【培优版】湘教版数学八下3.6一次函数的应用 同步练习
一、选择题
1．（2025八上·龙岗期中）朵朵每天从家去学校上学行走的路程为米，某天她从家去上学时以每分米的速度行走了米，为了不迟到她加快了速度，以每分米的速度行走完剩下的路程，那么朵朵距家的路程（米）与她行走的时间（分）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药后时间x(时)之间的函数关系如图所示，则当1≤x≤6时，y的取值范围是（ ）
A．≤y≤ B．≤y≤8 C．≤y≤8 D．8≤y≤16
3．（2026八上·龙岗期末）在验证“不同物质吸热能力不同”的试验中，数学兴趣小组准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度y（℃）与加热时间x（min），绘制成图象如图②所示．则下列说法错误的是（ ）
A．菜籽油和水在加热前的温度均为20 ℃
B．在水沸腾之前，水的温度上升速度是15 ℃/min
C．当加热5.2 min时，菜籽油的温度是98 ℃
D．菜籽油温度比水高15 ℃时，此时加热时间为3 min
4．（2023八下·南宁期末）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则下列说法正确的是（ ）
A．进水管每分钟的进水量为 B．当时，
C．出水管每分钟的出水量为 D．水量为的时间为或
5．（2024七下·东光期中）小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同；
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟；
C．小天出发分钟两人相遇；
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟．
6．（2023八下·香河期末）迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果．每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值．对于一次函数，当时，．将代入，得出，此过程称为一次迭代：再将代入，得出，此过程称为二次迭代……为了更直观的理解，我们不妨借助于函数图象，请你根据图象，得出经过十次迭代后，y的值接近于下列哪个整数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2023八下·阿荣旗期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，或．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025八上·龙州月考）教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示：
①当放水时间10分钟时饮水机的存水量9.8升；
②饮水机里的水全部放完，需要20分钟；
③如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要7分钟；
④如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，在课间10分钟内班级中最多有32个同学能及时接完水；
以上结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2024八上·深圳期中）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”．研究表明，一般情况下人的身高与指距满足一次函数，若人的身高为时，指距为；当人的身高为时，指距为．篮球运动员姚明的身高为，则据此估计他的指距是 cm．（结果精确到）
10．（2024八下·定兴期末）在同一直线上，甲骑自行车，乙步行，分别由，两地同时向右匀速出发，当甲追上乙时，两人同时停止行驶如图表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，观察图象，出发后 甲追上乙；若乙的速度为，则经过甲行驶的路程为 ．
11．（2024八上·南山期末）如图1，11月10日晚，“深爱万物”—2023深圳人才嘉年华活动正式启动，千余架无人机在深圳人才公园上空上演“天空之舞”，为人才喝彩、向人才致敬．如图2的平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25．则在第 秒时1号和2号无人机在同一高度．
12．（2024七上·北京市期中）华氏温标与摄氏温标是两大国际主流的计量温度的标准．德国的华伦海特用水银代替酒精作为测温物质，他令水的沸点为212度，纯水的冰点为32度，这套记温体系就是华氏温标．瑞典的天文学家安德斯·摄尔修斯将标准大气压下冰水混合物的温度规定为0摄氏度，水的沸点规定为100摄氏度，这套记温体系就是摄氏温标．两套记温体系之间是可以进行相互转化的，部分温度对应表如下：
华氏温度（℉） 50 68 86 104 …… 212
摄氏温度（℃） 10 20 30 40 …… m
（1）m＝ ；
（2）若华氏温度为a，摄氏温度为b，则把摄氏温度转化为华氏温度的公式为 ．
13．已知甲、乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发前往乙地，一辆货车沿同一条公路从乙地出发前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车改变速度继续出发 h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15 min 到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离y（km)与货车行驶时间x（h)之间的函数图象，则下列说法：①a=120；②点 F 的坐标为（8，0)；③出租车从乙地返回甲地的速度为128 km/h；④出租车原路返回的过程中，货车出发 h 或2时都与出租车相距12 km.正确的是 .（填序号)
14．（2025八上·吴兴期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速．
（1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为
（2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为 ．
三、解答题
15．（2025八下·天台期末） A，B两地相距120 km，甲车以60 km/h的速度从A地去往B地，到达B地后，立即以相同速度返回A地；乙车沿同一条道路以40 km/h的从B地去往A地. 已知乙比甲迟1 h出发，设甲车行驶时间为t h，甲、乙离A地的距离分别为 km， km，其中关于t的函数图象如图所示.
（1） 在同一平面直角坐标系中画出随时间t变化的函数图象；
（2） 当时，求关于t的函数解析式；
（3） 当甲、乙两车相距20 km时，t的值为 .
16．（2022八下·武汉月考）武汉的夏季到了，某服装店同时购进，两款夏装共套，进价和售价如下表所示，设购进款夏装套（为正整数），该服装店售完全部，两款夏装获得的总利润为元．
夏装款式 款 款
每套进价（单位：元）
每套售价（单位：元）
（1）求与的函数关系式；
（2）该服装店计划投入不多于万元购进这两款夏装，则至少购进多少套款夏装？若，两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，服装店购进款夏装的进价降低元（其中），购进款夏装的进价不变，且最多购进套款夏装．若保持这两款夏装的售价不变，该服装店如何进货使得全部售完，两款夏装获得的利润最大？
17．（2026八上·南山期末）综合与实践
刻漏是中国古代科技的重要发明，体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图。
如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置。
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为10cm，开始放水后每隔1min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
t（min） 0 1 2 3 4
观察值h（cm） 10 9 8.1 6.7 5.8
【建立模型】
小组讨论发现：“t=0，h=10”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系。
（1）任务1：利用t=0，h=10；t=1时，h=9这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数表达式；
【模型优化】
经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差。通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小。
为了减少偏差，小组同学利用“t=0，h=10”和“t=2，h=8.1”这两组数据得到函数表达式为：h=10-0.95t；利用“t=0，h=10”和“t=3，h=6.7”这两组数据得到函数表达式为：h=10-1.1t；利用“t=0，h=10”和“t=4，h=5.8”这两组数据得到函数表达式为：h=10-1.05t。
把自变量（t）值代入各函数所对应的表达式，所得的h值如下表：
t（min） 0 1 2 3 4
观察值h（cm） 10 9 8.1 6.7 5.8
h=10-0.95t 10 9.05 8.1 7.15 6.2
h=10-1.1t 10 8.9 7.8 6.7 5.6
h=10-1.05t 10 8.95 7.9 6.85 5.8
对于h=10-0.95t，计算同理，h=10-1.lt的w值为0.14，h=10-1.05t的w值为0.065。
（2）任务2：①计算任务1得到的函数表达式的w值；
②写出你认为最优的函数表达式： ▲ 。
（3）【设计刻度】
得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间。
任务3：请你简要写出时间刻度与水面高度变化之间的关系。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵小亮行走过的路程（米）应随他行走的时间（分）的增大而增大，
∴A、B错误，
∵他从家去上学时以每分米的速度行走了米，
∴所用时间分钟，故C错误.
∵行走了米，为了不迟到，他以每分米的速度行走完剩下的路程米，
∴时间分钟，
∴后面一段图象陡一些，
∴故D正确．
故答案为：D．
【分析】小亮行走过的路程（米）应随他行走的时间（分）的增大而增大，小亮前米速度为米/分钟，后米速度为米/分钟，速度增大，小亮的路程分段，“先慢后快，图象先平后陡”即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】服药后3小时，药物浓度直线上升，每小时上升8÷3；可知：当x=1时，y=，当x=3时，y有最大值8，再确定y的取值范围．
【解答】设当0≤x≤3时，设y=kx，
∴3k=8，
解得：k=，
∴y=x；
当3＜x≤14时，设y=ax+b，
∴3a+b=8，
14a+b=0，
解得：a=-，B=，
∴y=-x+；
∴当x=1时，y=，当x=3时，y有最大值8，当x=6时，y的值是，
所以当1≤x≤6时，y的取值范围是≤y≤8．
故选：C．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论
3．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、加热前即 时，水和菜籽油的温度 均为20℃，故加热前温度均为20℃，该说法正确；
B、水沸腾前，取图象上两点 和 ，温度上升了 ，加热时间为4min，
∴ 水的温度上升速度为 ，该说法错误；
C、菜籽油的温度上升速度：取图象上两点 和 ，温度上升了 ，加热时间为4min，
∴ 上升速度为 ，
当加热5.2min时，菜籽油的温度为 ，该说法正确；
D、设加热时间为 min时，菜籽油温度比水高15℃，
由前面计算可知，水的温度表达式为 ，菜籽油的温度表达式为 ，
根据题意列方程：，
解得 ，即 ，该说法正确。
故答案为：B
【分析】本题考查函数图象的解读与应用，涉及温度上升速度计算、根据图象列方程求解等知识点。解题时首先从图象起点获取初始温度，判断A选项；再通过图象上的点计算水和菜籽油的温度上升速度（温度变化量除以时间变化量），分别验证B、C选项；最后建立水和菜籽油的温度与加热时间的函数关系式，根据“温度差15℃”列方程，求解后验证D选项，从而找出错误的说法。
4．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A．∵4min的进水量为20L，
∴进水管每分钟的进水量=20÷4=5（L），
故错误；
B．设y与x之间的函数表达式为y=kx+b（k≠0）（4＜x≤12），
∵点（4，20），点（12，30）都在此函数图象上，
∴，
解得，
∴函数表达式为(4＜x≤12)，
故错误；
C．由B可得：当4＜x≤12时，容器内每分钟增加L水，
∴出水管每分钟的出水量为（L），
故错误；
D．当0＜x≤4时，水量为15L的时间为15÷5=3（min），∴3min时，水量为15L；
∵（min），
∴16min时，水量为15L．
∴水量为15L的时间为3min或16min，
故正确．
故答案为：D.
【分析】(1)当0＜x≤4时，图象为正比例函数，根据4min共进水20L，可求得平均进水量；
（2） 当时 ，图象为线段，根据线段两端点的坐标，可求得一次函数表达式；
（3）依据每分的进水量和出水量是两个常数，可知进水速度可依据A得到，根据B中的k可知容器内每分钟增加水量，从而可求得出水管每分钟的出水量；
（4）水量为的时间有两个，一个在0＜x≤4时，另一个在时，分别计算求解.
5．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A．当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带发现重要物品没带，立刻掉头提速返回甲地甲地，此时由图轴可知，小东和小天相距的路程不变，
所以小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同，
此选项不符合题意
B．小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变
小东提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，
小天速度是小东提速前的速度的倍
设小东原速度为v米/分钟，则提速后为米/分钟，小天的速度为米/分钟，则
小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟，
故此选项不符合题意；
C．两人同时发出，当行驶5分钟到达B点 ，小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，
此时两人相距2200米，
拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，
小东提速后速度为200米/分钟，两人继续行驶分钟相遇，
小天一共行驶了分钟
故此选项不符合题意；
D．小东行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地分钟，
小冬最终达到乙地的时间是29分钟，
故此选项不符合题意．
故选：D
【分析】根据图形信息，结合题意逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】
解：
由得，
即两直线的交点坐标为(4，4)，
结合图像可知，经过10次迭代后，y值会接近整数4。
故答案为：C
【分析】
根据图像可知，经过10次迭代，y值会接近交点的纵坐标值。可联立两关系式，求出交点坐标可得结果。
7．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：①∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离，
∴结论正确；
②∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，
∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
∴结论正确；
③设，
∴300=5m，
解得m=60，
∴；
设，
∴
解得，
∴；
∴
解得t=2.5，
∴2.5-1=1.5，
∴乙车出发后1.5小时追上甲车；
∴结论错误；
④当乙未出发时，，
解得t=；
当乙出发，且在甲后面时，，
解得t=；
当乙出发，且在甲前面时，，
解得t=；
当乙到大目的地，甲自己行走时，，
解得t=；
∴结论错误；
故答案为：B．
【分析】①当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；
②甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，结合图形可判断求解；
③由题意，先确定甲，乙的函数解析式，求出交点坐标即可判断求解；
④分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出发，乙出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可求解．
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设时，存水量y与放水时间x的解析式为，
把、代入得，
，
解得：，
则解析式为：；
当时，升，故该项正确；
当时，，故该项错误；
由图可知，前2分钟排水量为1升，则每个学生接水量是升，
则个同学需接水升，
存水量升，
∵两个放水管同时打开时，他们每分钟的流量为：（升），
∴所用时间分钟，
故该项正确；
④当时，按照这种方法接水则前2分钟接4个同学，还剩8分钟饮水机的存水量，
这8分钟饮水机的流水量为：（升），
则8分钟接水的人数为：，
则课间10分钟内班级中能及时接完水的人数一共有：．
故课间10分钟最多有32人及时接完水，
故该项正确；
则正确的有共三个．
故选：C．
【分析】
本题考查一次函数的应用，根据题意判断出函数表达式是解题的关键．
根据函数图象可知：当0≤x≤2时，单管放水，用时2分钟，存水量从18升到17升，放水总量为18-17=1升；当2＜x≤12时，双管放水，用时10分钟，存水量从17升到8升，放水总量17-8=9升，所以双管放水速度为9÷10=0.9升/分钟；
对于①：放水时间10分钟可知：在2＜x≤12这个区间，观察图像可知：该段函数图象为直线，且直线上有两个点（2，17）和（12，8），故设该段函数表达式为：y=kx+b，将点（2，17）和（12，8）代入表达式得：，解得：，即；当x=10时，升，故①正确；
对于②：由①知：，根据题意：饮用机里的水全部用完可知：当y=0时，即，解得：，故②错误；
对于③：根据题意：2 分钟时恰好有4个同学接水结束，根据前 2 分钟放水量是1升，对应4人，所以每个同学接水量为：1÷4=0.25升；所以22 人总接水量22×0.25=5.5升，所以剩余需放水5.5-1=4.5升，再根据双管放水的速度为：0.9 升/分钟，需用时4.5÷0.9=5分钟；总时长2+5=7分钟；故③正确；
对于④：由①知：10分钟总放水量：前2分钟放水1升，后8分钟双管放水量为0.9×8=7.2升，放水量共：1+7.2=8.2升；再根据每人接水0.25升，所以接完水最多人数为：8.2÷0.25=32.8，取整数 32 人，故④正确；由此可得出答案.
9．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设与的函数关系式为．
由题意可得，
解得，
与之间的函数关系式；
当时，，
解得：
故答案为：．
【分析】
根据数据，利用待定系数法求出与之间的函数关系式，将代入解析式，求出指距即可解答．
10．【答案】2；
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：由图象可知，出发后2h甲追上乙，故答案为2.
设甲的速度为xkm/h，
由图象可知：A，B两地相距24km，
根据题意得：2x=8x2+24，
解得：x=20
∴20×1.5=30(km)
故答案为2；.
【分析】
由图象可知：A，B两地相距24km，当t=2时，y=0，即：出发后2h甲追上乙；再设甲的速度为xkm/h，根据等量关系：甲走的路程=乙走的路程+24，列出方程，解出x，再乘以1.5即可.
11．【答案】15
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：把 代入，得，
，
，
设，
将代入，解得，
故，
，
解得：，即在第15秒时1号和2号无人机在同一高度．
故答案为：．
【分析】根据题意求点，从而求出的解析式，再将两个解析式联立，即可得到答案．
12．【答案】100；a＝32＋1.8b
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设华氏温度与摄氏温度满足的一次函数关系为：
代入（10，50）（20，68）得
当时，
故答案为：100；
（2）由（1）得，华氏温度=摄氏温度+32，
若华氏温度为a，摄氏温度为b，
则把摄氏温度转化为华氏温度的公式为：a=+32，
故答案为：a＝32＋1.8b．
【分析】（1）设华氏温度与摄氏温度满足的一次函数关系为：，根据待定系数法将点（10，50）（20，68）代入解析式可得，再将y=212代入解析式即可求出答案.
（2）根据表格数据规律，得到华氏温度=摄氏温度+32，即可求出答案.
13．【答案】①②③
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题图可得 C(4，480)，
设OC 所在直线的表达式为y= kx，
把C(4，480)代入得480=4k，解得k=120，
则OC 所在直线的表达式为y=120x，
把(1，a)代入y=120x， 得a=120，故①正确.
由图象得货车行驶-后开始停下来装货物，装完后发现此时与出租车相距120 km.
因为a=120，
所以货车装完货物时与乙地相距120 km，
所以此时出租车距离乙地120+120=240(km)，
所以出租车距离甲地480-240=240(km).
把y=240 代入y=120x得240=120x，解得x=2，
所以货车装完货物时，x=2，则B(2，120).
根据货车改变速度继续出发 h后与出租车相遇，可得 (出租车的速度+货车的速度)=120.
根据图象可得出租车的速度为 120 km/h，所以相遇时，货车的速度为
故可设BG所在直线的表达式为y=60x+b，
将B(2，120)代入y=60x+b，可得120=120+b，解得b=0，
所以BG 所在直线的表达式为 y=60x，
故货车装完货物后前往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式为y=60x.
把y=480代入y=60x，可得480=60x，解得x=8，
所以G(8，480)，所以F(8，0)，故②正确.
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15 min到达甲地，可得
所以
所以出租车原路返回的速度为 故③正确.
设在出租车原路返回的过程中，货车出发 z h 与出租车相距12 km，此时货车距离乙地60z km，出租车距离乙地128(z-4)= (128z-512) km，
分以下两种情况讨论：出租车和货车第二次相遇前相距12km时，可得 12，解得
出租车和货车第二次相遇后相距12km时，可得 解得
故在出租车原路返回的过程中，货车出发 或 时都与出租车相距12km，故④错误.
故答案为：①②③.
【分析】①从图象中获取时间与两车距离的对应关系，设出租车和货车在服务区前的速度，根据“路程和=速度和×时间”，列出不同时间下的路程和方程，求解得出a的值，判断该选项正误；
②先确定出租车与货车相遇时出租车的行驶时间，再结合“出租车到达乙地后返回比货车早15min到甲地”这一条件，分析货车从乙地到甲地的总时间，从而确定点F的坐标，判断该选项正误；
③利用“速度=路程÷时间”，根据出租车从甲地到乙地的路程(480km)和行驶时间(图象中对应的时间)，计算出租车速度，判断该选项正误；
④设货车出发时间为z，明确出租车返回的时间范围，结合出租车返回速度与货车装货后的速度，根据“两车相距12km”的两种情况(货车在出租车前12km、出租车在货车前12km)，列方程求解，判断该选项正误.
14．【答案】；
【知识点】三角形全等的判定-ASA；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）如图，由题意得：，
由对顶角相等得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点位于轴的负半轴上，
∴直线与轴的交点的坐标为，
故答案为：．
（2）对于函数，
要使得y为整数，则x为偶数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴线段上共有5个整数点：，，，，，
∵，
∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为，
则有以下两个临界位置：
①当点的坐标为，点的坐标为时，
设直线的解析式为，
将点和代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，即，
同理可得：直线的解析式为，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
②当点的坐标为，点的坐标为时，
同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
∵，
∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）利用SAS可证得，再根据全等三角形的性质可求出OQ的长。由此即可得到点Q的坐标.
（2）先求出线段上共有5个整数点：，，，，，再找出两个临界位置：①当点的坐标为，点的坐标为时，②当点的坐标为，点的坐标为时，分别求出点的坐标，由此即可得．
15．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：由图象可得，是关于t的一次函数，设，
把(1， 120)，(4， 0)代入得，
解得，
∴是关于t的函数解析式是.
（3）或或3（也可以为1.4或1.8或3）
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)如图所示；
(3)①当0≤t≤2时，设S1=mt，将点(2，120)代入得2m=120得m=60，故S1=60t
当甲、乙两车相距20km时，有，即
解得t1=，t2=
②当2＜t≤4时，设S2=nt+c，将点(2，120)和(4，0)代入得，解得
故S1=-60t+240
当甲、乙两车相距20km时，有，即
解得t1=5(舍)，t2=3
综上所述，t的值为或或3（也可以为1.4或1.8或3）
【分析】(1)由题意知S2的时间、速度和时间，画出图像即可；
(2)根据待定系数法设S2=kt+b，将它经过的点代入求出k和b即可得解析式；
(3)先分段求出S1，再分类当甲、乙两车相距20km时的t的值即可.
16．【答案】解：（1）根据题意得y=（100-60）x+（150-80）（300-x）=-30x+21000，
即y=-30x+21000；
（2）由题意得，60x+80（300-x）≤20000，
解得x≥200，
∴至少要购进甲款运动服200套．
又∵y=-30x+21000，-30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，
y最大=-30×200+21000=15000，
∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元；
（3）由题意得，y=（100-60+a）x+（150-80）（300-x），其中200≤x≤240，
化简得，y=（a-30）x+21000，
∵20＜a＜40，则：
①当20＜a＜30时，a-30＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，
则服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服100套，获利最大；
②当a=30时，a-30=0，y=21000，
则服装店应购进甲款运动服的数量应满足200≤x≤240，且x为整数时，服装店获利最大；
③当30＜a＜40时，a-30＞0，y随x的增大而增大，
∵200≤x≤240，
∴当x=240时，y有最大利润，
则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=（A款的售价-A款的进价）×购进A款的数量+（B款的售价-B款的进价）×购进B款的数量代入列关系式，并化简求解即可；
（2）根据题意先求出60x+80（300-x）≤20000，再求出当x=200时，y有最大值，最后求解即可；
（3）根据题意先求出y=（a-30）x+21000，再把20＜a＜40分三种情况讨论计算求解即可.
17．【答案】（1）解：∵可以近似用一次函数来刻画h与t的关系，
∴设h=kt+b，
将r=0，h=10：r=1，h=9代入得：
解得
则h=-t+10
（2）①W=(10-10)2+(9-9)2+(8.1-8)2+(6.7-7)2+(6-5.8)2=0.14
②h=10-1.05t
（3）∵h=10-1.05t为最优函数表达式，
∴水面变化1.05cm时间变化1 min
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2）② 对于h=10-0.95t，
w=(10-10)2+(9.05-9)2+(8.1-8.1)2+(7.15-6.7)2+(6.2-5.8)2= 0.365.
h=10-1.1t的w值为0.14，
h=10-1.05t的w值为0.065，
其中h=10-1.05t对应的w值最小为0.065
即h=10-1.05t的偏差最小，
∴h=10-1.05t为最优函数表达式
故答案为：h=10-1.05t
【分析】（1）设h=kt+b，根据待定系数法将r=0，h=10：r=1，h=9代入解析式即可求出答案.
（2）①根据题意列式计算即可求出答案.
②根据求出个函数的w值，再比较大小即可求出答案.
（3）根据题意即可求出答案.
1 / 1【培优版】湘教版数学八下3.6一次函数的应用 同步练习
一、选择题
1．（2025八上·龙岗期中）朵朵每天从家去学校上学行走的路程为米，某天她从家去上学时以每分米的速度行走了米，为了不迟到她加快了速度，以每分米的速度行走完剩下的路程，那么朵朵距家的路程（米）与她行走的时间（分）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵小亮行走过的路程（米）应随他行走的时间（分）的增大而增大，
∴A、B错误，
∵他从家去上学时以每分米的速度行走了米，
∴所用时间分钟，故C错误.
∵行走了米，为了不迟到，他以每分米的速度行走完剩下的路程米，
∴时间分钟，
∴后面一段图象陡一些，
∴故D正确．
故答案为：D．
【分析】小亮行走过的路程（米）应随他行走的时间（分）的增大而增大，小亮前米速度为米/分钟，后米速度为米/分钟，速度增大，小亮的路程分段，“先慢后快，图象先平后陡”即可得答案.
2．药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药后时间x(时)之间的函数关系如图所示，则当1≤x≤6时，y的取值范围是（ ）
A．≤y≤ B．≤y≤8 C．≤y≤8 D．8≤y≤16
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】服药后3小时，药物浓度直线上升，每小时上升8÷3；可知：当x=1时，y=，当x=3时，y有最大值8，再确定y的取值范围．
【解答】设当0≤x≤3时，设y=kx，
∴3k=8，
解得：k=，
∴y=x；
当3＜x≤14时，设y=ax+b，
∴3a+b=8，
14a+b=0，
解得：a=-，B=，
∴y=-x+；
∴当x=1时，y=，当x=3时，y有最大值8，当x=6时，y的值是，
所以当1≤x≤6时，y的取值范围是≤y≤8．
故选：C．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论
3．（2026八上·龙岗期末）在验证“不同物质吸热能力不同”的试验中，数学兴趣小组准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度y（℃）与加热时间x（min），绘制成图象如图②所示．则下列说法错误的是（ ）
A．菜籽油和水在加热前的温度均为20 ℃
B．在水沸腾之前，水的温度上升速度是15 ℃/min
C．当加热5.2 min时，菜籽油的温度是98 ℃
D．菜籽油温度比水高15 ℃时，此时加热时间为3 min
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、加热前即 时，水和菜籽油的温度 均为20℃，故加热前温度均为20℃，该说法正确；
B、水沸腾前，取图象上两点 和 ，温度上升了 ，加热时间为4min，
∴ 水的温度上升速度为 ，该说法错误；
C、菜籽油的温度上升速度：取图象上两点 和 ，温度上升了 ，加热时间为4min，
∴ 上升速度为 ，
当加热5.2min时，菜籽油的温度为 ，该说法正确；
D、设加热时间为 min时，菜籽油温度比水高15℃，
由前面计算可知，水的温度表达式为 ，菜籽油的温度表达式为 ，
根据题意列方程：，
解得 ，即 ，该说法正确。
故答案为：B
【分析】本题考查函数图象的解读与应用，涉及温度上升速度计算、根据图象列方程求解等知识点。解题时首先从图象起点获取初始温度，判断A选项；再通过图象上的点计算水和菜籽油的温度上升速度（温度变化量除以时间变化量），分别验证B、C选项；最后建立水和菜籽油的温度与加热时间的函数关系式，根据“温度差15℃”列方程，求解后验证D选项，从而找出错误的说法。
4．（2023八下·南宁期末）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则下列说法正确的是（ ）
A．进水管每分钟的进水量为 B．当时，
C．出水管每分钟的出水量为 D．水量为的时间为或
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A．∵4min的进水量为20L，
∴进水管每分钟的进水量=20÷4=5（L），
故错误；
B．设y与x之间的函数表达式为y=kx+b（k≠0）（4＜x≤12），
∵点（4，20），点（12，30）都在此函数图象上，
∴，
解得，
∴函数表达式为(4＜x≤12)，
故错误；
C．由B可得：当4＜x≤12时，容器内每分钟增加L水，
∴出水管每分钟的出水量为（L），
故错误；
D．当0＜x≤4时，水量为15L的时间为15÷5=3（min），∴3min时，水量为15L；
∵（min），
∴16min时，水量为15L．
∴水量为15L的时间为3min或16min，
故正确．
故答案为：D.
【分析】(1)当0＜x≤4时，图象为正比例函数，根据4min共进水20L，可求得平均进水量；
（2） 当时 ，图象为线段，根据线段两端点的坐标，可求得一次函数表达式；
（3）依据每分的进水量和出水量是两个常数，可知进水速度可依据A得到，根据B中的k可知容器内每分钟增加水量，从而可求得出水管每分钟的出水量；
（4）水量为的时间有两个，一个在0＜x≤4时，另一个在时，分别计算求解.
5．（2024七下·东光期中）小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同；
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟；
C．小天出发分钟两人相遇；
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A．当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带发现重要物品没带，立刻掉头提速返回甲地甲地，此时由图轴可知，小东和小天相距的路程不变，
所以小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同，
此选项不符合题意
B．小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变
小东提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，
小天速度是小东提速前的速度的倍
设小东原速度为v米/分钟，则提速后为米/分钟，小天的速度为米/分钟，则
小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟，
故此选项不符合题意；
C．两人同时发出，当行驶5分钟到达B点 ，小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，
此时两人相距2200米，
拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，
小东提速后速度为200米/分钟，两人继续行驶分钟相遇，
小天一共行驶了分钟
故此选项不符合题意；
D．小东行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地分钟，
小冬最终达到乙地的时间是29分钟，
故此选项不符合题意．
故选：D
【分析】根据图形信息，结合题意逐项进行判断即可求出答案.
6．（2023八下·香河期末）迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果．每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值．对于一次函数，当时，．将代入，得出，此过程称为一次迭代：再将代入，得出，此过程称为二次迭代……为了更直观的理解，我们不妨借助于函数图象，请你根据图象，得出经过十次迭代后，y的值接近于下列哪个整数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】
解：
由得，
即两直线的交点坐标为(4，4)，
结合图像可知，经过10次迭代后，y值会接近整数4。
故答案为：C
【分析】
根据图像可知，经过10次迭代，y值会接近交点的纵坐标值。可联立两关系式，求出交点坐标可得结果。
7．（2023八下·阿荣旗期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，或．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：①∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离，
∴结论正确；
②∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，
∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
∴结论正确；
③设，
∴300=5m，
解得m=60，
∴；
设，
∴
解得，
∴；
∴
解得t=2.5，
∴2.5-1=1.5，
∴乙车出发后1.5小时追上甲车；
∴结论错误；
④当乙未出发时，，
解得t=；
当乙出发，且在甲后面时，，
解得t=；
当乙出发，且在甲前面时，，
解得t=；
当乙到大目的地，甲自己行走时，，
解得t=；
∴结论错误；
故答案为：B．
【分析】①当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；
②甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，结合图形可判断求解；
③由题意，先确定甲，乙的函数解析式，求出交点坐标即可判断求解；
④分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出发，乙出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可求解．
8．（2025八上·龙州月考）教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示：
①当放水时间10分钟时饮水机的存水量9.8升；
②饮水机里的水全部放完，需要20分钟；
③如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要7分钟；
④如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，在课间10分钟内班级中最多有32个同学能及时接完水；
以上结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设时，存水量y与放水时间x的解析式为，
把、代入得，
，
解得：，
则解析式为：；
当时，升，故该项正确；
当时，，故该项错误；
由图可知，前2分钟排水量为1升，则每个学生接水量是升，
则个同学需接水升，
存水量升，
∵两个放水管同时打开时，他们每分钟的流量为：（升），
∴所用时间分钟，
故该项正确；
④当时，按照这种方法接水则前2分钟接4个同学，还剩8分钟饮水机的存水量，
这8分钟饮水机的流水量为：（升），
则8分钟接水的人数为：，
则课间10分钟内班级中能及时接完水的人数一共有：．
故课间10分钟最多有32人及时接完水，
故该项正确；
则正确的有共三个．
故选：C．
【分析】
本题考查一次函数的应用，根据题意判断出函数表达式是解题的关键．
根据函数图象可知：当0≤x≤2时，单管放水，用时2分钟，存水量从18升到17升，放水总量为18-17=1升；当2＜x≤12时，双管放水，用时10分钟，存水量从17升到8升，放水总量17-8=9升，所以双管放水速度为9÷10=0.9升/分钟；
对于①：放水时间10分钟可知：在2＜x≤12这个区间，观察图像可知：该段函数图象为直线，且直线上有两个点（2，17）和（12，8），故设该段函数表达式为：y=kx+b，将点（2，17）和（12，8）代入表达式得：，解得：，即；当x=10时，升，故①正确；
对于②：由①知：，根据题意：饮用机里的水全部用完可知：当y=0时，即，解得：，故②错误；
对于③：根据题意：2 分钟时恰好有4个同学接水结束，根据前 2 分钟放水量是1升，对应4人，所以每个同学接水量为：1÷4=0.25升；所以22 人总接水量22×0.25=5.5升，所以剩余需放水5.5-1=4.5升，再根据双管放水的速度为：0.9 升/分钟，需用时4.5÷0.9=5分钟；总时长2+5=7分钟；故③正确；
对于④：由①知：10分钟总放水量：前2分钟放水1升，后8分钟双管放水量为0.9×8=7.2升，放水量共：1+7.2=8.2升；再根据每人接水0.25升，所以接完水最多人数为：8.2÷0.25=32.8，取整数 32 人，故④正确；由此可得出答案.
二、填空题
9．（2024八上·深圳期中）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”．研究表明，一般情况下人的身高与指距满足一次函数，若人的身高为时，指距为；当人的身高为时，指距为．篮球运动员姚明的身高为，则据此估计他的指距是 cm．（结果精确到）
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设与的函数关系式为．
由题意可得，
解得，
与之间的函数关系式；
当时，，
解得：
故答案为：．
【分析】
根据数据，利用待定系数法求出与之间的函数关系式，将代入解析式，求出指距即可解答．
10．（2024八下·定兴期末）在同一直线上，甲骑自行车，乙步行，分别由，两地同时向右匀速出发，当甲追上乙时，两人同时停止行驶如图表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，观察图象，出发后 甲追上乙；若乙的速度为，则经过甲行驶的路程为 ．
【答案】2；
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：由图象可知，出发后2h甲追上乙，故答案为2.
设甲的速度为xkm/h，
由图象可知：A，B两地相距24km，
根据题意得：2x=8x2+24，
解得：x=20
∴20×1.5=30(km)
故答案为2；.
【分析】
由图象可知：A，B两地相距24km，当t=2时，y=0，即：出发后2h甲追上乙；再设甲的速度为xkm/h，根据等量关系：甲走的路程=乙走的路程+24，列出方程，解出x，再乘以1.5即可.
11．（2024八上·南山期末）如图1，11月10日晚，“深爱万物”—2023深圳人才嘉年华活动正式启动，千余架无人机在深圳人才公园上空上演“天空之舞”，为人才喝彩、向人才致敬．如图2的平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25．则在第 秒时1号和2号无人机在同一高度．
【答案】15
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：把 代入，得，
，
，
设，
将代入，解得，
故，
，
解得：，即在第15秒时1号和2号无人机在同一高度．
故答案为：．
【分析】根据题意求点，从而求出的解析式，再将两个解析式联立，即可得到答案．
12．（2024七上·北京市期中）华氏温标与摄氏温标是两大国际主流的计量温度的标准．德国的华伦海特用水银代替酒精作为测温物质，他令水的沸点为212度，纯水的冰点为32度，这套记温体系就是华氏温标．瑞典的天文学家安德斯·摄尔修斯将标准大气压下冰水混合物的温度规定为0摄氏度，水的沸点规定为100摄氏度，这套记温体系就是摄氏温标．两套记温体系之间是可以进行相互转化的，部分温度对应表如下：
华氏温度（℉） 50 68 86 104 …… 212
摄氏温度（℃） 10 20 30 40 …… m
（1）m＝ ；
（2）若华氏温度为a，摄氏温度为b，则把摄氏温度转化为华氏温度的公式为 ．
【答案】100；a＝32＋1.8b
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设华氏温度与摄氏温度满足的一次函数关系为：
代入（10，50）（20，68）得
当时，
故答案为：100；
（2）由（1）得，华氏温度=摄氏温度+32，
若华氏温度为a，摄氏温度为b，
则把摄氏温度转化为华氏温度的公式为：a=+32，
故答案为：a＝32＋1.8b．
【分析】（1）设华氏温度与摄氏温度满足的一次函数关系为：，根据待定系数法将点（10，50）（20，68）代入解析式可得，再将y=212代入解析式即可求出答案.
（2）根据表格数据规律，得到华氏温度=摄氏温度+32，即可求出答案.
13．已知甲、乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发前往乙地，一辆货车沿同一条公路从乙地出发前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车改变速度继续出发 h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15 min 到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离y（km)与货车行驶时间x（h)之间的函数图象，则下列说法：①a=120；②点 F 的坐标为（8，0)；③出租车从乙地返回甲地的速度为128 km/h；④出租车原路返回的过程中，货车出发 h 或2时都与出租车相距12 km.正确的是 .（填序号)
【答案】①②③
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题图可得 C(4，480)，
设OC 所在直线的表达式为y= kx，
把C(4，480)代入得480=4k，解得k=120，
则OC 所在直线的表达式为y=120x，
把(1，a)代入y=120x， 得a=120，故①正确.
由图象得货车行驶-后开始停下来装货物，装完后发现此时与出租车相距120 km.
因为a=120，
所以货车装完货物时与乙地相距120 km，
所以此时出租车距离乙地120+120=240(km)，
所以出租车距离甲地480-240=240(km).
把y=240 代入y=120x得240=120x，解得x=2，
所以货车装完货物时，x=2，则B(2，120).
根据货车改变速度继续出发 h后与出租车相遇，可得 (出租车的速度+货车的速度)=120.
根据图象可得出租车的速度为 120 km/h，所以相遇时，货车的速度为
故可设BG所在直线的表达式为y=60x+b，
将B(2，120)代入y=60x+b，可得120=120+b，解得b=0，
所以BG 所在直线的表达式为 y=60x，
故货车装完货物后前往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式为y=60x.
把y=480代入y=60x，可得480=60x，解得x=8，
所以G(8，480)，所以F(8，0)，故②正确.
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15 min到达甲地，可得
所以
所以出租车原路返回的速度为 故③正确.
设在出租车原路返回的过程中，货车出发 z h 与出租车相距12 km，此时货车距离乙地60z km，出租车距离乙地128(z-4)= (128z-512) km，
分以下两种情况讨论：出租车和货车第二次相遇前相距12km时，可得 12，解得
出租车和货车第二次相遇后相距12km时，可得 解得
故在出租车原路返回的过程中，货车出发 或 时都与出租车相距12km，故④错误.
故答案为：①②③.
【分析】①从图象中获取时间与两车距离的对应关系，设出租车和货车在服务区前的速度，根据“路程和=速度和×时间”，列出不同时间下的路程和方程，求解得出a的值，判断该选项正误；
②先确定出租车与货车相遇时出租车的行驶时间，再结合“出租车到达乙地后返回比货车早15min到甲地”这一条件，分析货车从乙地到甲地的总时间，从而确定点F的坐标，判断该选项正误；
③利用“速度=路程÷时间”，根据出租车从甲地到乙地的路程(480km)和行驶时间(图象中对应的时间)，计算出租车速度，判断该选项正误；
④设货车出发时间为z，明确出租车返回的时间范围，结合出租车返回速度与货车装货后的速度，根据“两车相距12km”的两种情况(货车在出租车前12km、出租车在货车前12km)，列方程求解，判断该选项正误.
14．（2025八上·吴兴期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速．
（1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为
（2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】三角形全等的判定-ASA；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）如图，由题意得：，
由对顶角相等得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点位于轴的负半轴上，
∴直线与轴的交点的坐标为，
故答案为：．
（2）对于函数，
要使得y为整数，则x为偶数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴线段上共有5个整数点：，，，，，
∵，
∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为，
则有以下两个临界位置：
①当点的坐标为，点的坐标为时，
设直线的解析式为，
将点和代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，即，
同理可得：直线的解析式为，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
②当点的坐标为，点的坐标为时，
同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
∵，
∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）利用SAS可证得，再根据全等三角形的性质可求出OQ的长。由此即可得到点Q的坐标.
（2）先求出线段上共有5个整数点：，，，，，再找出两个临界位置：①当点的坐标为，点的坐标为时，②当点的坐标为，点的坐标为时，分别求出点的坐标，由此即可得．
三、解答题
15．（2025八下·天台期末） A，B两地相距120 km，甲车以60 km/h的速度从A地去往B地，到达B地后，立即以相同速度返回A地；乙车沿同一条道路以40 km/h的从B地去往A地. 已知乙比甲迟1 h出发，设甲车行驶时间为t h，甲、乙离A地的距离分别为 km， km，其中关于t的函数图象如图所示.
（1） 在同一平面直角坐标系中画出随时间t变化的函数图象；
（2） 当时，求关于t的函数解析式；
（3） 当甲、乙两车相距20 km时，t的值为 .
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：由图象可得，是关于t的一次函数，设，
把(1， 120)，(4， 0)代入得，
解得，
∴是关于t的函数解析式是.
（3）或或3（也可以为1.4或1.8或3）
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)如图所示；
(3)①当0≤t≤2时，设S1=mt，将点(2，120)代入得2m=120得m=60，故S1=60t
当甲、乙两车相距20km时，有，即
解得t1=，t2=
②当2＜t≤4时，设S2=nt+c，将点(2，120)和(4，0)代入得，解得
故S1=-60t+240
当甲、乙两车相距20km时，有，即
解得t1=5(舍)，t2=3
综上所述，t的值为或或3（也可以为1.4或1.8或3）
【分析】(1)由题意知S2的时间、速度和时间，画出图像即可；
(2)根据待定系数法设S2=kt+b，将它经过的点代入求出k和b即可得解析式；
(3)先分段求出S1，再分类当甲、乙两车相距20km时的t的值即可.
16．（2022八下·武汉月考）武汉的夏季到了，某服装店同时购进，两款夏装共套，进价和售价如下表所示，设购进款夏装套（为正整数），该服装店售完全部，两款夏装获得的总利润为元．
夏装款式 款 款
每套进价（单位：元）
每套售价（单位：元）
（1）求与的函数关系式；
（2）该服装店计划投入不多于万元购进这两款夏装，则至少购进多少套款夏装？若，两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，服装店购进款夏装的进价降低元（其中），购进款夏装的进价不变，且最多购进套款夏装．若保持这两款夏装的售价不变，该服装店如何进货使得全部售完，两款夏装获得的利润最大？
【答案】解：（1）根据题意得y=（100-60）x+（150-80）（300-x）=-30x+21000，
即y=-30x+21000；
（2）由题意得，60x+80（300-x）≤20000，
解得x≥200，
∴至少要购进甲款运动服200套．
又∵y=-30x+21000，-30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，
y最大=-30×200+21000=15000，
∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元；
（3）由题意得，y=（100-60+a）x+（150-80）（300-x），其中200≤x≤240，
化简得，y=（a-30）x+21000，
∵20＜a＜40，则：
①当20＜a＜30时，a-30＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，
则服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服100套，获利最大；
②当a=30时，a-30=0，y=21000，
则服装店应购进甲款运动服的数量应满足200≤x≤240，且x为整数时，服装店获利最大；
③当30＜a＜40时，a-30＞0，y随x的增大而增大，
∵200≤x≤240，
∴当x=240时，y有最大利润，
则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=（A款的售价-A款的进价）×购进A款的数量+（B款的售价-B款的进价）×购进B款的数量代入列关系式，并化简求解即可；
（2）根据题意先求出60x+80（300-x）≤20000，再求出当x=200时，y有最大值，最后求解即可；
（3）根据题意先求出y=（a-30）x+21000，再把20＜a＜40分三种情况讨论计算求解即可.
17．（2026八上·南山期末）综合与实践
刻漏是中国古代科技的重要发明，体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图。
如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置。
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为10cm，开始放水后每隔1min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
t（min） 0 1 2 3 4
观察值h（cm） 10 9 8.1 6.7 5.8
【建立模型】
小组讨论发现：“t=0，h=10”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系。
（1）任务1：利用t=0，h=10；t=1时，h=9这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数表达式；
【模型优化】
经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差。通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小。
为了减少偏差，小组同学利用“t=0，h=10”和“t=2，h=8.1”这两组数据得到函数表达式为：h=10-0.95t；利用“t=0，h=10”和“t=3，h=6.7”这两组数据得到函数表达式为：h=10-1.1t；利用“t=0，h=10”和“t=4，h=5.8”这两组数据得到函数表达式为：h=10-1.05t。
把自变量（t）值代入各函数所对应的表达式，所得的h值如下表：
t（min） 0 1 2 3 4
观察值h（cm） 10 9 8.1 6.7 5.8
h=10-0.95t 10 9.05 8.1 7.15 6.2
h=10-1.1t 10 8.9 7.8 6.7 5.6
h=10-1.05t 10 8.95 7.9 6.85 5.8
对于h=10-0.95t，计算同理，h=10-1.lt的w值为0.14，h=10-1.05t的w值为0.065。
（2）任务2：①计算任务1得到的函数表达式的w值；
②写出你认为最优的函数表达式： ▲ 。
（3）【设计刻度】
得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间。
任务3：请你简要写出时间刻度与水面高度变化之间的关系。
【答案】（1）解：∵可以近似用一次函数来刻画h与t的关系，
∴设h=kt+b，
将r=0，h=10：r=1，h=9代入得：
解得
则h=-t+10
（2）①W=(10-10)2+(9-9)2+(8.1-8)2+(6.7-7)2+(6-5.8)2=0.14
②h=10-1.05t
（3）∵h=10-1.05t为最优函数表达式，
∴水面变化1.05cm时间变化1 min
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2）② 对于h=10-0.95t，
w=(10-10)2+(9.05-9)2+(8.1-8.1)2+(7.15-6.7)2+(6.2-5.8)2= 0.365.
h=10-1.1t的w值为0.14，
h=10-1.05t的w值为0.065，
其中h=10-1.05t对应的w值最小为0.065
即h=10-1.05t的偏差最小，
∴h=10-1.05t为最优函数表达式
故答案为：h=10-1.05t
【分析】（1）设h=kt+b，根据待定系数法将r=0，h=10：r=1，h=9代入解析式即可求出答案.
（2）①根据题意列式计算即可求出答案.
②根据求出个函数的w值，再比较大小即可求出答案.
（3）根据题意即可求出答案.
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