四川绵阳南山中学2025-2026学年下学期高三开学考数学试卷（含解析）

数学试题
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2. 答选择题时,必须使用 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号.
3. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上.
4. 所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效.
5. 考试结束后, 只将答题卡交回.
第 1 卷 (选择题)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知命题 ; 命题 ,则( )
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
3. 在空间中, 下列命题正确的是 ( )
A. 垂直于同一直线的两条直线平行
B. 平行于同一直线的两个平面平行
C. 若一个平面经过另一个平面的一条垂线, 则这两个平面互相垂直
D. 若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等, 则这两个平面平行
4. 若 且 ,则 “ ” 是 “ 为等差数列” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 已知二项式 的展开式中所有项的系数和为 32,若 , 且 ，则 等于( )
A. -1 B. C. 2 D. 3
6. 已知三个平面向量 两两的夹角相等,且满足 ,则向量 在向量 上的投影向量是( )
A. B. C. 或 D. 或
7. 若 恒成立，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,不等式 在 中的整数解有 个. 关于 的个数,以下不可能的是( )
A. 1014 B. 1013 C. 507 D. 0
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设函数 的导函数为 ,则( )
A.
B. 有且仅有两个极值点
C. 有且仅有两个零点
D. 若 在 上有最大值,则
10. 设 分别为随机事件 的对立事件,以下概率均不为零,则下列结论正确的有 ( )
A. B. 若 ,则
C. D.
11. 在平面直角坐标系 中,已知曲线 ,则( )
A. 曲线 是某个函数的图象
B. 过点 可作两条直线与曲线 相切
. 过曲线 上一点 作 与 的垂线,垂足分别为 ,则四边形 面积的最大值为
. 曲线 上存在两个不同的点 ,使得线段 被点 平分
第 II 卷 (非选择题)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 是虚数单位,复数 ,则 _____.
13. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,它们的终边关于 轴对称, 若 ,则 的最大值为_____.
14. 已知直线 与圆 相切于点 是圆 上一动点,点 满足 ,且以 为圆心, 为半径的圆恰与 相切,则当 取最小值时,点 的坐标可以为_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中，角 的对边分别为 . 已知 .
(1)求 的值；
(2)若 是 边的中点,求 的值.
16. (本小题满分 15 分)
在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评. 某款人形机器人在排练时, 导演对机器人下达了 7 个动作指令, 机器人成功完成了其中 5 个. 现从这 7 个指令中随机抽取 4 个进行回放分析,以 表示抽取的指令中成功完成的个数.
(1)求 的分布列和数学期望；
(2)若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为 0.9 ；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为 0.5 . 设下达的动作指令表述模糊的概率为 ,若该机器人成功完成指令的概率为 0.8 ,求 的值;
(3)在排练过程中，记录了机器人完成某个特定动作的练习次数与所需时间(秒)的数据， 如下表:
练习次数 2 4 5 6 8
完成时间 8 7 6 5 4
且 关于 的线性回归方程为 ,预测当练习次数为 10 时,完成时间约为多少秒.
17. (本小题满分 15 分)
在平面直角坐标系 中,已知曲线 ,点 在曲线 上,直线 .
(1)判断曲线 与直线 的位置关系,并证明;
(2)当 时,直线 与直线 分别交于 两点. 设 与 的面积分别为 ，比较 与 的大小.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 ( 是自然对数的底数).
(1) 当 时,求函数 的单调区间及曲线 在 处的切线方程;
(2) 当 时:
(i) 证明: 在 上有两个极值点;
(ii) 设极小值点是 ,证明: .
19. (本小题满分 17 分)
在如图所示的圆柱中, 分别是下底面圆 、上底面圆 的直径, 是圆柱的母线, . 过直线 且与平面 垂直的平面记为 ,平面 与该圆柱侧面的交线记为 (可以证明交线 是椭圆).
(1)求点 到平面 的距离；
(2)如图，设 为底面弧 上的动点，求平面 与平面 所成角的余弦值的最大值；
(3)将圆柱沿母线 剪开，并展开为如图所示的平面图形，在平面展开图中，以 为原点， 以 , 的方向分别为 轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系,求 的平面展开曲线的方程.
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C B C D D A ABD ABC AD
1. D. ，所以 ，故选 .
2. . 当 时 不成立,所以命题 是假命题,显然命题 是真命题,故选 .
3. C. (成都一诊第 6 题) 对于 : 空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行、相交或异面,错; 对于 : 空间中平行于同一直线的两个平面,可能平行或相交,错; 对于 : 若一个平面经过另一个平面的一条垂线,根据面面垂直的判定定理知这两个平面互相垂直,对; 对于 : 在长方体 中, 三点到平面 的距离都相等,但平面 与平面 并不平行,错. 故选 .
4. B. 由等差数列的性质知必要性成立,数列:1,5,3,7满足 ,但不是等差数列,故选 ,
5. C. 令 ,得 ,解得 ,所以 且 ,则 ,故选 .
6. D. (必修第二册 第13 (6)题改编) 当三个平面向量 两两夹角都为 0 时，显然 在 上的投影向量是 .
当三个平面向量 两两夹角都为 时，因 ，所以 ，
则 在 上的投影向量为 . 故选 .
7. D. 令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,注意到 ,因此 在 内, ,在 内, ,因为 恒成立,因此 .
令 ,则 在 内, ,在 内, ,
所以 在 处取得零点,即 ,得 .
又因为 ,那么由 ,得 .
对于 因为 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 : 因为 ,则 在 , 0) 单调递减，所以 . 故 正确， 错误. 故选 .
8. A. 因为 ,所以 ,
因为函数 的周期为 4,先考虑一条直线 与函数的整点交点.
注意到在一个周期 内,可能存在的整点有1,3,4,可得 ,以下分情况讨论:
① 当 时， ， ，有 506 个整点；
②当 时， ， ，有 506 个整点；
③ 当 时， ， ，有 507 个整点；
再考虑直线 与 所包围的区域(不含边界)，注意到区间 的长度为 2 .
当 时,则可能 ,就有 个整点;
也可能 ,就有 个整点; 故 可能;
当 时, ,就有 506 个整点,当 时, ,就有 507 个整点,
故 可能;
而当 或 时, 中没有元素 ,就有 0 个整点,故 可能. 故选 .
9. ABD. 对于 : 由 ,求导得 ,
令 ,得 ,故 正确;
对于 : 由 知 ,则 . 所以,当 , 和 时, ,则 单调递增,当 时, ,则 单调递减,所以 有且仅有两个极值点 和 ,故 正确;
对于 ,或 ,
由 ,因此 有且仅有三个零点,故 错误;
对于 ,令 ,得 或 ，所以 在 上有最大值，则 ，故 正确. 故选 .
10. . (选择性必修第三册 第 题改编) 对于 ,
由全概率公式得, ,故 正确;
对于 ,所以 相互独立,
那么 ,故 正确;
对于 ,故 正确;
对于 表示在 发生的条件下 发生的概率, 表示在 发生的条件下 发生的概率，两者之和不一定为 1，例如:设 为“掷骰子点数为偶数”， 为“掷骰子点数为奇数”， 为“掷骰子点数大于 2 ”,则 ,和为 错误. 故选 .
11. AD. ,如图可知曲线 是一函数的图象. 过
点 没有与曲线 相切的直线.
当点 在一、三象限时,点 到 与 的距离之积为 , 则四边形 面积为 2 . 当点 在四象限时,令 . 综上,四边形 面积 的距离之积为 . 综上,四边形 面积的最大值为 2 .
存在过 的直线 与 在一象限交于 两点,使得线段 被点 平分.
故选 .
二、填空题
12. 13.1 14. 或
12. . 因为 .
13. 1. 由单位圆可知,当 与角 的终边关于 轴对称时, ,
因为 ,所以 ,令 ,那么 .
所以 ,
那么 在 上单调递减,所以 的最大值为 1 .
14. 或 .
设 ,则 ,直线 与圆 相切于点 ,则 ,
以 为圆心, 为半径的圆恰与 相切,则可得 ,
化简可得 ,且 .
再设 ,则 ,
则 ，
由于对勾函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 所以当 时, 有最大值 -2,则 取得最小值,此时 或 . 故答案为 或 .
三、解答题
15. (1) 已知 ，由正弦定理 ，
得 ，显然 ，
得 ，由 ，得 ，所以 ，
因为 ,由余弦定理 ,
则 ，解得 ，故 .
(2)因为 ,
所以 .
16. (1) 由题意知随机变量 服从超几何分布,其中 ,且 的所有可能取值为 2,3,4, ,故 的分布列为:
2 3 4
2 4 7 1
解法一 所以 的数学期望 .
解法二 根据超几何分布的期望公式知 .
(2)(一轮《创新设计》大本 P271 例 2 改编)记“下达的动作指令表述清晰”为事件 ，记“下达的动作指令表述模糊”为事件 ，记“机器人成功完成指令”为事件 .
由已知得, .
因为 ,
所以 .
(3) .
因为 经过点 ,所以 ,回归方程为 .
当 时, ,故预测当练习次数为 10 时,完成时间约为 2.5 秒.
17. (1) 由 .
因为 ,于是 .
所以 ,于是直线 与曲线 相切.
(2)解法一 设 .
易知,当 时,由对称性可知, .
当 时,不访设 ,易知 .
联立 ，解得 ， ，
联立 ，解得 ， .
所以 .
故 .
综上: .
解法二 不妨设 .
易知,当 时,由对称性可知, .
当 时,不访设 .
联立 ，解得 ，
联立 ，解得 ， .
若 ,则 ,
，所以 .
,所以 .
同理,当 时, .
当 时,则 , 又 ，所以 ，
所以 则 ，即 ，所以 . 综上: .
18.(1)当 时，可得 .
当 时 ; 当 时 ,所以 恒成立,于是 在 上单调递增.
因 ,曲线 在 处的切线方程为 .
(2) (i) .
令 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 因为 ,
当 时, ,所以存在 使得 . 于是 在 上单调递减，在 上单调递增.
又因为 ,所以 在 内存在唯一零点,即 在 内有唯一极值点且为极小值点.
又因为 ,当 时, ,于是 在 内存在唯一零点,即 在 ( 内有唯一极值点且为极大值点.
综上: 在 上有两个极值点 ,且 .
(ii) 由上知, ,所以 .
19. (一轮《创新设计》大本P197典例改编) (1) 过 作 垂直于 ,垂足为 ,由平面 , 知 ,则 为点 到平面 的距离. 在 中, ,所以 . 所以，点 到平面 的距离 .
(2)以 为原点， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 ,令 ,于是 .
，令平面 的法向量 ，
由 .
由 (1) 知 ,可得 ,于是可令平面 的法向量 .
令平面 与平面 所成角为 ,则 .
因为 ,所以 (当 时取等).
所以,当 为弧 的中点时,平面 与平面 所成角的余弦值取到最大值 .
(3)将圆柱沿母线 剪开并展开成平面图形，以 为原点， 方向 (水平向右) 为 轴正方向， 方向 (从 指向 ，即竖直向上)为 轴正方向，建立平面直角坐标系. 令曲线上一点 ，由对称性不妨令 . 令 ,则 . 圆柱底面半径 ,故底面圆周长为 ,展开后 轴对应弧长,范围取 ,使得 对应 ,剪开线 对应 .
如图，过 作 的垂线，垂足为 ，则 .
由题知截面 为椭圆，其方程为 ，点 ，解得 ，
于是 .
由 得 .
所以 ,将 代入得 .
由对称性知,曲线 的展开曲线方程为 .