相同(相似)的不等式，通常考虑变形，构造函数．
(2)利用指数式与对数式构造函数y＝ex－x.
应用4　建立方程(组)形式解决问题
分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知量的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方法．
√
此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系，得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率．
应用5　转换方程形式解决问题
把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸显其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方法．
√
本例运用方程的思想，把已知条件通过变形得到关于cos αcos β和sin αsin β的方程来求解，从而获得欲求的三角函数表达式的值．
二　数形结合思想
以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的来解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的来解决数学问题的数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合
应用1　巧借函数图象解决问题
　(1)已知函数y＝2x＋x，y＝ln x＋x，y＝lg x＋x的零点依次为x1，x2，x3，则(　　)
A．x1B．x2C．x2D．x1√
【解析】　由题意可知，2x1＝－x1，ln x2＝－x2，lg x3＝－x3，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝ln x，y＝lg x和y＝－x的图象，如图，由图可知，函数y＝2x，y＝ln x，y＝lg x的图象与y＝－x的图象交点的横坐标依次为x1，x2，x3，且x1(2)(2024·全国甲卷)当x＞0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－(x－1)2＋a有两个交点，则a的取值范围是______________．
【解析】　令x3－3x＝－(x－1)2＋a，
即a＝x3＋x2－5x＋1，
令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x＞0)，
则g′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)，
令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
(－2，1)
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，g(0)＝1，
g(1)＝－2.作出如图示意图．
因为当x＞0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－(x－1)2＋a有两个交点，
所以当x＞0时，直线y＝a与曲线y＝g(x)有两个交点，根据图象可得a的取值范围是(－2，1).
研究函数的零点及方程的根、不等式的求解及参数范围等问题时，常将其转化为函数图象的交点问题，其思维流程为：
√
√
三　分类讨论思想
分类讨论的原则 分类讨论的常见类型
1.不重不漏
2．标准要统一，层次要分明
3．能不分类的要尽量避免，绝不无原则的讨论 1.由数学概念而引起的分类讨论
2．由数学运算要求而引起的分类讨论
3．由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论
4．由图形的不确定性而引起的分类讨论
5．由参数的变化而引起的分类讨论
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别进行研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略
√
【解析】　令g(x)＝f(x－1)，当x－1≤2，即x≤3时，
g(x)＝f(x－1)＝10x-3－103-x，
当x－1>2，即x>3时，
g(x)＝f(x－1)＝|x－4|－1，
解不等式f(x)＋g(x)<0，对x的取值分类讨论：
①当x≤2时，f(x)＝10x-2－102-x≤0，
g(x)＝10x-3－103-x<0，
f(x)＋g(x)＝10x-2－102-x＋10x-3－103-x<0，符合题意；
解决由概念、运算、性质引起的分类讨论问题的步骤
第一步：确定需分类的目标与对象．一般把需要用到公式、定理来解决问题的对象作为分类的目标．
第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．
第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．
第四步：汇总“分目标”．对“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理．
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由参数取值引起的分类讨论问题的解题策略
(1)含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论．
(2)若参数有明确的几何意义时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，有时需要适当地运用数形结合思想，做到分类标准明确、不重不漏．
√
(1)涉及图形位置不同、大小差异不确定时，要进行分类讨论；
(2)破解此类问题的关键：
①确定特征：一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定；
②分类：根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类；
③得结论：将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．
四　转化与化归思想
转化与化归的原则 常见的转化与化归的方法
1.熟悉化原则
2．简单化原则
3．直观化原则
4．正难则反原则 1.直接转化法；2.换元法；3.数形结合法；4.构造法；5.坐标法；6.类比法；7.特殊化法；8.等价问题法；9.加强命题法；10.补集法
转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种措施将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想
√
(2)若“ x∈R，x2－6ax＋3a<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
(1)本题是正与反的转化，可先求出其反面情况，遵循“正难则反”的原则．
(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．
应用2　常量与变量的相互转化
　已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对任意a∈[－1，1]，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为__________．
(1)本题是把关于x的函数转化为区间[－1，1]内关于a的一次函数的问题．
(2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(参数)，将其看成“主元”，而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的．
√
√
(2)已知一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为(　　)
A．－24 B．84
C．72 D．36
【解析】　方法一(直接法)：因为数列是等差数列，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也是等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，即2×(60－48)＝48＋S3n－60，解得S3n＝36.
方法二(特值法)：结论中不含n，故本题结论的正确性与n取值无关，可对n取特殊值，如n＝1，此时a1＝48，a2＝S2－S1＝12，a3＝a1＋2d＝－24，所以前3n项和为36.
(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．
(2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
√
√
(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．
(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因为借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参数变量的范围．