第二章 平面向量
平面向量的数量积 同步练习题
（考试时间为60分钟，试卷满分60分）
选择题（本题共12小题；每小题3分，共36分）
1.(2016·北师大附中模拟)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．x＝－
B．x＝－1
C．x＝5
D．x＝0
【答案】:D
【解析】:选D 由向量垂直的充要条件，得2(x－1)＋2＝0.所以x＝0.
2.(2016·河南洛阳模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．－
B．－
C.
D.
【答案】:A
【解析】：选A b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c＝(3,4)，又(b＋λa)⊥c，∴(b＋λa)·c＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－.【出处：21教育名师】
3.(2015·济南二模)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝( )
A．－3 B．－2
C．1 D．－1
【答案】:A
【解析】：选A 因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.
4.已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为( )
A. B.
C. D.
【答案】:C
【解析】:∵|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，∴cos〈a，b〉＝＝＝.∴向量a与b夹角的大小为.故选C.
5.已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2
C．8 D．8
【答案】:D
【解析】：选D.易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝ ＝8.2·1·c·n·j·y
6.已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )2-1-c-n-j-y
A. B．－
C. D．－
【答案】:C
【解析】：∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16,又|a|＝5，|b|＝13，∴cos〈a，b〉＝＝.
7.已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A. B.
C．5 D．25
【答案】:C
【解析】：∵|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，∴|b|＝5，故选C.21·cn·jy·com
8.(2016·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为( )【版权所有：21教育】
A.
B.
C.
D.
【答案】:B
【解析】：选B a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.
9.(2016·安徽安庆市第二次模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
【答案】:D
【解析】:设c＝(x，y)，由(c＋a)∥b有－3(x＋1)－2(y＋2)＝0，①
由c⊥(a＋b)有3x－y＝0，②联立①②有x＝－，y＝－，则c＝(－，－)，
故选D.
10.已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，a的取值范围是( )21cnjy.com
A．(0,1)
B.
C.∪(1，)
D．(1，)
【答案】:C
【解析】:已知＝(1,1)，即A(1,1)如图所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，即∠AOB1＝∠AOB2＝，此时，∠B1Ox＝－＝，∠B2Ox＝＋＝，故B1，B2(1，)，又a与b的夹角不为零，故a≠1，由图易知a的取值范围是∪(1，)，故选C.21教育名师原创作品
11.(2016·山东三中学联考)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
【答案】:C
【解析】：选C.·＝(1，2)·(－4，2)＝0，故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝·||·||＝××2＝5.
12.(2015·昆明三中，玉溪一中高三统考)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角是( )21世纪教育网版权所有
A.
B.
C.
D.
【答案】:B
【解析】：因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即a2＝a·b＝|a|2＝2，所以cos?a，b?＝＝＝，所以向量a与b的夹角为.
二、填空题（本题共4小题，每题3分，共12分）
13.(2016·河北邢台摸底考试)已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，则a与b夹角θ的范围是________．www.21-cn-jy.com
【答案】：
【解析】：(a＋2b)(2a－b)＝2a2－a·b＋4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos〈a，b〉－2×16 21*cnjy*com
＝－14－3×3×4cos〈a，b〉≥4，
∴cos〈a，b〉≤－，
∴θ＝〈a，b〉∈.
14.设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3，3)，2b－a＝(－1，－1)，则cos θ＝________．21*cnjy*com
【答案】：1
【解析】:b＝a＋(－1，－1)＝(1，1)，则a·b＝6.又|a|＝3，|b|＝，∴cos θ＝＝＝1.21教育网
15.(2015·浙江嘉兴模拟)若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.
【答案】：(－4,8)
【解析】：由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b＝－4a＝(－4,8)．
16.(2015·南昌市调研)已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A，B，O是坐标原点，|＋|≥||，那么实数m的取值范围是________．
【答案】:－2＜m≤－或≤m＜2
【解析】：圆心O到直线x＋y＋m＝0的距离d＝.由|＋|≥|AB|得，|＋|≥|－|，所以||2＋||2＋2·≥||2＋||2－2·，
所以·≥0，所以0＜∠AOB≤，≤cos∠AOB＜1，又＝cos∠AOB，
所以2×≤|m|＜2，解得－2＜m≤－或≤m＜2.
三、解答题（本题共2小题，每题6分，共12分，请写出必要的解题步骤）
17.(2016·四川省统考)已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C.
(1)设·＝·，求证△ABC是等腰三角形；
(2)设向量s＝(2sin C，－)，t＝，且s∥t，若sin A＝，求sin的值．
【答案】： (1)△ABC为等腰三角形 (2)
【解析】：证明 因为·＝·，所以·(－)＝0，又＋＋＝0，所以＝－(＋)，所以－(＋)·(－)＝0，所以2－2＝0，21·世纪*教育网
所以||2＝||2，即||＝||，故△ABC为等腰三角形．
(2)解 ∵s∥t，∴2sin C＝－cos 2C，∴sin 2C＝－cos 2C，
即tan 2C＝－，∵C为锐角，∴2C∈(0，π)，∴2C＝，∴C＝，
∴A＝－B，∴sin＝sin＝sin，
又sin A＝，且A为锐角，∴cos A＝，
∴sin ＝sin＝sin Acos －cos Asin ＝
18.已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，－1)，m＝a＋3b，n＝a－kb.
(1)若m∥n，求k的值；
(2)当k＝2时，求m与n夹角的余弦值．
【答案】：(1)k＝－3 (2)
【解析】：(1)由题意，得m＝(1，－2)，n＝(－2－k,1＋k)．因为m∥n，所以1×(1＋k)＝－2×(－2－k)，解得k＝－3.www-2-1-cnjy-com
(2)当k＝2时，n＝(－4,3)．
设m与n的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.所以m与n夹角的余弦值为.
第二章 平面向量
平面向量的数量积 同步练习题
（考试时间为60分钟，试卷满分60分）
选择题（本题共12小题；每小题3分，共36分）
1.(2016·北师大附中模拟)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( )21世纪教育网版权所有
A．x＝－
B．x＝－1
C．x＝5
D．x＝0
2.(2016·河南洛阳模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为( )21·cn·jy·com
A．－
B．－
C.
D.
3.(2015·济南二模)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝( )www.21-cn-jy.com
A．－3 B．－2
C．1 D．－1
4.已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为( )
A. B.
C. D.
5.已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2
C．8 D．8
6.已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )21教育网
A. B．－
C. D．－
7.已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A. B.
C．5 D．25
8.(2016·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为( )2·1·c·n·j·y
A.
B.
C.
D.
9.(2016·安徽安庆市第二次模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B.
C. D.
10.已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，a的取值范围是( )www-2-1-cnjy-com
A．(0,1)
B.
C.∪(1，)
D．(1，)
11.(2016·山东三中学联考)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )21·世纪*教育网
A. B．2
C．5 D．10
12.(2015·昆明三中，玉溪一中高三统考)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角是( )2-1-c-n-j-y
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本题共4小题，每题3分，共12分）
13.(2016·河北邢台摸底考试)已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，则a与b夹角θ的范围是________．21cnjy.com
14.设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3，3)，2b－a＝(－1，－1)，则cos θ＝________． 21*cnjy*com
15.(2015·浙江嘉兴模拟)若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.【来源：21cnj*y.co*m】
16.(2015·南昌市调研)已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A，B，O是坐标原点，|＋|≥||，那么实数m的取值范围是________．
三、解答题（本题共2小题，每题6分，共12分，请写出必要的解题步骤）
17.(2016·四川省统考)已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C.
(1)设·＝·，求证△ABC是等腰三角形；
(2)设向量s＝(2sin C，－)，t＝，且s∥t，若sin A＝，求sin的值．
18.已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，－1)，m＝a＋3b，n＝a－kb.
(1)若m∥n，求k的值；
(2)当k＝2时，求m与n夹角的余弦值．
