浙江省名校协作2025-2026学年下学期高三3月联考数学试卷（含答案）

高三数学练习
考生须知:
1. 本卷满分 150 分, 练习时间 120 分钟;
2. 答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试卷上无效;
4. 练习结束后, 只需上交答题卷。
选择题部分 (共 58 分)
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知 ，其中 为虚数单位，则
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
2. 已知 ,则
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
3. 体积为 的球的表面积为( )
A. B. C. D.
4. 已知向量 ，若 ，则
A. -2 B. 2 C. -6 D. 6
5. 已知双曲线 的左焦点为 为虚轴端点,直线 与渐近线 交于点 若 ,则该双曲线的离心率是( )
A. B. 2
C. D. 3
6. 已知函数 在区间 上单调递增,则 取值范围为( )
A. B.
C. D.
7. 已知数列 满足 ，且 ，则( )
A. B. C. D.
8. 若曲线族(具有某种共同性质的所有曲线的集合)满足条件:存在直线l，使得曲线族中存在无数个点在该直线上, 称该曲线族是 “完美的”, 下列曲线族是 “完美的” 是 ( )
A. B.
C. D.
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了 100 只，得到如下数据(单位:只):
发病 未发病 合计
使用药物 5 45 50
未使用药物 25 25 50
合计 30 70 100
从该动物种群中任取 1 只，记事件 表示此动物发病，事件 表示此动物使用药物，定义 的权值 ，在 发生的条件下 的权值 ，则( )
A. 的估值为 的估值为 B. 的估值为 的估值为
C. 可化为 D. 可化为
10. 在正三棱柱 中, ,点 满足 , ，则( )
A. 当 时， B. 当 时， 与 异面
C. 若 面 ,则 D. 若点 在平面 内，则
11. 已知集合 ，其中 ，且 ， 定义 的和集 ，则( )
A. 若 是等差数列，则 的元素个数为2n-1
B. 若 是等比数列，则 的元素个数为
C. 若 的元素个数为 ，则 是等差数列
D. 若 的元素个数为 ，则 是等比数列
非选择题部分(共 92 分)
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 把答案填在题中的横线上.
12. 曲线 在点 处的切线方程为_____▲_____.
13. 已知 ，则 的值为_____▲_____.
14. 某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题 3 道、几何题 2 道、概率统计题 2 道, 且同板块试题难度互不相同. 现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案有_____▲_____种(用数字作答).
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知公差不为零的等差数列 的前 5 项和为 35,且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求证: .
16. 已知锐角 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求A:
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，求b.
①ΔABC面积为3 ；
②BC边上的的中线长为3；
③b, a, c成等差数列.
17. 如图，在三棱锥P-ABC中，D是棱AB的中点，PA=Q, PC=2, 是边长为2的正三角形，平面 .
(1)证明: ；
(2)点E满足 ，且 平面 ，
(i) 求入的值;
(ii) 求直线CE与平面PAE所成角的正弦值.
18. 已知椭圆 ,动点 在抛物线 上,过点 作椭圆的两条切线分别交抛物线于不同的两点 .
(1)求椭圆C的焦距；
(2)若切线 与椭圆的切点恰好是 的中点,求直线 的方程；
(3)证明:直线AB经过定点，并写出定点坐标.
19. 已知 是实数，函数 ，其中 是自然对数的底数.
(1)当 时，讨论 的单调区间；
(2)若对任意的 ， 均有极小值点 ，且 ，求实数 的取值范围；
(3)若方程 有两个根 ，当 取最小值时，求 的值.
高三数学练习参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A C C B A D C
二、多选题
9 10 11
AC ACD ABC
三、填空题
12. 13. 14.38
四、解答题
15. ( 1 )设数列 的通项公式为 ，
由 ,故 ; 2 分
又 成等比数列,故 ,解得 , 4 分
因为 ,故 代入 可得 ,故 7 分
(2) , 9 分
故 11 分
13 分
16. 解: (1) 由 , 2 分
由于 是锐角三角形,故 , 4 分
由正弦定理 ，故 . 7 分
(2)由余弦定理 ，得到 . 9 分选择① 面积为 :
12 分
又由于 ,得 . 15 分
选择② 的中线 长为 3 :
12 分
又由于 ,得 . 15 分
选择③ 成等差数列:
,又由于 ,得 . 15 分
17. ( 1 ) 在正三角形 中， 是棱 的中点，
平面 平面 面 , 3 分
又 6 分
(2)(i)法 1.综合法
共面,
延长 交于点 ,连接 平面 ,面 面 ,
为 中点,
,即 . 10 分
法 2.坐标法
由(1)可知 面 ，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ,
设面 的法向量为 ,得
平面 . 10 分
(ii) 由 (i) 可得平面 的法向量 ,又 , 设直线 与平面 所成角为 ,则
15分
18. 解: (1) 由题意, , 3 分
焦距 4 分
(2)设直线 ，切点为
由 得 得 分
则
又由 得 , .8 分
或 ,
直线 的方程为 或 10 分
(3)
直线 的方程为
通分化简得 12 分
将直线 方程与椭圆联立,得
,由相切得判别式
化简整理得 14 分
同理
因此 是关于 的方程 的两根
故由韦达定理知
而与(2)同理得直线 的方程为 ，
故 即直线 经过定点 ,证毕. 17 分
19. (1) 2 分
当 时, ,故 单调递增;
当 时,令 ,解得 ,
故 在 单调递减,在 单调递增. 4 分
(2)当 时，
当 时, ,故 单调递减,故 不可能有极小值点; 5 分当 时, 在 单调递减,在 单调递增.
因此 均有极小值点 ,且 , 7 分
令 ,故对任意的 .
,故 在 上单调递增,在 单调递减, ,且 时, ;
时, 的图像如右图,
故 恒成立,故 . 10 分
(3)方程 有两个根 ，
由(2)可知 ，否则 单调，不可能有两个根， 11 分
方程 有两个根 等价于 有两个根 ,
令 ,由 ; 当 ;
当 ,故可知 . 12 分
记 ,上式等价于 有两个根 ,
两式相减可得 ,记 ,
故上式可写成 ,故 ,
又 代入 得 , 14 分
令 ,
故 ,令 ,故 , 故 是单调递增,要求 的最小值,就是求 的最小值. 15 分下面考虑 的最小值.
,令 , 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减;
故存在 使得 ,即 ,
所以 时, 单调递减; 时, 单调递增; 故 ,即 时, 取最小值. 16 分
故 . 17 分