【中考快车道】人教版中考数学复习专题三　开放探究题

(共28张PPT)
专题三　开放探究题
第二板块
2026
内容索引
01
专题名师解读
02
热点考向例析
专题名师解读
开放探究型问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论,要求添加条件或概括结论,或者是给定条件,判断结论存在与否的问题.近几年来出现了一些根据提供的材料,按自己的喜好自编问题并加以解决的试题.
开放探究型问题具有较强的综合性,既能充分地考查学生对基础知识的掌握程度,又能较好地考查学生观察、分析、比较、概括的能力,发散思维能力和空间想象能力等,体现了学生的自主性,符合课程标准的理念,所以近几年来此类题目成为中考命题的热点.
开放探究型问题涉及知识面广,要求解题者有较强的解题能力和思维能力,有时还需要一定的语言表达能力和说理能力.
开放探究型问题通常有条件开放、结论开放、条件结论都开放等类型;就探究而言,可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种.
探究条件型是指根据问题提供的残缺条件添补若干个条件,使结论成立.解决此类问题的一般方法是:根据结论成立所需要的条件增补条件,此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出来的条件,不可有重复条件,也不能遗漏条件.探究结论型问题是指根据题目所给的已知条件进行分析、推断,推导出一个与已知条件相关的结论.解决此类问题的关键是对已知的条件进行综合推理,导出新的结论.探究结论存在型问题的解法一般是先假定存在,然后结合现有的条件进行推理,最后推导出问题的解或矛盾再加以说明.归纳探究型问题是指给出一些条件和结论,通过归纳、总结、概括,由特殊猜测一般的结论或规律,解决此类问题的一般方法是对由特殊得到的结论进行合理猜想,并进行验证.
热点考向例析
考向一
条件开放型问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放,即:问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一,解决此类问题的思路是从所给结论出发,逆向探索,逐步探寻合乎要求的一些条件,从而进行逻辑推理证明,确定满足结论的条件.
【例1】如图,已知点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.
能否由上面的已知条件证明AB∥ED 如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使AB∥ED成立,并给出证明.
供选择的三个条件(请从中选择一个):
①AB=ED;
②BC=EF;
③∠ACB=∠DFE.
解法一FB=CE,AC=DF,添加①AB=ED.
证明:因为FB=CE,所以BC=EF.
又AC=DF,AB=ED,所以△ABC≌△DEF.
所以∠B=∠E.
所以AB∥ED.
解法二FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.
证明:因为FB=CE,所以BC=EF.
又∠ACB=∠DFE,AC=DF,
所以△ABC≌△DEF.
所以∠B=∠E.
所以AB∥ED.
考向二
结论开放探究问题
结论开放问题就是给出问题的条件,根据已知条件探究问题的结论,并且将符合条件的结论一一罗列出来,或者对相应的结论的“存在性”加以推断,甚至探究条件变化时的结论,这些问题都是结论开放型问题.解决此类问题要求利用条件大胆而合理地猜想,发现规律,得出结论.
【例2】 如图,海中有一小岛B,它的周围15海里内有暗礁.有一货轮以30海里/时的速度向正北航行,当它航行到A处时,发现岛B在它的北偏东30°方向,当货轮继续向北航行半小时后到达C处,发现岛B在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险 (参考数据: ≈1.7, ≈1.4)
解:如图,作BD⊥AC于点D.
∵21.4>15,故货轮没有触礁的危险.
答:货轮没有触礁的危险.
考向三
条件、结论开放探究问题
条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一,此类问题没有明确的条件和结论,并且符合条件的结论具有开放性,它要求学生通过自己的观察和思考,将已知的信息集中进行分析,通过这一思维活动揭示事物的内在联系.
【例3】 (1)如图①,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B,C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°,求证:AM=MN.
下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明.
证明:在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵在正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC,
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.
(下面请你完成余下的证明过程)
(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图②),N是∠ACP的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还成立 请说明理由.
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”,请你作出猜想:当∠AMN=　　　　　时,结论AM=MN仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)
解:(1)如图①,∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=135°.
∵CN平分∠DCP,∴∠PCN=45°,
∴∠AEM=∠MCN=135°.
在△AEM和△MCN中,
∴△AEM≌△MCN.
∴AM=MN.
(2)仍然成立.
理由:如图②,在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACP=120°.
∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=60°,
∴∠AEM=120°.
∵CN平分∠ACP,∴∠PCN=60°,
∴∠AEM=∠MCN=120°.
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM(∠B=∠AMN=60°),
∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN.
考向四
存在探索型问题
存在探索型问题是指在给定条件下,判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题.
【例4】 如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y= 相交于点A,B.已知点B的坐标为(-2,-2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴,交抛物线于点C.
(1)求双曲线和抛物线对应函数的解析式.
(2)计算△ABC的面积.
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于
△ABC的面积 若存在,请你写出点D的坐标;若不
存在,请说明理由.
设点A的坐标为(m,n),
因为点A在双曲线上,所以mn=4.①
由①②得m2=1,所以m=±1.
因为点A在第一象限,所以m=1,n=4,
即点A的坐标为(1,4).
把点A,B的坐标代入y=ax2+bx中,
所以抛物线对应函数的解析式为y=x2+3x.
(2)因为AC∥x轴,所以点C的纵坐标为y=4,代入y=x2+3x中,得方程x2+3x-4=0,解得x1=-4,x2=1(舍去).
所以点C的坐标为(-4,4),AC=5.
又△ABC的高为6,所以△ABC的面积= ×5×6=15.
(3)存在点D使△ABD的面积等于△ABC的面积.
理由:过点C作CD∥AB交抛物线于点D.
因为直线AB所对应的一次函数是y=2x+2,且点C的坐标为(-4,4),CD∥AB,
所以直线CD对应的一次函数是y=2x+12.