2026届湖南省长沙市高考数学模拟自编卷（人教版）（含部分答案）

2026届湖南省长沙市高考数学模拟自编卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为等差数列，，，则（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
3．黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（ ）
A．81 B．72 C．36 D．12
4．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．某校教学楼的某层楼设置有8级台阶，某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶，则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有（ ）
A．32 B．33 C．34 D．35
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
8．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的图象关于点中心对称．则（ ）
A．的最小正周期为
B．直线是曲线的对称轴
C．将的图象向右平移个单位可得到函数的图象
D．在区间上单调递增
10．我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗，它们均可抽象为正八边形ABCDEFGH，如图3，O为其中心．记，，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
11．已知函数满足，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的解集为 D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答）
13．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，其准线与轴的交点为，若，且的面积为，则p的值为________．
14．已知数列满足，则的前n项和的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且.
(1)试判断的形状；
(2)若，求周长的最大值.
16．已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
17．如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
18．某人工智能实验室测试一款新型深度强化学习智能体，每次测试中，智能体会随机接受类或类任务，每次测试相互独立.已知每类任务出现的概率均为，且智能体成功完成类任务的概率为类任务的概率为.记成功完成类任务得1分，类任务得2分，不成功均得0分.
(1)求智能体经过1次测试后得2分的概率；
(2)记智能体经过次测试后的总得分为.
（i）若，求在的条件下，第1次测试得1分的概率；
（ii）求.
附：若为随机变量，则.
19．已知抛物线：焦点为，直线与抛物线有且只有一个交点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设抛物线的准线与轴交于点，过点作直线与抛物线交于两点.
（i）若的面积为4，求直线的方程；
（ii）设内切圆的半径为，求的最大值.
试卷第1页，共3页
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2026届湖南省长沙市高考数学模拟自编卷（解析版）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A A C A B AC ACD
题号 11
答案 ACD
12．
13．
14．/
15．(1)钝角三角形
(2)
16．(1)；
(2)答案见解析.
17．(1)证明过程见解析；
(2)
18．(1)
(2)（i）（ii）
19．(1)
(2)（i）或；（ii）
答案第1页，共2页
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