高考数学二轮复习函数与导数专题提升点2函数中的融合创新课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
提升点2　函数中的融合创新
【证明】　设h(x)＝ex－x－1，
当x＞0 时，h′(x)＝ex－1＞0，
所以h(x) 在(0，＋∞) 上单调递增，
故当x＞0 时，h(x)＞h(0)＝0，
所以当x＞0 时，ex＞x＋1.
(2)记数列 {an} 的前 n 项和为 Sn.已知函数g(x)＝3x－1＋ln (f(x))，若 an＋1＝g(an)，a1＝3，an＞1，证明：Sn≤3n＋n－1.
【解析】　函数 g(x)＝3x－1＋ln (f(x))＝2x－1＋ln x，
因为当 x＞0 时， ln (x＋1)＜x，
所以当 x＞1 时， ln x＜x－1，
所以当 an＞1 时， ln an＜an－1，
因此 an＋1＝2an－1＋ln an＜3an－2，
此类问题一般先运用导数得到函数的性质或结论， 再把结论或性质应用到数列求解问题， 体现了由一般到特殊的思想转化．
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解：f′(x)＝－5sin x＋5sin 5x
＝5(sin 5x－sin x)
＝5[sin (3x＋2x)－sin (3x－2x)]
＝5×2cos 3x sin 2x
＝10sin 2x cos 3x.
(2)给定θ∈(0，π)和a∈R，证明：存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cos y≤cos θ；
证明： a∈R， k∈Z，使得a＝2kπ＋a′，其中a′∈[－π，π].
当a′＝0时，[a′－θ，a′＋θ]＝[－θ，θ]，取y＝2kπ＋θ，
则y∈[a－θ，a＋θ]，且cos y＝cos θ.
当a′∈(0，π]时，a′－θ∈(－θ，π－θ]，a′＋θ∈(θ，π＋θ]，
设y1＝min{π，a′＋θ}，则y1∈(θ，π]，
因为g(x)＝cos x在[θ，y1]上单调递减，
所以cos y1＜cos θ，取y＝2kπ＋y1，
则y∈[a－θ，a＋θ]，且 cos y＝cos y1＜cos θ.
当a′∈[－π，0)时，a′－θ∈[－π－θ，－θ)，a′＋θ∈[－π＋θ，θ)，
记y2＝max{－π，a′－θ}，则y2∈[－π，－θ)，
因为g(x)＝cos x在[y2，－θ]上单调递增，
所以cos y2＜cos (－θ)＝cos θ，
取y＝2kπ＋y2，则y∈[a－θ，a＋θ]，
且cos y＝cos y2＜cos θ.
综上，存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cos y≤cos θ.
(3)设b∈R，若存在φ∈R使得5cos x－cos (5x＋φ)≤b对x∈R恒成立，求b的最小值．
解：当φ＝0时，y＝5cos x－cos 5x，
记f(x)＝5cos x－cos 5x，
因为y＝f(x)是以2π为周期的偶函数，
所以只需考虑x∈[0，π]时即可．
由(1)知f′(x)＝10sin 2x cos 3x＝20(4cos2x－3)·cos2x·sinx，
本题是函数与三角函数融合交汇问题， 考查了利用导函数得到函数单调性， 由函数单调性解决不等式恒成立问题．但三角函数求导后， 还是三角函数， 且三角函数具有周期性与有界性， 所以处理这类问题时， 一般需要对参数进行分类讨论．
(1)求函数f(x)的解析式；
类型3　函数新概念
　(2025·河南模拟) 若函数 F(x) 在开区间 I 内满足： xi∈I(i＝1，2，…，n)(n≥2，n∈N*)，曲线y＝F(x)在 x＝xi 处的切线的斜率均为 m(m∈R)，则称 F(x) 为 I 内的“n－m缘分函数”．
(1)判断 f(x)＝ln x－x2＋2x 是否为 (0，＋∞) 内的 “ 2－3缘分函数”，并说明理由；
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