七年级数学下册苏科版8.4《乘法公式》---平方差公式与完全平方公式 同步练习（含答案）

8.4《乘法公式》---平方差公式与完全平方公式
一、单选题
1．已知，，则计算的结果为（ ）．
A． B．1 C．5 D．6
2．下列等式中，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
5．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
6．计算： ．
7．计算
8．计算所得结果个位数字是 ．
9．有两类正方形，其边长分别为．现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为2和10，则正方形的面积之和为 ．
10．如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ．
三、解答题
11．计算：
(1) (2)
12．用简便方法进行计算：
(1)． (2)． (3)．
13．（25-26七年级下·全国·周测）已知，，求：
(1)的值． (2)的值． (3)的值．
14．观察下列等式：
①；②；③；④．
(1)根据上面四个算式的规律写出第⑤个算式；
(2)若设两个连续的奇数分别为和（n为正整数），猜想第n个等式，并证明．
15．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）
A． B．
C． D．
(2)若，，求的值；
(3)计算：．
16.有一系列等式：
；
；
；
；
……
(1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到： ；
(2)试猜想： ；
(3)试说明（2）中猜想的正确性．
17．我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于图1，我们用不同方式表示图形的面积，就可得到一个数学公式：
(1)探索发现：如图2，几个面积不等的小正方形与小长方形拼成了一个边长为的正方形．你能发现什么？请用等式表示出来：________．
(2)解决问题：已知，．求的值．
(3)迁移应用：若m，n满足，，求m的值．
18．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值．
原式：．
可知当时有最小值是．
请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题：
(1)当______时代数式有最小值是______；
(2)当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
(3)在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值．
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵，且，，
∴，
故选：D．
2．D
解：或．
故选：D．
3．C
解：∵，
∴该变形直接应用平方差公式，与选项C一致．
故选：C．
4．C
解：设，，
则，，
∴
．
故选：C．
5．B
解：根据图可将阴影部分面积看成两个正方形的面积差，即，
根据图可将阴影部分面积看成一个长为，宽为的长方形面积，即．
∵两个图形中阴影部分的面积相等，
．
故选：B．
二、填空题
6．
解：
．
7．
解：原式
，
故答案为：．
8．0
解：
；
的个位数为3，的个位数为1；
的个位数为9，的个位数为4；
的个位数为7，的个位数为3；
的个位数为1，的个位数为0；
的个位数为3，的个位数为1；
∵，
所得结果个位数字是0．
故答案为0．
9．12
解：由图1得：，即，
由图2得：，整理得，
∴，
∴．
即正方形A、B的面积之和为12．
故答案为：12．
10．
解：∵正方形的边长为，
∴
∵六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成，
∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为．中间小正方形的边长为，面积为 ．
∵正方形与六边形面积相等：
∴
∴．
故答案为：．
三、解答题
11．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
13．（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
14．（1）解：∵①；②；③；④，…，
∴第⑤个算式为：；
（2）解：由（1）知，第n个等式可表示为：，
证明：
所以此等式成立．
15．（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，
∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
则验证的等式是，
故答案为：B；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
．
16．（1）解：；
；
；
；
……，
以此类推可知，
∴；
（2）解：由（1）可得；
（3）证明：
．
17．（1）解：；
（2）解：，，
；
（3）解：设，，，
，
，
，
由（1）知：，
即：，
．
18．（1）解：，
，
，
即当时代数式有最小值是，
故答案为：3；5；
（2）解：
，
，
，
当时，多项式有最小值是21；
（3）解：由题意可知，，，，
在长方形中，，，
，，，
，，
，
，
，
，
当时，S有最小值，最小值是4．