【中考快车道】初中数学中考复习专题3：方案设计问题课件

(共29张PPT)
专题三　方案设计问题
第三编
2026
内容索引
01
热点·问题探究
02
命题·热点例析
03
能力·提升演练
热点·问题探究
方案设计问题是通过设置一个实际问题情境,给出若干信息,提出解决问题的要求,要求学生运用学过的知识和方法,进行设计和操作,寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案,要求判断哪个方案较优.它包括与方程、不等式有关的方案设计、与函数有关的方案设计、与统计有关的方案设计和与几何图形有关的方案设计.
方案设计问题涉及面较广,内容比较丰富,题型变化较多,考查的是学生综合运用数学知识解决实际问题的能力和操作能力,是中考的常考题型之一.
命题·热点例析
考向1与函数有关的方案设计问题
与函数有关的方案设计问题一般有多种供选择的解决问题的方案,但在实施中要考虑到经济因素,此类问题类似于求最大值或最小值的问题,通常用函数的性质进行分析.
例1某公司根据市场计划调整投资策略,对A,B两种产品进行市场调查,收集数据如下表:
产品 项目 年固定成本(单位:万元) 每件产品成本(单位:万元) 每件产品售价(单位:万元) 每年最多可生产的件数
A 20 m 10 200
B 40 8 18 120
其中,m是待定常数,其值是由生产A的材料的市场价格决定的,变化范围是6≤m≤8,销售B产品时需缴纳x2万元的关税,其中x为生产产品的件数.假定所有产品都能在当年售出.设生产A,B两种产品的年利润分别为y1,y2(单位:万元).
(1)写出y1,y2与x之间的函数表达式,并注明其自变量x的取值范围.
(2)请你通过计算比较,该公司生产哪一种产品可获得最大年利润更大
解:(1)y1=(10-m)x-20(0≤x≤200),y2=-x2+10x-40(0≤x≤120).
(2)∵6≤m≤8,∴10-m>0.故y1随x的增大而增大.
即当x=200时,y1的最大值为(10-m)×200-20=-200m+1 980.
又y2=-(x-100)2+460(0≤x≤120),故当x=100时,y2的最大值为460.
分三种情况:
①由-200m+1 980<460得7.6②由-200m+1 980=460得m=7.6;
③由-200m+1 980>460得6≤m<7.6.
故当6≤m<7.6时,生产A产品可获得最大年利润.
当m=7.6时,生产A,B两种产品所获得的最大年利润相同.
当7.6方法点拨 1.与函数有关的方案设计问题是指根据题目提供的背景材料或图表信息,确定函数表达式.利用函数图象获得解决问题的具体方法.解决此类问题的难点是正确确定函数表达式,关键是熟悉函数的性质及如何通过不等式确定函数自变量的取值范围.
2.利用二次函数解决方案设计问题一般需要先建立二次函数表达式,再根据求二次函数最值的方法,即当x=-时,y有最大(小)值求得最值,最后要结合问题情境确定方案.注意有时确定最值时,需要考虑要在x的取值范围内.
考向2与统计、概率有关的方案设计问题
此类问题是根据统计图表提供的信息或通过概率计算等,作出判定,制定解决实际问题的方案.解题的关键是全面获取信息、合理分析、正确地作出决策.
例2如图3-1,暑假快要到了,某市准备组织同学们分别到A,B,C,D四个地方进行夏令营活动,统计前往四个地方的人数.
图3-1
(1)去B地参加夏令营活动的人数占总人数
的40%,根据统计图求去B地的人数.
(2)若一对姐弟中只能有一人参加夏令营,姐弟
俩提议让父亲决定.父亲说:现有4张卡片上分别写有1,2,3,4四个整数,先让姐姐随机地抽取一张后放回,再由弟弟随机地抽取一张.若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数,则姐姐参加;若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数,则弟弟参加.用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平.若不公平,你能设计一个公平的方案吗
解:(1)设去B地的人数为x,则由题意知=40%.
解得x=40.故去B地的人数为40.
(2)列表:
数字 1 2 3 4
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
因此姐姐参加的概率为P(姐)=,弟弟参加的概率为P(弟)=,
由P(姐)=观察表格中的结果,和为奇数与和为偶数的概率相等,故可设计公平的方案:若两张卡片上的数字之和为偶数,则姐姐参加;若两张卡片上的数字之和为奇数,则弟弟参加.
方法点拨 (1)解决此类问题需要通过计算,用数据说话;(2)要设计公平的方案,只要观察所列表格或树状图,找出概率相等的事件,利用这两个事件来设计方案即可.
考向3与几何图形有关的方案设计问题
与几何图形有关的方案设计,一般是利用几何图形的性质,设计出符合某种要求和特点的图案.常见的题型是设计测量方案或按要求进行图形形状的改变.利用几何知识进行方案设计,不仅要有一定的几何作图能力,而且要能熟练地运用几何的有关性质及全等、相似、图形变换、方程及三角函数的有关知识,并注意充分发挥分类讨论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作用.
例3某校数学研究性学习小组准备作测量学校旗杆的数学实践活动,来到旗杆下,发现旗杆AB顶端A垂下一段绳子ABC(如图3-2).经研究发现,原来制定的一系列测量方案,在此都不需要.如今只借助垂下的绳子和一把皮尺,在不攀爬旗杆的情况下,测量相关数据,就可以计算出旗杆的高度.
(1)请你给出具体的测量方案,并写出计算旗杆高度的过程.
(2)推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量旗杆的方案是什么
图3-2
分析针对该问题所提供的情境可知:(1)旗杆垂直于地面;(2)旗杆AB顶端A垂下一段绳子,即绳子比旗杆长出的部分可度量.
因此可联系相关的数学知识,利用勾股定理探讨具体测量方案.
解:(1)测量方案设计如下:
①测量绳子比旗杆多出的部分B'C=a m;
图3-3
②把绳子ABC拉紧到地面D处,如图3-3,
测量B到D的距离BD=b m.
计算过程:设旗杆的高度为x m,
则AD是(x+a)m.
在Rt△ABD中,根据AB2+BD2=AD2得x2+b2=(x+a)2,x2+b2=x2+a2+2ax,解得x=.
(2)这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗杆的方案可能有以下几个,如图3-4图1,图3-4图2:
图1
图2
图3-4
方法归纳 关于物体的测量是一个实际问题,因此必须考虑实际环境,结合实际环境,充分运用所学知识制定方案,制定方案时要遵循可操作性强、简单易行的原则.第(2)问的测量方案还可以有其他形式,有兴趣的同学可自行进一步探讨,对于以上两种测量方案的相关计算方法,请同学们自己给出.
能力·提升演练
1.小芳家房屋装修时,选中了一种漂亮的正八边形地砖.建材店老板告诉她,只用一种八边形地砖是不能密铺地面的,便向她推荐了几种形状的地砖.你认为要使地面密铺,小芳应选择的另一种形状的地砖是(　　).
B
2.现有球迷150人欲同时租用A,B,C三种型号客车去观看一场足球赛,其中A,B,C三种型号客车载客量分别为50人,30人,10人,要求每辆车必须载满,其中A型客车最多租2辆,则球迷们一次性到达赛场的租车方案有(　　).
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
解析:因为A型车最多租用2辆,所以有两种情况,租用1辆A型车或租用2辆A型车,设租用B型车x辆,C型车y辆.
①租用1辆A型车时,50+30x+10y=150,其正整数解为
②租用2辆A型车时,100+30x+10y=150,其正整数解为
综上所述,共有4种情况.
答案:B
3.某班为筹备运动会,准备用365元购买两种运动服,其中甲种运动服20元/套,乙种运动服35元/套,在钱都用尽的条件下,有　　　种购买方案.
解析:设购买甲、乙两种运动服分别为x套和y套(x,y为正整数),
依题意,得20x+35y=365,整理,得4x+7y=73.
y==11-≥1.
由x,y为正整数,可知>0,即0故当x=6时,y=7;当x=13时,y=3.
答案:2
4.为了鼓励同学们多读书、读好书,某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动.“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况,于是从全校1 200名学生中随机抽取200名学生,并对200名学生的图书借阅记录进行统计,形成了如下的调查报告(不完整):
××中学学生借阅图书情况调查报告
调查主题 ××中学学生借阅图书情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生
数量的收 集、整理 与描述 各类图 书借阅 量统计 说明:A表示科普类;B表示文学类;C表示艺术类;D表示其他
数量的收 集、整理 与描述 学生个 人借阅 量统计

调查结论 …… 图书借阅量/本 0 1 2 3 …
人数/名 11 20 72 30 …
请根据以上调查报告,解答下列问题:
(1)求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量,并将条形统计图补充完整;
(2)在该校所有学生中,图书借阅数量为3本及以上的学生大约有多少名;
(3)在制定方案时,小亮给出的初步方案是随机抽取200名九年级学生,并对他们的图书借阅记录进行统计,但经过小组讨论,方案被否决了,请指出该方案被否决的原因.
解:(1)借阅图书的总数量为288÷40%=720(本).
∴A书籍的借阅量为720×35%=252(本),
C书籍的借阅量为720×15%=108(本),
D书籍的借阅量为720×(1-35%-40%-15%)=72(本),
补全统计图如下:
答:被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量为720本.
(2)×1 200=582(名).
答:该校图书借阅数量为3本及以上的学生大约有582名.
(3)小亮在选择样本时出现问题,“综合实践”小组的同学想了解全校学生在读书活动中不同种类图书的借阅情况,他只是在九年级中选择调查对象,因此样本的选择不具备代表性.(写出一条,言之有理即可)