第二章 平面向量
平面向量应用举例 同步练习题
（考试时间为60分钟，试卷满分60分）
选择题（本题共12小题；每小题3分，共36分）
1.(2016·石家庄调研)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.－1
B．1
C.＋1
D.
【答案】:A
【解析】:选A ∵a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|，
所以|a＋b|＝，
又∵(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉，
∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c＝3－2cos〈(a＋b)，c〉，2-1-c-n-j-y
所以当cos〈(a＋b)，c〉＝1时，
|a＋b－c|＝3－2＝(－1)2，
所以|a＋b－c|的最小值为－1.
2.(2016·青岛一模)已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是( )21·cn·jy·com
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】:D
【解析】：＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.21教育名师原创作品
3.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为0°时，合力大小为N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )21*cnjy*com
A．40 N B．N
C．N D．N
【答案】:B
【解析】：本题可以从物理上运用正交分解法求解，其原理就是矢量的运算。
4.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
【答案】:D
【解析】:∵·＝·，∴(－)·＝0.∴·＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为垂心．
5.已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( )
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
【答案】:B
【解析】：由已知可得F＝(8,0)，设终点坐标为(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8,0)，∴∴∴终点坐标为(9,1)．【来源：21cnj*y.co*m】
6.已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
【答案】:B
【解析】：设l1、l2的方向向量为v1，v2，则v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)，
∴|cos〈v1，v2〉|＝＝＝.∴l1与l2的夹角为45°.
7.(2016·郑州检测)设O为△ABC内部的一点，且＋2＋3＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( )21教育网
A． B．
C．2 D．3
【答案】:C
【解析】：设AC的中点为D，BC的中点为E，则(＋)＋(2＋2)＝2＋4＝0，∴＝－2，即O，D，E三点共线．∴S△OCD＝2S△OCE，∴S△AOC＝2S△BOC． 21*cnjy*com
8.已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于( )
A．2 B.
C．－3 D．－
【答案】:A
【解析】：如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，∴＝3，∴＝－3.
9.已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝PB·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
【答案】:C
【解析】:如图，∵＋＋＝0，∴＋＝－.依向量加法的平行四边形法则，知|N|＝2||，故点N为△ABC的重心．∵·＝·，∴(－)·＝·＝0.同理·＝0，·＝0，∴点P为△ABC的垂心．
10.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )21·世纪*教育网
A．40 N
B．10 N
C．20N
D．10 N
【答案】:B
【解析】:|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10，当θ＝ 120°，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N．【版权所有：21教育】
11.(2016·浙江嘉兴模拟)共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg2 B．lg5
C．1 D．2
【答案】:D
【解析】：∵F1＋F2＝(1,2lg2)，∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.www.21-cn-jy.com
12.(2016·长沙模拟)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，且(a＋b)2＝(a－b)2，则平行四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．以上都不对
【答案】:B
【解析】：由(a＋b)2＝(a－b)2？|a＋b|＝|a－b|.对角线||＝||.
填空题（本题共4小题，每题3分，共12分）
13.飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度是__________km/h．21cnjy.com
【答案】：
【解析】：由速度的分解可知水平方向的分速度为300×cos 30°＝km/h．
14.已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5.则·＋·＋·＝________________.21世纪教育网版权所有
【答案】：-25
【解析】:△ABC中，B＝90°，cos A＝，cos C＝，∴·＝0，·＝4×5×＝－16，·＝5×3×＝－9.∴·＋·＋·＝－25.
15.(2016·河南洛阳模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是________三角形．【出处：21教育名师】
【答案】：直角
【解析】：由已知得·＝0，即⊥，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．
16.(2016·攸县一中模拟)若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
【答案】:－
【解析】：·＝(－)·(－)＝(－)·(－)
＝·－()2－()2＝－.
三、解答题（本题共2小题，每题6分，共12分，请写出必要的解题步骤）
17.(2016·河南三市调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c) ·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．
【答案】：（1）（2）
【解析】：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以| |＝，
即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，www-2-1-cnjy-com
即ac≤3(2＋)，
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
即△ABC的面积的最大值为.
18.已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．2·1·c·n·j·y
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
【答案】：(1)－99 J和－3 J (2)－102 J
【解析】：(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102 J.
第二章 平面向量
平面向量应用举例 同步练习题
（考试时间为60分钟，试卷满分60分）
选择题（本题共12小题；每小题3分，共36分）
1.(2016·石家庄调研)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为( )21世纪教育网版权所有
A.－1
B．1
C.＋1
D.
2.(2016·青岛一模)已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是( )2·1·c·n·j·y
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
3.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为0°时，合力大小为N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )2-1-c-n-j-y
A．40 N B．N
C．N D．N
4.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
5.已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( ) 21*cnjy*com
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
6.已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是( )21教育网
A．30° B．45°
C．135° D．150°
7.(2016·郑州检测)设O为△ABC内部的一点，且＋2＋3＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( )【出处：21教育名师】
A． B．
C．2 D．3
8.已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于( )21cnjy.com
A．2 B.
C．－3 D．－
9.已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝PB·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
10.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )www.21-cn-jy.com
A．40 N
B．10 N
C．20N
D．10 N
11.(2016·浙江嘉兴模拟)共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg2 B．lg5
C．1 D．2
12.(2016·长沙模拟)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，且(a＋b)2＝(a－b)2，则平行四边形ABCD是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．以上都不对
填空题（本题共4小题，每题3分，共12分）
13.飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度是__________km/h．21·世纪*教育网
14.已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5.则·＋·＋·＝________________.www-2-1-cnjy-com
15.(2016·河南洛阳模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是________三角形．【版权所有：21教育】
16.(2016·攸县一中模拟)若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.21教育名师原创作品
三、解答题（本题共2小题，每题6分，共12分，请写出必要的解题步骤）
17.(2016·河南三市调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c) ·＝c·.21*cnjy*com
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．
18.已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．21·cn·jy·com
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
