【中考快车道】初中数学中考复习专题4：开放探究性问题课件

(共27张PPT)
专题四　开放探究性问题
第三编
2026
内容索引
01
热点·问题探究
02
命题·热点例析
03
能力·提升演练
热点·问题探究
初中数学中的“开放探究性”试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论,需要经过推断、补充并加以证明的命题.它不像传统的解答题或证明题,在条件和结论给出的情境中只需进行由因导果或由果索因的工作,从而定格于“条件——演绎——结论”这样一个封闭的模式之中,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律.
开放型试题作为考查学生创新思维能力和分析问题解决问题能力的题型,倍受广大教育者和中考命题者的青睐.其基本特征:一个数学问题通常包括已知条件、解题方法和依据、结论等三部分.若这三个部分都已知或没有变化,则称之为封闭型试题;若这三部分不齐全,则称之为开放型试题,它通常是缺少其中的一部分或两部分,这样的问题既能达到考查学生思维能力的目的,又有一定的约束,不至于不着边际,让学生无从下手.解决此类问题需要经过观察、分析、判断、尝试解决、归纳、猜想和验证等过程,其中猜想和判断需要有扎实的基础知识,它是在平时丰富的解题经验的基础上进行的.
命题·热点例析
考向1条件开放型——给出结论,开放已知条件(即选择或补充条件)
此类问题的显著特点是寻找某个条件使得某个结论成立.解决问题时可采用分析法,把命题的结论看作条件,并结合问题本身的已有条件和相关的定理、公理、定义等进行分析、推理得到结论(可能不止一个),再将这些结论作为条件逐一代入验证,能得到所要求的结论的条件都可以(有时命题只需要填一个即可),这时开放性问题就当作常规的封闭型试题来求解.
例1如图4-1,点E,F是 ABCD的对角线BD上的两点,请你添加一个适当的条件:　　　　　　　,使四边形AECF是平行四边形.
图4-1
解析:若四边形AECF是平行四边形,则可证△ABE≌△CDF,△ADF≌△CBE,AC与EF互相平分等,因此,所填条件只要能使这些结论之一成立即可,于是可填条件BE=DF或∠AFE=∠FEC或AE∥CF或AF∥CE等.
答案:BE=DF(答案不唯一)
方法点拨 对课本例题和习题的解题经验的积累是解决本题行之有效的方法,在平时的学习中,要注意对问题进行反思和推广,做到做一题通一类.
考向2解题方法开放型——探究解题过程(解题方法不唯一)
此类问题的显著特点是解决问题的方法多样或方案不定.解题时需要先选择方案或通过计算、推理来确定方案,再得出结论.常用的解题方法是“综合分析法”,既要由已知条件进行推理论证寻找结论,又要根据结论来匹配合适的条件.
例2如图4-2,BD是☉O的直径,AB与☉O相切于点B,过点D作OA的平行线交☉O于点C,AC与BD的延长线相交于点E.
(1)试探究AE与☉O的位置关系,并说明理由.
(2)已知EC=a,ED=b,AB=c.请你思考后,选用以上适当的数据,设计出计算☉O的半径r的一种方案:
①你选用的已知数据是　　　　　　　;
②写出求解过程(结果用字母表示).
图4-2
解:(1)观察图形并结合此类问题的解题经验猜想AE与☉O相切.
由题意知直线AE与☉O有公共点C,连接OC(图略).
∵CD∥OA,∴∠AOC=∠OCD,∠ODC=∠AOB.又OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.
∴∠AOB=∠AOC.
在△AO C和△AOB中,OA=OA,∠AOB=∠AO C,OB=O C,
∴△AO C≌△AOB.
∴∠ACO=∠ABO.
由AB与☉O相切,
可知∠ACO=∠ABO=90°.
故AE与☉O相切.
(2)①选择a,b,c,或其中2个.
②解答举例:
·选择a,b,c.
方法一:由CD∥OA,且由(1)知,AC=AB=c,得,解得r=.
方法二:在Rt△ABE中,由勾股定理得(b+2r)2+c2=(a+c)2,解得r=.
方法三:∵∠E=∠E,∠OCE=∠ABE=90°,∴Rt△OCE∽Rt△ABE,得,即,
解得r=.
·选择a,b.
在Rt△OCE中,由勾股定理a2+r2=(b+r)2,
解得r=.
方案合理即可.
方法点拨 (1)几何计算问题常常需要利用全等或相似或勾股定理得到联系已知量和未知量的等式,进而列出方程求解.
(2)在平时的学习过程中,要试着对所做试题进行变式训练,如:交换条件和结论,在现有条件下还有什么正确结论,解决问题还有什么方法等.这样可以大大提高解决开放性问题的能力.
考向3存在性问题
此类问题的显著特点:判断符合某个条件的点或图形或事件是否存在.解决这类问题的基本思路:假设存在→推理论证→得出结论.若导出的结论合理或正确,则作出“存在”的判断;若导出的结论不合理或错误,则作出“不存在”的判断.
图4-3
例3如图4-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4 cm,BC =3 cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1 cm的速度分别沿CA,CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒 2 cm 的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN.设移动时间为t s(0(1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似
(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值 若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,
根据勾股定理可得AB==5 cm,且由题意知,AP=(5-2t)cm, AM=(4-t)cm,BN=(3-t)cm.
(1)以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况:
①当△AMP∽△ABC时,,
即,解得t=;
②当△APM∽△ABC时,,即,
解得t=0(不合题意,舍去).
综上所述,当t=时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似.
(2)存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下:
图4-4
假设存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.如图4-4,过点P作PH⊥BC于点H,则PH∥AC,∴,即,
∴PH=t.
∴S=S△ABC-S△BPN=×3×4-×(3-t)·t
=(0∵>0,∴S有最小值.当t=时,S最小值=.
故当t=时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是.
方法点拨 (1)一定要分类讨论(有△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况).利用相似三角形的对应边成比例来求t的值.
(2)过点P作PH⊥BC于点H,则PH∥AC,由平行线分线段成比例求得由t表示的PH的值,然后根据“S=S△ABC-S△BPN”列出S与t的关系式S=(0(3)解存在性问题时,需要先分析,合情推理,根据相关数学模型的性质作出合理判断,然后回答存在性,再进行说理论证.
能力·提升演练
1.如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是(　　).
A.BC=EC,∠B=∠E
B.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠D
D.∠B=∠E,∠A=∠D
解析:已知AB=DE,再加上条件BC=EC,∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC,故A选项不符合题意;
已知AB=DE,再加上条件BC=EC,AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC,故B选项不符合题意;
已知AB=DE,再加上条件BC=DC,∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC,故C选项符合题意;
已知AB=DE,再加上条件∠B=∠E,∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC,故D选项不符合题意.故选C.
答案:C
2.如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,连接CD,请添加一个适当的条件　　　　　　　 　　　　,使△ABC∽△ACD.(只填一个即可)
∠ACD=∠ABC(答案不唯一)
3.一个y关于x的函数同时满足两个条件:①函数图象过(2,1)点;②当x>0时,y随x的增大而减小.这个函数的表达式为
　　　　　　 　　　　　　　.(写出一个即可)
此题为开放试题,答案不唯一.如:y=,y=-x+3,y=-x2+5等
4.如图,在等边三角形ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4,点E为边AC上一动点(不与点C重合),△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.
(1)当点F在AC上时,求证:DF∥AB.
(2)设△ACD的面积为S1,△ABF的面积为S2,记S=S1-S2,
S是否存在最大值 若存在,求出S的最大值;若不存在,
请说明理由.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°.
由轴对称可知DF=DC,又点F在AC上,
∴∠DFC=∠C=60°.
∴∠DFC=∠A.∴DF∥AB.
(2)解:存在.
由题意知,△ADC中DC边上的高为3.
如图,过点D作DM⊥AB交AB于点M.
∵AB=BC=6,BD=4,
∴CD=DF=2.
∴点F在以D为圆心,DF为半径的圆上,
∴当点F在DM上时,S△ABF最小.
∵BD=4,DM⊥AB,∠ABC=60°,∴MD=2.
∴S△ABF的最小值=×6×(2-2)=6-6.
∴S最大值=×2×3-(6-6)=6-3.